1.2n阶行列式的计算 这一节,我们通过例题来说明,利用行列式的定义和性质,计 算n阶行列式的常用方法 例1计算上三角行列式(t>j时,a,=0) a1112 解利用1.1节中性质1和例1的结果,得 a a 1a22 2 例2计算4阶行列式 4 D 61 解利用性质5,把第1行分别乘1,-2,-1加到第2,3,4 行上去得 2 00-53②→④ 01 D 02 02 5 12
③+②×(-2) 01 00 14 2033 00 ④+③ 01 203 4 00 057/14 =(-1)×1×1×(-14)×(57/14)=57. 其中:②…④表示第②行与第④行对换;③+②×(-2)表示第③ 行加第②行乘(2)④+国×(-5是类似的 此例利用性质5和性质6,把数字行列式化为上三角行列式, 是计算数字行列式的基本方法.但是对于三阶数字行列式,用沙 路法按对角线展开(计算6项乘积)可能更为简捷, 例3计算4阶行列式 1243 4120 1439 4312 解利用性质5把行列式某行(列)元素化为只剩一个非零 元,再利用性质2,把行列式按这行(列)展开,从而降阶计算 注意到D中第二列有一个0,再利用a2=1把第二列中其余 元素化为0,得 0100 7459 83.5 13
17 8 (一1)2+2×1×|0 2 17 8 5 2 再把第三列加到第二列,按第二行展开 D 5 1 (-1)23×5× 5×(一77+75)=10. 例4行列式D={a的元素满足a;=-an(,=1,2,…, ),就称D是反对称行列式(其中a;=-a→an=0,i=1,…,n) 证明奇数阶反对称行列式的值为零 0 E 证设D 12 aIn -a. 根据性质1和性质3(1) 12 14
E J2 0 23 (一1)D 由n是奇数,得D=-D,故D=0. 例5证明 十b1b1十 2+b2b2+ 2|a2b2 t b3 b3+ b3 c3 证法1:把左端行列式的第2,3列加到第1列提取公因子 2再把第1列乘(-1)加到第2,3列得 十b十 左式=2a2+b2+c2-a2-b2 十b3+c3一 b 再把第2,3列加到第1列,然后分别提出23列的公因数(-1), 再作两次列对换,等式就得证 法2:对左式的各列依次用性质3(i)将左式表示为23个行 列式之和其中有6个行列式各有2列相等,即 b1+c1c1+a1 左式={a2b2+c2c2+a2+b2b2+c2c2+a2 b3十 b2c2+a2|+ b3c3+ b b3 C3 5
a2b2c2+0+0+0+0+0+0+b2c2a2 右式 例6计算n阶行列式 D=aa x 解把各列都加到第一列,提出第一列的公因子[x+(n 1)a]然后将第一行乘-1分别加到其余各行,D就化为上三角形 行列式,即 D=[x+(n-1)a]1ax…a [x+(n-1)a]( 例7计算4阶行列式