当n=6,7时,D6=-a1a246,D2=-a142…a7 1.1.2n阶行列式的性质 直接用行列式的定义计算行列式,在一般情况下是较繁的 因此,我们要从定义推导出行列式的一些性质,以简化行列式的计 算 性质1行列式的行与列(按原顺序)互换,其值不变,即 11 22 a1222Cn2 (1.11) axm 这个性质可用数学归纳法证明,由于证明的表述较繁,我们略 去其证明,有兴趣的读者可参阅本章附录 有了这个性质行列式对行成立的性质都适用于列.以下我 们仅对行讨论行列式的性质 性质2行列式(1.9)对任一行按下式展开,其值相等,即 D=a1A+a2Aa+…+anA=∑aA,(112) 其中 A;=(-1)+M M是D中去掉第i行第j列元素所成的n-1阶行列式,它 称为a的余子式,A,称为a的代数余子式 证法与性质1的证明类似,也用数学归纳法(参阅本章附录) 性质3(线性性质)有以下两条: 2 (i)ka ke k 21423 2n 2 典2 (1.13)
2 2 十b a 12 41y e 上提 +|b1b; (1.14 p由 利用性质2,将(1.13)、(1.14)式中等号左端的行列式按第i 行展开,立即可得等号右端的结果 由(1.13)式又可得 推论1某行元素全为零的行列式其值为零 性质4行列式中两行对应元素全相等,其值为零,即当 时,有 12 D (1.15) ann 证用数学归纳法证明,结果对二阶行列式显然成立,假设 结论对n-1阶行列式成立,在n阶的情况下,对第行展开,收矩≠ 则 A1+ak2Ak2+…十
由于Mn2(l=1,2,…,n)是n-1阶行列式,且其中都有两行元素相 同,所以AM=(-1)1M=0,l=1,2,…,n,故D=0 由性质3(i)和性质4,立即可得; 推论2行列式中两行对应元素成比例(即ax=kaM,i≠jl 1,2,…,n是常数),其值为零 性质5在行列式中把某行各元素分别乘非零常数k,再加 到另一行的对应元素上,行列式的值不变,即 Id kaa t 十《 aN2 (1.16) 利用性质3(i)和推论2,可证明(1.16)式成立 性质6(反对称性质)行列式的两行互换,行列式的值反号 证重复用性质5和利用性质3〔),就有
ail ai2 ". ain an十anaa+an2…a;m十am a+ P 们 a 性质7行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子 式之和等于零,即 10
Ca1A=aAn+anAa+…+anAn=0,(i≠ (1.17) 证根据性质2,行列式(19)对j行展开得 aA 因此,将行列式(1.9)中第j行的元素a1,a12,…,am换成an,aa am后所得的行列式,其展开式就∑aA即 12 11 2 第i行 第j行 由于上式右端的行列式第i行和第j行对应元素相等,故 对于行列式(1.9),我们可以把(1.10),(1,12)(1.17)式统一 地写成 A=8:D 其中 1当 (1.18) 0当i≠j 同样,行列式(1.9)对列展开,也有 4;=b;D (1.19) ·11·