清华大学：《计量经济学》课程PPT教学课件（经济计量学 Econometrics）第四章 经典单方程计量经济学模型（放宽基本假定的模型）4.3 多重共线性 Multi-Collinearity

例:对离差形式的二元回归模型 y=Bx,+B2x2+u 如果两个解释变量完全相关,如x2=x1,则 y=(B1+1B2)x1+ 这时,只能确定综合参数61+2的估计值: 月+02=∑x∑x

例：对离差形式的二元回归模型 y = 1 x1 +  2 x2 +  如果两个解释变量完全相关，如x2= x1，则 y = (1 + 2 )x1 +  这时，只能确定综合参数1+2的估计值：

2、近似共线性下OLS估计量非有效 近似共线性下,可以得到OLS参数估计量, 但参数估计量方差的表达式为 COv(B)=0(XX) 由于X≈0,引起(XX)-主对角线元素较大, 使参数估计值的方差增大,OLS参数估计量非有 效

2、近似共线性下OLS估计量非有效 近似共线性下，可以得到OLS参数估计量， 但参数估计量方差的表达式为 由于|X’X|0，引起(X’X) -1主对角线元素较大， 使参数估计值的方差增大，OLS参数估计量非有 效。 2 1 ) ( ) ˆ ( − Cov β =  XX

仍以二元线性模型y=βx1+B2x2+为例 Var(B1)=02(XX)1 ∑ ∑x∑x-Cxx2)21-∠∑xx2)∑x∑x ∑ X,x 2恰为Ⅹ1与X2的线性相关系数的平方r2 由于p2≤1,故1/(1-P2)1

仍以二元线性模型 y=1x1+2x2+ 为例:         − = − =  = − 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 ( ) / ( ) ) ( ) ˆ var( i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x X X     2 2 1 2 1 1 x r i − =       2 2 2 1 2 1 2 ( ) i i i i x x x x 恰为X1与X2的线性相关系数的平方r 2 由于 r 2 1，故 1/(1- r 2 )1

当完全不共线时,r2=0VaB)=a2∑x 当近似共线时,0<r2<1wa(B) 多重共线性使参数估计值的方差增大,1/(1-2)为 方差膨胀因子( Variance inflation factor,ⅤIF) 表431方差膨胀因子表 相关系数平方0050809095090970.980.990.999 方差膨胀因子1251020 33 50 1001000 当完全共线时,r2=1,Var(B)=∞

多重共线性使参数估计值的方差增大，1/(1-r 2 )为 方差膨胀因子(Variance Inflation Factor, VIF) 当完全不共线时, r 2 =0 =  2 1 2 1 ) / ˆ var( i   x 当近似共线时, 0< r 2 <1    − =  2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 ) ˆ var( i i x r x    表 4.3.1 方差膨胀因子表 相关系数平方 0 0.5 0.8 0.9 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 0.999 方差膨胀因子 1 2 5 10 20 25 33 50 100 1000 当完全共线时， r 2=1， var( ˆ 1 ) = 