第三章函数的极限与连续 §2.1数列的极限 lim v=A n1-0o §2.2函数的极限 §2.3极限的运算 §2.4极限存在的准则与两个重要极限 §2.5无穷小量与无穷大量 §2.6函数连续的概念
1 第二章 函数的极限与连续 §2.1 数列的极限 §2.2 函数的极限 §2.3 极限的运算 §2.4 极限存在的准则与两个重要极限 §2.5 无穷小量与无穷大量 §2.6 函数连续的概念 lim n n y A → =
第二章极限与连续 极限概念是微积分学的基本概念.极限是研究变量 变化趋势的重要工具,后面要用到极限的思想和方法来 研究函数的连续性、微分、积分.连续性是函数的一种 重要性态 §2.1数列的极限 数列 定义Ⅰ按一定顺序排列的一列数a1,a2,…,anp…,叫做 个数列,数列中的每一个数叫数列的项,第n项an叫数 列的一般项或通项简记为{an}数列也可称作整标函数
2 第二章 极限与连续 极限概念是微积分学的基本概念. 极限是研究变量 变化趋势的重要工具, 后面要用到极限的思想和方法来 研究函数的连续性、微分、积分. 连续性是函数的一种 重要性态. §2.1 数列的极限 定义1 按一定顺序排列的一列数 a1 ,a2 ,…,an , …叫做一 个数列, 数列中的每一个数叫数列的项, 第 n项 an 叫数 列的一般项或通项.简记为{ an }.数列也可称作整标函数. 一、数列
因为数列an=f(n)可看成是定义在正整数集合上 的函数.当自变量n按正整数1,2,3,依次增大的顺 序取值时,函数值按相应的顺序排列成一串数 f(1),∫(2),…,∫(n), 称为一个无穷数列,简称数列. 问题:什么是有界数列呢? M>0mEN,恒有f(l)sM
3 因为数列 an= f (n) 可看成是定义在正整数集合上 的函数. 当自变量 n 按正整数 1,2,3,… 依次增大的顺 序取值时, 函数值按相应的顺序排列成一串数: 称为一个无穷数列, 简称数列. 问题:什么是有界数列呢? M n N f n M 0, , ( ) . 恒有 f f f n (1), (2), , ( )
例1(1),an 2 即元4 8 (2)n,=1+-,即2 2”3”4 (3)an=2n,即2,4,6,8, 4)c ,即0,1,0,1, 2 (5)an=(-1) 即 2”3 n+1,即1,23 34 7) 即O,325 n十(-1) 234
4 1 1 1 1 (1). , , , , 2 2 4 8 a n = n 即 1 3 4 5 (2). 1 , 2, , , , 2 3 4 a n n = + 即 (3). 2 , 2,4,6,8, a n n = 即 1 ( 1) (4). , 0,1,0,1, 2 n an + − = 即 1 1 1 1 (5). ( 1) , 1, , , , 2 3 4 n a n n = − − − 即 1 2 3 (6). , , , , 1 2 3 4 n n a n = + 即 ( 1) 3 2 5 (7). , 0, , , , 2 3 4 n n n a n + − = 即 例 1
从以上几例可以看出,随着n逐渐增大时,数列 有着各自的变化趋势.当n无限增大时,数列(1)、(5) “无限接近”数0;数列(2)、(6、(7)“无限接近” 数1;数列(3)“无限增大”;数列(4)在数0和1间摆 动在几何上,{an}表示数轴上一列点,也可以把(n,n) 看成平面上的点 数列
5 从以上几例可以看出, 随着 n 逐渐增大时, 数列 有着各自的变化趋势. 当 n 无限增大时 , 数列(1)、(5) “无限接近”数 0; 数列(2)、(6)、(7) “无限接近” 数1; 数列(3) “无限增大”; 数列(4) 在数 0和 1间摆 动.在几何上, { an }表示数轴上一列点,也可以把(n ,an ) 看成平面上的点. • • • • • • o ¼ ½ 1 8 1 16 1 1 2 n n 数列 a = o n n a 1 • • • • •