应力分析 (三)二维应力分析 前述可知,这三种类型实际上是根据外力作用方式是单向,相 互垂直的双向或相互垂直的三向外力划分的。无论什么方式的外力 作用,地壳中岩石的应力状态都是三维应力状态,只是推导、计算 和研究较为复杂。根据弹性力学应力叠加原理,单轴应力分析方法 是分析研究相互垂直的二轴和三轴应力状态的基础
一、应力分析 （三）二维应力分析 前述可知，这三种类型实际上是根据外力作用方式是单向，相 互垂直的双向或相互垂直的三向外力划分的。无论什么方式的外力 作用，地壳中岩石的应力状态都是三维应力状态,只是推导、计算 和研究较为复杂。根据弹性力学应力叠加原理, 单轴应力分析方法 是分析研究相互垂直的二轴和三轴应力状态的基础
1.单轴应力状态的二维 分析 1).平面上一矩形物体,作用于物体上的外力为P1,内力为n,那么,垂直于外力截面A 的主应力为: 在与内力斜交的截面Aa上,设其正应力为上oa,剪应力为,合应力为o截面A 法线与作用线之間的夹角为,则 根据三角函数关系:50=00并代入(2) 4 0a=P, cosa/aa 由(2)得p1=01A0代入∴σa=01A0c0a/Aa,又5cosa=A/Aa O1 coS0 据倍角公式1co2a=2cos2a可写成 01(1+c0s2a)/2(4) 剪应力5τa=p1sina/(oA/cosa) 4τa=1 cos a SIna(5) 用倍角公式sin2a=2 cos a sInat可写成 Ta=o1/2 sin2 a (6) (4)和(6)式为单轴应力状态下,任意切面上主应力1、正应力oa及剪应力τ的关系。 P1 0 N B 图3-5单轴应力状态 A一内力图示,B一应力图示A一合应力一主应力,y一正应力;剪应力
1. 单轴应力状态的二维应力分析 1) 平面上一矩形物体, 作用于物体上的外力为P1 , 内力为p1 , 那么, 垂直于外力截面A0上 的主应力为: =p1 /A0 （1） 2) 在与内力p1斜交的截面Aa上, 设其正应力为上sa, 剪应力为ta, 合应力为sA, 截面Aa的 法线与p1作用线之间的夹角为a , 则 =p1 /Aa （2） 根据三角函数关系: sa=sA cosa 并代入（2） sa= p1 cosa/ Aa 由（2）得p1 = s1 A0 代入∴ sa= s1 A0 cosa / Aa ,又 cosa = A0 /Aa ∴ sa= s1 cos2a （3） 据倍角公式1＋ cos2 a ＝2 cos2a可写成: sa= s1 (1+cos2 a ) / 2 （） 剪应力 ta = p1 sina / (sA / cosa) ta = s1cosa sina （） 用倍角公式sin2 a ＝2 cosa sina 可写成： ta = s1 /2 sin2 a （6） （）和（6）式为单轴应力状态下，任意切面上主应力s1、正应力sa及剪应力ta的关系
从上可得主要公式:oa=01(1+c0s2a)/2 讨论:(1)当=0=12sin2a (4)中的cos2a=1 4σa=01 τa=1(sin2*0)2 4Ta=0 结论:在与挤压或拉伸方向垂直的截面上,正应力最大,等于主应力。 结论:在与挤压或拉伸方向垂直的截面上,剪应力为零,即无剪应力存在 P 0 N B 图3-5单轴应力状态 A一内力图示B一应力图示A一合应力;可一主应力,正应力;剪应力
从上可得主要公式：sa= s1 (1+cos2 a ) / 2 ta = s1 /2 sin2 a 讨论: (1) 当a=0 时 ∵（4）中的 cos2 a ＝1 sa= s1 ta = s1 (sin2 *0 )/2 ta= 0 结论:在与挤压或拉伸方向垂直的截面上, 正应力最大，等于主应力。 结论:在与挤压或拉伸方向垂直的截面上, 剪应力为零, 即无剪应力存在
主要公式:oa=01(1+c0s2a)/2 T=0/2 sin2 a 结论: 讨论: 在距主应力面 2)当=45°时 45°的截面上(即 5cos90=0 a=45°的截面上), 4on=01/2 正应力等于主应力 5sin90=1 4T=01/2 的一半。剪应力值 max (3)当=45°时 也等于主应力的 /2 半,并且最大。在 o1/2 两垂直的截面 max (a=45°和a=-45°) 上剪应力互等,剪 切方向相反
主要公式 ：sa= s1 (1+cos2 a ) / 2 ta = s1 /2 sin2 a 讨论: (2) 当a=°时 cos90＝0 sa= s1 /2 sin90＝1 ta = s1 /2= tmax (3) 当a=-°时 sa= s1 /2 ta = -s1 /2 = tmax 结论: 在距主应力面 45°的截面上(即 a=45°的截面上), 正应力等于主应力 的一半。剪应力值 也等于主应力的一 半，并且最大。在 两垂直的截面 （ α=45° 和α=-45° ） 上剪应力互等, 剪 切方向相反
主要公式:oa=01(1+c0s2a)/2 2 To=01/2sinz a 讨论: (4)当∞=90°时 °。cos2o=-1,sin20=0 4=0 0 结论:在平行于单轴作用力的截面上,既无正应力,也无 剪应力
主要公式 ：sa= s1 (1+cos2 a ) / 2 ta = s1 /2 sin2 a 讨论: () 当a=90° 时 ∵cos2 a ＝－1 ，sin2 a ＝0 sa= 0 ta = 0 结论: 在平行于单轴作用力的截面上,既无正应力, 也无 剪应力