式中符号同前。 3)加权平均值若对同一事物用不同方法去测定,或者由不同的人去测定,计箅平均 值时,常用加权平均值。计算公式如下 tw. r we,I, w2+… 式中的,w2…c代表与各观测值相应的权,其他符号同前。各观测值的权数v,可 以是观测值的重复次数、观测者在总数中所占的比例或者根据经验确定。 例1某工厂测定含铬废水浓度的结果如下表,试计算其平均浓度 條/(B0.36.40.50607 出现次数 0.3×3+0.4×5+0.5×7+0.6×7+0.7×5 3+5+7+7+5 =0.52(mg/1) 例2某印染厂各类污水的BOD测定结果如下表,试计算该厂污水平均浓度。 古水类型BDmw心)污水流量(md污水类∞/(s污水激量/(m 退浆污水 印染污水 400 煮布锅污水 漂白污水 909 解 x=400015+10008940×1500+70×900 +8+ 331.4(mg/1) (4)中位值中位值是指一组观测值按大小次序排列的中间值。若观测次数是偶然,则 中位值为正中两个值的平均值。中位值的最大优点是求法简单。只有当观测值的分布呈正态 分布时,中位值才能代表一组观测值的中心趋向,近似于真值 (5)几何平均值如果一组观测值是非正态分布,当对这组数据取对数后,所得图形的 分布曲线更对称时,常用几何平均值。 几何平均值是-组n个观测值连乘并开n次方求得的值。计算公式如下 王=√x1·x2…xn (2-4) 也可用对数表示 lgx=∑igx (2-5) 例3某工厂测得污水的BOD数据分别为100mg/L、110mg/L、13mg/L、120mg L、115mg/L、190mg/L、170mg/L,求其平均浓度。 解:该厂所得数据大部分在100~130mg/1之间,少数数据的数值较大,此时采用几何 平均值才能较好地代表这组数据的中心趋向。 x=√10×10×130×120×115×190×176=130.3(mg/1) 2.误差与误差的分类 对某一指标进行测试后,观测值与其真值之间的差值称为绝对误差,即 绝对误差一观测值一真值 绝对误差用以反映观测值偏离真值的大小,其单位与观测值相同。由于不易测得真值 PDF文件使用" pdfFactory Pro"试用版本创建www, fineprint,cn
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实际应用中常用观测值与平均值之差表小绝对误差。严格地说,观测值与平均值之差应称为 偏差,但在工程实践中多称之为误差 在分析,作中常把标准试样中的某成分的含量作为该成分的真值,用以估计误差的 大小。 绝对误差与平均值(真值)的比值称为相对误差,即 相对误差=绝对误差 平均值 相对误差用于不同观测结果的可靠性的对比,常用百分数表 根据误差的性质及发生的原因,误差可分为:系统误差、偶然误差、过失误差等三种 (1)系统误差系统误差(恒定误差)是指在测定中末发现或未确认的因素所引起的误 差。这些因素使测定结果水远朝一个方向发生偏差,其大小及符号在同一实验中完全相同。 产生系统误差的原因是:①仪器不良,如刻度不准、砝码未校正等;②环境的改变,如外界 温度、压力和湿度的变化等;③个人的习惯和偏向,如读数偏高或偏低等。这类误差可以根 据仪器的性能、环境条件或个人偏差等加以校正克服使之降低。 (2)偶然误差单次测试时,观测值总是有些变化且变化不定,其误差时大、时小,时 止、时负、方向不定,但是多次测试后,其平均值趋于零,具有这种性质的误差称为偶然误 差(或然误差、随机误差)。 偶然误差产生的原因-般不清楚,因而无法人为控制。偶然误差可用概率理论处理数据 而加以避免。 3)过失误过失误差是由于操作人员T作粗枝大叶、过度疲劳或操作不正确等因素 引起的,是一种与事实明显不符的误差。过失误差是可以避免的。 3.准确度和精密度 精密度(又称精确度、精度)指在控制条件下用一个均匀试样反复测试,所测得数值之 间重复的程度,它反映偶然误差的大小。准确度指测定值与真实值符合的程度,它反映偶然 误差和系统误差的大小。一个化学分析,虽然精密度很高,偶然误差小,但可能由于溶液标 定不准确、稀释技术不正确、不可靠的砝码或仪器未校准等原因出现系统误差,其准确度不 高。相反,一个方法可能很准确,但由于仪器灵敏度低或其他原因,使其精密度不够。因 此,评定观测数据的好坏,首先要考察精密度,然后考察准确度。-般情况下,无系统误差 时,精密度愈高观测结果愈准确。但若有系统误差存在,则精密度高,准确度不一定高 分析工作中可在试样中加入已知量的标准物质,考核测试方法的准确度和精密度。 4精密度的表示方法 若在某一条件下进行多次测试,其误差为a1,82…。因为单个误差可大可小、可正可 负,无法表示该条件下的测试精密度,因此常采用极差、箅术平均误差、标准误差等表示精 密度的高低 (1)极差极差(范围误差)是指一组观测值中的最大值与最小值之差,是用以描述实 验数据分散程度的一种特征参数。计算式为 R (2-6) 极差的缺点是只与两极端值有关,而与观测次数无关。用它反映精密度的高低比较粗 糙,但其计算简便,在快速检验中可用以度量数据波动的人小 (2)算术平均误差算术平均误差是观测值与平均值之差的绝对值的算术平均值。可用 DF文件使用" pdffactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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下式表示 式中8—算术平均误差 x,——观测值 x-一全部观测值的平均值; n—观测次数 例如:有一组观测值与平均值的偏差(即单个误差)为+4、+3、-2、+2、+4,其 算术平均误差为 s4+3+2+2+A3 算术平均误差的缺点是无法表示出各次测试间彼此符合的情况。因为在一组测试中偏差 彼此接近的情况下,与另一组测试中偏差有大、中、小三种的情况下,所得的算术平均误差 可能完全相等(参阅例4) (3)标准误差各观测值与平均值之差的平方和的算术平均值的平方根称为标准误差 (均方根误差、均方误差)。其单位与实验数据相同。计算式为 (2-8) 式中d—标准误差; 观测值; x-……全部观测值的平均值 观测次数 在有限观测次数中,标准误差常用下式表示 由式(2-8)可以看到,当观测值越接近平均值时,标准误差越小;当观测值和平均值 相差越大时,标准误差越大。即标准误差对测试中的较大误差或较小误差比较灵敏,所以它 是表示精密度的较好方法,是表明实验数据分散程度的特征参数。 例4已知两组测试的偏差分别为+4、+3、-2、+2、+4和+1、+5、0、一3, 6,试计算其误差。 解:①算术平均误差为 a1=生3+2+2+4=3 2=1+5+0+3+6=3 ②标准误差为 d +(-2)2+22+ 2+52+02+(-3)2+(-6)2 PDF文件使用" pdfFactory Pro"试用版本创建www, fineprint,cn
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上述计算结果表明,虽然第一组测试所得的偏差彼此比较接近,第二组测试的偏差较离 散,但用算术平均误差表示时,二者所得结果相同。而标准误差则能较好地反映出测试结果 与真值的离散程度。 5.有效数字与其运算 实验测定总含有误差,因此表示测定结果数字的位数应恰当,不宜太多,也不能太少 太多容易使人误认为测试的精密度很高,太少则精密度不够。位数多少常用“有效数字”表 示。有效数字是指准确測定的数字加上最后一位估读数字(又称存疑数字)所得的数字。即 实验报告的每一位数字,除最后一位数可能有疑问外,都希望不带误差。如果可疑数不只 位,其他一位或几位就应剔除。剔除没有意义的位数时,应釆用四舍五人的方法。但“五 入”时要把前一位数凑成偶数,如果前一位数已是偶数,则“5”应舍去。例如把5.45变成 5.4,5.35变成5.4。 实验中观测值的有效数字与仪器仪表的刻度有关,一般可根据实际可能估计到 1/5或1/2。例如滴定管的最小刻度是1/10(即0.1ml),百分位上是估计值,故在读数时, 可读到百分位,即其有效数字是到百分位止 在整理数据时,常要运算一些精密度不相同的数值,此时要按一定规则计算。这样既可 节省时间,又可避免因计算过繁引起的错误。一些常用的规则如下: ①记录观测值时,只保留一位可疑数,其余数一律弃去; ②在加减运算中,运算后得到的数所保留的小数点后的位数,应与所给各数中小数点 后位数最少的相同,例如31.52、0.683、0.009三个数相加时,应写为31.52+0.68+ 0.01=31.2]; ③计算有效数字位数时,若首位有效数字是8或9时,则有效数字位数要多计1位, 例如9.35,虽然实际上只有三位,但在计算有效数字时可作四位计算; ④在乘除运算中,运算后所得的商或积的有效数字与参加运算各有效数中位数最少的 相同; ⑤计算平均值时,若为四个数或超过四个数相平均时,则平均值的有效数字位数可增 加一位 应该指出,水污染控制工程中的一些公式中的系数,不是用实验测得的,在计算中不应 考虑其位数 6.可疑观测值的取舍 在整理分析实验数据时,有时会发现个别观测值与其他观测值相差很大,通常称它为可 疑值。可疑值可能是由偶然误差造成,也可能是由系统误差引起的。如果保留这样的数据, 可能会影响平均值的可靠性。如果把属于偶然误差范围内的数据任意弃去,可能暂时可以得 到精密度较高的结果,但它是不科学的。因为以后在同样条件下再做实验时,超出该精度的 数据还会再次出现。因此,在整理数据时,如何正确地判断可疑值的取舍是很重要的。 可疑值的取舍,实质上是区别离群较远的数据究竟是偶然误差还是系统误差造成的。因 此,应该按照统计检验的步骤进行处理。 用于一组观测值中离群数据的检验方法有格拉布斯( Grubbs)检验法、狄克逊(D on)检验法、肖维涅( Chauvenet)准则等。下面介绍其中的两种方法 (1)格拉布斯检验法设有一组观测值x1,x2…n,观测次数为n,其中x,可疑,检 验步骤如下 PDF文件使用" pdfFactory Pro"试用版本创建www, fineprint,cn
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①计算n个观测值的平均值x(包括可疑值); 计算标准误差d; 计算丁值,见式(2-10) 算出的T若大于表2-1的临界值,则x,弃去,反之则保留 表2-1格拉布斯临界值T 46 L.67 2.2414 例5某河流的BOD测定结果为1.25、1.27、1.31、1.40,问1.40这个数据是否要 保留 解 x=1.31 d=0.066 T 0.066 查表2-1,当n=4时,T=1.46 T4<T,所以1.40应保留 (2)肖维涅准则本方法是借助于肖维涅数据取舍标准表来决定可疑值的取舍。方法 如下 ①计算标准误差d和n个数据的平均值x; ②根据观测次数n查表2-2得系数K; ③计算极限误差K,K4=Kd; ④用x-x与Kd进行比较,若x->Ka,则x弃去,反之则保留。 例6以上例数据用肖维涅准则检验: 根据表2-2,观测次数n=4时K=1.53 Kd=Kd=1.53×0.066=0.10098 1.40-1.31=0.09<Ka=0.10098,所以1.40应保留,与上例用格拉布斯检验判断 致。 衰22肖雄浧数值取舍标准 1.79101.96 2.07 1.68 1.86 2.10 2.820 多组观测值均值的可疑值的检验常用格拉布斯检验法,其步骤与一组观测值时用的格拉 布斯检验法类似 ①计算各组观测值的平均值x1,x2…xn,m为组数; ②计算上列均值的平均值x(x称为总平均值)和标准误差dz; =1又元 DF文件使用" pdffactory Pro"试用版本创建www,fineprint.cn
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