无穷小变换x→x+d江，在F(x)中诱导出变换F(x)→ F(x)+dF(x).现在有 dr-8器址 -8票ar (由(4.38)式) -ru85 dF (x)=8aX F. (4.44) 算子 K-U品 (4.45) 称为群的无穷小算子.而实现无穷小变换F(x)一F(x)+ dF(x)的算子S。是 S。1+6X. (4.46) 习题 .5重厦上面的分析，考虑群元中的无穷小改变，而不考虑变量 x的无穷小变换.据此证明：位于单位元的邻域中的群元素由下列 无穷小群生成元生成 x-是-(2)是 (a=1,…y) 49无穷小算子的一些实例 A,转动群S0(2) 群S0(2)是一个单参数()的群.我们来求它的唯一 的一个无穷小算子。无穷小变换是 x'=x-y80,6x=一y89; y'=x69+y,6y=x60. ，27· 通
因此，从（4.38)式有 四一活-y及)一器- 把这些结果代人(4.45)式中，就给出S0(2)的无穷小算子X: x-0是+uo)多-y品+r品， （4.47) 在角动量的盘子理论中，我们取 (4.48) 因此有 Xm十i￥3 (4.49) 而 Sa-1+80Jx, (4.50) B.S0(3)的无穷小算子 群S0(3)的元素是行列式为+1的三阶正交矩阵A.由 正交性，要求 AAa哼3 无穷小转动具有下列形式的变换矩阵 A=53十B 这里，3是三阶单位矩阵，而B的所有矩阵元都在零的邻域 中， 为了使变换保持正交性，必定有 93=AA=(3+B)(可3+B)≈3+B十B, 即 B+B▣0. 因此，B是一个反对称矩阵。它有三个独立分量.例如 ·28·
但是，x一（巴十B)x,即 jx+dx 所以 dx=ay-bz, dy▣-ax十c8, d知=bx-cy. 因此、S0(3)的无穷小算子是 x-2品+2号-y品 dc By K-82品+8g2品-品-品 x-出品+号 6(-ax)0 8a 8yy8xxBy 我们注意到，S0(3)的无穷小算子在交换子积运算下是封闭 的 [X,X2]=Xy[X23X3】=nX1,[X3,X】=X （4.51) 与角动量的最了理论相联系的标准算子是J,一Xk,而相应 的交换关系是 [J,J2]=3,[J2,J3】=J,[J3,J1-2.(4.52) 习题 4.6对下列两个变换群 x'-ax ·29·
y =by 及 x'Ax y=合， 分别求出它们的无穷小算子. 4.7求出S0(4)的无穷小算子集，并写出它们的交换关系.证明： 此时的六个无穷小算于，可以分成各含三个算子的两个子集合，而每 个子集合在交换子积的运算下都是封闭的， 4,8考虑实线性变类 xnx十6， 证明 水=品，水=8 同时 [X,X=-Xs. 4.9证明雏转动群50()有（一1）/2个无穷小算于，而它 们的一般形式是 -(是-名品）-，并且>以 4.10给出50(5)的无穷小算子的交换关系4. 4.11证明：群S0(2,1)有三个无穷小算千X,x2,×,它们满 足父换关系 [K,X】✉[X,X]=-x,【,x]=x. 4,10李群的构造常数 在此以前，我们在(4.17)式中已经看到，无穷小群生成元 的交换子积，可以表示为这些无穷小生成元的一个线性组合， 而并不需要引进什么新的量。也就是说，无穷小群生成元的 集合在交换子积运算下是封闭的，借助于无穷小变换的性 质，对于无穷小算子可以得到同样的结果。 ·30·
我]重新回忆一下(4.43)式： 8影-0（好(。）(-1,0,0=，，. (4.43) 这一式子表示，对起始点x(0)(这里A一0)进行一个无穷 小位移后点x所产生的变化. ·为了得到一个有假的位移，我们要求(443)式是可以积 分的，其可积条件是5) xi 02x (4.53) 把(4.43)式代入(4.53)式中得 20+g8器g(。） Oa 8x3 U:(x)(x(). Oap 0xiaa° 合并同类项得 (u照-)2+（器-8器）-0. 为了简洁起见，省写了x和a;这里，请注意(4.43)式. 现在以V:乘此式，并对x和P求和，注意到 程=混等， 可得 4-u48-(8器-8器）U:-6a)u. Oxi (4.54) U(x)是与&无关的.因此，如果上式左边关于a微分，我 们就得到零.而且 Ug。(c,(a)=0, 6a 31●