3.2自由电子的量子理论 、波函数与能级 薛定谔方程: Vy=Ey 2m 平面波形式的解:V/()=ve ik.r 其中为电子的位置矢量,k为波矢量 九2k E Lp=hk 2m 上面讨论的是无任何限制的自由电子的性质,它的动量具有确定值,速度与波的 群速度一致,而坐标不受任何限制,电子在空间各电出现的几率相等.在金属的 自由电子论中,电子的势能为零,但它不完全自由,它的位置受金属边界的限制
3.2 自由电子的量子理论 ψ Eψ m − ∇ = 2 2 2 h ik r r e r r r ⋅ = 0 ψ( ) ψ 薛定谔方程： 平面波形式的解 : 其中 为电子的位置矢量， 为波矢量 r . r k r m k E 2 2 2 h = p k r h r = 上面讨论的是无任何限制的自由电子的性质，它的动量具有确定值，速度与波的 群速度一致，而坐标不受任何限制，电子在空间各电出现的几率相等.在金属的 自由电子论中，电子的势能为零，但它不完全自由，它的位置受金属边界的限制. 一、波函数与能级
3.2自由电子的量子理论 、周期性边界条件 周期性边界条件: v(7+L)=v()---(1) (F+L1)=V(F)---(2) (+L)=v()--(3)L=M 将周期性边界条件(1)式与金属电子的波动方程联立得: =1□、2 丌 0,+1,±2, 2兀n.,1 0±1±2 同理有 丌 n.n.=0±1±2 能级E=< nx +- m2212
3.2 自由电子的量子理论 一、周期性边界条件 周期性边界条件： ( ) ( ) (3) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) (1) + = − − − + = − − − + = − − − r L r r L r r L r z y x r r r r r r ψ ψ ψ ψ ψ ψ 将周期性边界条件（1）式与金属电子的波动方程联立得： =1 xLx ik e , 0, 1, 2,L 2 = x x = ± ± x x n n L k π 同理有： , 0, 1, 2,L 2 = y y = ± ± y y n n L k π , 0, 1, 2,L 2 = z z = ± ± z z n n L k π 1 1 2 2 3 3 x y x L N a L N a L N a = = = ( ) 2 22 22 2 2 2 2 z z y y x x L n L n L n m E = + + π h 能级
3.3费米面与态密度 「一、我米面 电子气中的粒子满足泡利不相容原理,服从费米一狄拉克统计,在 平衡时,能量为E的能级被电子占据的几率为: f(e) Fermi-Dirac分布 kpT 其中:4为电子的化学势,一般称绝对零度下的电子化学势为费米面 T=0K时, fE E>EF:f(E)=0状态全空1 E<EF:f(E)=1状态全被占据 E
• • • • • • • • • • • • • • • • EF 3.3费米面与态密度 一、费米面 电子气中的粒子满足泡利不相容原理，服从费米—狄拉克统计，在 平衡时，能量为E的能级被电子占据的几率为： 1 ( ) 1 B E k T f E e −μ = + —Fermi- Dirac 分布 其中：μ 为电子的化学势, 一般称绝对零度下的电子化学势为费米面 T=0K时， μ＝EF : () 0 : () 1 F F E E fE E E fE > = < = E f(E) 1 状态全空 EF 状态全被占据
3.3费米面与态密度 二、费米面的物理意义 费米能级在k空间的等能面一费米面 绝对零度下,金属中电子态被占据和未被占据的能级分界面 费米能级是绝对零度下电子的化学势; 自由电子的费米面为球面。 特别提示: 有些教科书、专著或文章中,将任何温度下的电子化 f(e 学势均称为费米面,此时费米能级是温度的函数,而 绝对零度下的费米能级记为:EF k,T=0 kBT=I kgT=2.5 kT=0 E<< E<<E E<<E kT=1 B={陡变E=E/E=1E=Ef(B)=1,E=E 之k7=25 0 E>E 0 E>>ER 0 E>>EF 费米分布曲线
3.3费米面与态密度 二、费米面的物理意义 费米能级在k空间的等能面－费米面； 绝对零度下，金属中电子态被占据和未被占据的能级分界面； 费米能级是绝对零度下电子的化学势； 自由电子的费米面为球面。 特别提示： 有些教科书、专著或文章中，将任何温度下的电子化 学势均称为费米面，此时费米能级是温度的函数，而 －绝对零度下的费米能级记为：EF0 1 1 ( ) + = − k T E E B F e f E a 0 . kBT = ⎪⎩ ⎪⎨⎧ > = << = F F F 0 1 ( ) E E E E E E f E 陡变 b 1 . kBT = ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ >> = << = F F F 0 2 1 1 ( ) E E E E E E f E c. kBT = 2.5 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ >> = << = F F F 0 2 1 1 ( ) E E E E E E f E 费米分布曲线 k BT = 1 k T = 0 B k T = 2.5 B
3.3费米面与态密度 三、费米面计算方法及态密度 系统中的电子总数: E-E +1 n=f(e)G(eJdE gledE g(E)是电子的态密度 十分重要
系统中的电子总数： 1 1 F B E E E k T N e − = + ∑ 3.3费米面与态密度 三、费米面计算方法及态密度 0 0 0 ()() ( ) EF N f E g E dE g E dE ∞ = = ∫ ∫ g(E) 是电子的态密度 －－十分重要