重庆工学院：《误差理论与数据处理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 线性参数的最小二乘法处理

、最小二乘法原理 残余误差方程式为: 1=l1-(a1x1+a122+…+a11) 2=l2-(a21x1+a2x2+…+a2x1) -Ln-(anx,+an2x2+.+anx, l1,l2,…,ln直接测量结果 x1X2y…xn待求的被测量的估计值 1,12yn直接测量结果的残余误差 11,C12yam残余误差方程的Xt个系数

一、最小二乘法原理 残余误差方程式为： 1 1 11 1 12 2 1t t v l ( a x a x ... a x ) = − + + + 2 2 21 1 22 2 2t t v l ( a x a x ... a x ) = − + + + n n n n nt t 1 1 2 2 v l ( a x a x ... a x ) = − + + + 1 2 n l ,l ,...,l 直接测量结果 x , x ,..., x 1 2 n 待求的被测量的估计值 v ,v ,...,v 1 2 n 直接测量结果的残余误差 a ,a ,...,a 11 12 nt 残余误差方程的 n×t 个系数

、最小二乘法原理 设有列向量 X 和nxt阶矩阵a1a1…a 21 22 n>t n2

一、最小二乘法原理 1 2 n l l L . . . l       =         1 2 n v v V . . . v       =         1 2 t x x Xˆ . . . x       =         11 12 1 21 22 2 1 2 t t n n nt a a ... a a a ... a A a a ... a       =       设有列向量 和 n×t 阶矩阵 n>t

、最小二乘法原理 则线性参数的残余误差方程为 11 22 2 n2 则等精度测量时线性参数的残余误差方程为 =最小

一、最小二乘法原理 1 1 1 11 12 1 2 2 21 22 2 2 1 2 t t n n t n n nt v l x a a ... a v l a a ... a x . . . . . . . . . v l x a a ... a                         = −                               则线性参数的残余误差方程为 则等精度测量时线性参数的残余误差方程为 1 2 1 2 n n v v v v ... v . . . v         =          最小

、最小二乘法原理 Vv=最小 (L-AX)(L-AX)=最小 线性参数的不等精度测量还可以转化为等 精度的形式,从而可以利用等精度测量时测量 数据的最小二乘法处理的全部结果

一、最小二乘法原理 T V V = 最小 ˆ T ˆ ( L AX ) ( L AX ) − − = 最小 线性参数的不等精度测量还可以转化为等 精度的形式，从而可以利用等精度测量时测量 数据的最小二乘法处理的全部结果

二、正规方程 为了获得更可靠的结果,测量次数总要多于 未知参数的数目,即所得误差方程式的数目总是 要多于未知数的数目。因而直接用一般解代数方 程的方法是无法求解这些未知参数的。最小二乘 法则可以将误差方程转化为有确定解的代数方程 组(其方程式数目正好等于未知数的个数),从而 可求解出这些未知参数。这个有确定解的代数方 程组称为最小二乘法估计的正规方程(或称为法 方程)

二、正规方程 为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于 未知参数的数目，即所得误差方程式的数目总是 要多于未知数的数目。因而直接用一般解代数方 程的方法是无法求解这些未知参数的。最小二乘 法则可以将误差方程转化为有确定解的代数方程 组(其方程式数目正好等于未知数的个数)，从而 可求解出这些未知参数。这个有确定解的代数方 程组称为最小二乘法估计的正规方程(或称为法 方程)