讨论题 求B 1.一无穷长载流直导 线,在某处弯成一个半 d i 径为R的半形,通以电 流,求垂直于0点的直 线上一点P(oo’=r)的 P 磁感应强度 解:分三段计算 1)半圆 OB≈oll×F 4丌 db = dbsin e dB = dB cos Osin R2+ IR B dBsin e P dB. dB cos osin (p cos e Sm e R B 4=1 101R R2丌 4z√(x2+R2
讨论题 一． 求 B 1. 一无穷 长载流 直导 线，在某处弯成一个半 径为 R 的半形，通以电 流，求垂直于 O 点的直 线上一点 P(oo’=r)的 磁感应强度 解：分三段计算 1） 半圆 3 0 4 r Idl r dB = cos sin sin , dB dB dB dB z x = = 2 2 2 r = R + x cos sin sin 0 dB dB B dB z x = = , r R r x cos = .sin = 2 2 3 2 0 3 0 0 4 4 (x R ) I R Rd r I R Bx + = =
uol xsin Rdo= Hold 4丌 4z√Vx2+!smw=2hR 4丌 R 2)∞→半圆代公式 B Ao (cos 6,-cos 8,) 47 61=0,cos61=1 vx2+R2B1÷4l R R cos 6, cosa,= (1 个 +R2 沿z方向 3)半圆→∞ R CoS,= cos a=CoS(I-B)= COs. cos =-1 √x2+R2 B,=61 (1 4. R ↑沿z方向 叠加,2少( R 十 4zV(x2+R2) x+r R2丌 B B.=0 4zV(x2+R2) 2.证明:当一对电流元对一平面成镜象对称时,它们在对称 面上产生的合磁感 应强度必沿平面的 ldl 法线方向
2 2 3 0 2 2 3 0 0 3 0 0 ( ) 2 4 sin ( ) 1 4 sin 4 x R IxR d x R IxR Rd r I x Bz + = + = = 2） → 半圆 代公式 (cos cos ) 4 1 2 0 = − r I B ， 1 = 0,cos1 = 1 + = − + = = (1 ) 4 cos cos , 2 2 0 1 2 2 2 1 x R R x I B x R R 沿 z 方向 3） 半圆 → ， cos cos cos( ) ,cos 2 cos 1 2 2 1 = = − + = = − = − x R R + = (1− ) 4 2 2 0 2 x R R x I B 沿 z 方向 叠加得 + + − + = ) 1 ( ) ( 4 2 2 2 3 2 2 0 x x R R R x x I x R Bz , 0 4 ( ) 2 2 3 2 0 = + x = By x R I R B 2.证明：当一对电流元对一平面成镜象对称时，它们在对称 面上产生的合磁感 应强度必沿平面的 法线方向
取dl1,l2所在平面为x-y平面,y-z平面为对称面 假设,l1=dxi+cy,AP=(-a,b、C)= 则有,l2=-di+dhyA2P=(a,b,c)=F2 dBn=l1×r1+dl, dx dy 0+I-dx dy 0=-2cdyi (axi+dy)×+(ahxi+d)×2 Cl X )+dy×(+n2) (F-n)=2a(7+2)=2b+2c代入 3010089 而电元 天准内区于两对的 开的 3如图电流I流过边长为a的等边三角形导线,求电 流在此三角形为底的正四面体的顶点处P的磁感应A C 强度B的大小和方向
取 1 2 dl ,dl 所在平面为 x－y 平面，y－z 平面为对称面。 假设， dl dxi dyj 1 = + ， 1 1 A P ( a,b, c) r = − = → 则有， dl dxi dyj 2 = − + 2 2 A P (a,b, c) r = = → 1 1 2 2 dB dl r dl r P = + cdyi a b c dx dy i j k a b c dx dy i j k 0 + − 0 = −2 − = 1 2 1 1 2 2 (dxi dyj) r ( dxi dyj) r dB dl r dl r P = + + − + = + ( ) ( ) 1 2 1 2 dxi r r dyj r r = − + + r r ai ( 1 − 2 ) = 2 r r bj ck ( 1 + 2 ) = 2 + 2 代入 3.如图电流 I 流过边长为 a 的等边三角形导线，求电 流在此三角形为底的正四面体的顶点处 P 的磁感应 强度 B 的大小和方向
解:一根有限长载流导线中线上的B B ab 4Tr cos61-C0s(丌-61 cOS 2n a cos.= cos 2 32 则等边三角形三根边在P点的磁感应强度为 B AB =Be=B=B 三者方向如图,∑B1=0, P Bi b.=3b.=3B. cos a cosa=oo PD 3 B=3 uo/ 1 10 2√3m323m6m ,方向向上同 4.如图取直角坐标系xyz,在-d≤x≤d的一 层无穷区域内有均匀的传导电流,电流密度的 方向为z轴的正方向,大小恒定为j。试求区 域内外各处的磁感应强度B的分布 图可以等效于一系列与Z轴平行的无线大电 流平板。磁感应强度只有y轴分量
解：一根有限长载流导线中线上的 B 1 0 1 1 0 cos 2 [cos cos( )] 4 r I r I BAB = − − = r a 2 3 = ， 2 1 3 cos cos 1 = = ， 则等边三角形三根边在 P 点的磁感应强度为 1 0 2 3 B B B a I BAB = = BC = CA = 三者方向如图， B|| = 0 ， 3 3 1 cos 3 1 BP = B⊥ = B⊥ = B 3 1 cos = = PD OD ， a I a I a I BP 6 3 3 2 3 1 2 3 3 0 0 0 = = = ，方向向上同 B⊥ 。 4．如图取直角坐标系 xyz，在− d x d 的一 层无穷区域内有均匀的传导电流，电流密度的 方向为 z 轴的正方向，大小恒定为 j。试求区 域内外各处的磁感应强度 B 的分布。 图可以等效于一系列与 Z 轴平行的无线大电 流平板。磁感应强度只有 y 轴分量
利用安培环路定理。 解:1)如图切一薄片,沿Z轴 分割成成对长直导线,叠加结果 的dB必平行或反平行于y轴; 或者从轴矢量角度分析 2)对一块板作安培环路如图 B·dl L 2B=1∥→B=4 2J,与距离无关 2)如图叠加结果:中垂面上B=0 作高斯面如图 y x<a B·dl AoJ/x x>d BL B·dl=1o.jdl B=lord 5如图(a)所示,半径为R、质量为m的匀质细圆环均匀带电, 总电量为Q(Q>0),放在光滑的水平面上.环内外有垂直环 面向上的均匀磁场B.若将圆环以角速度o绕着通过圆心的 竖直轴匀速旋转.试求环内因为这种转动而形成的附加张 力
利用安培环路定理。 解：1）如图切一薄片，沿 Z 轴 分割成成对长直导线，叠加结果 的 dB 必平行或反平行于 y 轴； 或者从轴矢量角度分析 2）对一块板作安培环路如图 = L B dl jl 0 lB jl 2 = 0 B j 2 0 = ，与距离无关 2）如图叠加结果：中垂面上 B=0 作高斯面如图 x d B dl jxl L = 0 B jx = 0 x d B dl jdl L = 0 B = 0 jd 5.如图(a)所示，半径为 R、质量为 m 的匀质细圆环均匀带电， 总电量为 Q(Q＞o)，放在光滑的水平面上．环内外有垂直环 面向上的均匀磁场 B．若将圆环以角速度 o 绕着通过圆心的 竖直轴匀速旋转．试求环内因为这种转动而形成的附加张 力。 0