《高层建筑结构与抗震》讲义

的概念。如前所述,对应于O=O1的特解为: xu(0)=Au sin(O, t +P1 x1(O)=A2sin(ot+92)∫ (2-38) 将O=01代入式(2-32),得: m81 A1+m2o12A2 (2-39) m12n1+m2O,、1 A12=0 当体系振动时,上式的系数行列式应等于零。根据齐次线性方程组性质可知,齐次方程 组(2-39)中的两个方程并不是彼此独立的,其中一个方程可以从另一个方程用线性组合的方 法得到。所以,两个方程实际上只起到一个方程的作用。即未知数的数目比方程的数目多 个。这时方程式只能有不定解,即只能假定其中的一个未知数等于某一定值时,才能从方程 (2-39)中任一个方程求出另一个未知数。也就是说,只能从方程(2-39)中求出A41和A2的 比值来 (m18 m212 显然,这一比值与时间t无关。于是,由式(2-38)可见,体系在振动过程中的任何时刻 各质点的位移的比值x2(1)/x1(1)始终保持不变,且等于x1(2)/x()。 同样可以得到体系按2振动过程中,任何瞬时各质点 的位移比值x2(1)/x21(D)也始终保持不变,且等于 A2/A21 综上所述,对应于频率O1和O2,微分方程组(2-37) 的特解乃是对应于这样两种振动:前者各质点按A2/A1的 比值作简谐振动,而后者各质点按A2/A21的比值作简谐振 。因此,它们在振动过程中,各自振动形式保持不变,而 只改变其大小。我们将相应于O1的振动形式叫做第一主振 型(简称第一振型或基本振型),将相应于ω2的振动形式叫 做第二主振型(简称第二振型)。在实际计算中,绘振型曲 线时,常令某一质点的位移等于1,另一质点的位移可根据 相应的比值确定。图2-6(a)和图2-6(b)分别为两个质点体 图2-6 系的第一振型和第二振型的示意图。 对于两个质点的振动体系而言,一般可求出两个互相独立的特解,故对应地就有两个主 振型,它们也是体系所固有的一种特性。就每一个振型而言,只有在特定的初始条件下,振 动才会呈现这种形式。当质点的初始位移xn(O或初始速度xn(O)的比值与某一主振型的值 相同时,体系才会按该主振型振动。 在一般初始条件下,体系的振动曲线,将包含全部振型。由微分方程理论知道,通解等 于各特解的线性组合,即: (0=A sin(o, (+p,)+A21 sin(@(+2) x2()=A2sin(o1+)+A2sn(o2+92) (2-41)

3 的概念。如前所述，对应于1 的特解为：        ( ) sin( ) ( ) sin( ) 12 12 1 1 11 11 1 1     x t A t x t A t (2-38) 将1代入式(2-32)，得：                        0 1 0 1 1 21 11 2 22 2 12 1 11 2 11 2 12 12 m xA m A m A m A       (2-39) 当体系振动时，上式的系数行列式应等于零。根据齐次线性方程组性质可知，齐次方程 组(2-39)中的两个方程并不是彼此独立的，其中一个方程可以从另一个方程用线性组合的方 法得到。所以，两个方程实际上只起到一个方程的作用。即未知数的数目比方程的数目多一 个。这时方程式只能有不定解，即只能假定其中的一个未知数等于某一定值时，才能从方程 (2-39)中任一个方程求出另一个未知数。也就是说，只能从方程(2-39)中求出 A11 和 A12 的 比值来： 2 12 2 1 1 11 11 12 ) 1 (    m m A A    (2-40) 显然，这一比值与时间 t 无关。于是，由式(2-38)可见，体系在振动过程中的任何时刻 各质点的位移的比值 ( )/ ( ) 12 11 x t x t 始终保持不变，且等于 (2) 1 x / (1) 1 x 。 同样可以得到体系按2振动过程中，任何瞬时各质点 的 位 移 比 值 ( )/ ( ) 22 21 x t x t 也 始 终 保 持 不 变 ， 且 等 于 A22 / A21。 综上所述，对应于频率1 和2 ，微分方程组(2-37) 的特解乃是对应于这样两种振动：前者各质点按 A12 / A11 的 比值作简谐振动，而后者各质点按 A22 / A21的比值作简谐振 动。因此，它们在振动过程中，各自振动形式保持不变，而 只改变其大小。我们将相应于1的振动形式叫做第一主振 型（简称第一振型或基本振型），将相应于2 的振动形式叫 做第二主振型（简称第二振型）。在实际计算中，绘振型曲 线时，常令某一质点的位移等于 1，另一质点的位移可根据 相应的比值确定。图 2-6(a)和图 2-6(b)分别为两个质点体 系的第一振型和第二振型的示意图。 对于两个质点的振动体系而言，一般可求出两个互相独立的特解，故对应地就有两个主 振型，它们也是体系所固有的一种特性。就每一个振型而言，只有在特定的初始条件下，振 动才会呈现这种形式。当质点的初始位移 (0) ji x 或初始速度 x ji (0)  的比值与某一主振型的值 相同时，体系才会按该主振型振动。 在一般初始条件下，体系的振动曲线，将包含全部振型。由微分方程理论知道，通解等 于各特解的线性组合，即：            ( ) sin( ) sin( ) ( ) sin( ) sin( ) 2 12 1 1 22 2 2 1 11 1 1 21 2 2         x t A t A t x t A t A t (2-41) 图 2-6

由上式可见,在一般初始条件下,任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复 合振动。显然,如果初始条件接近某一振型时,则这个振型在组合中所占的分量就大。当初 始条件完全符合某一振型时,则其他振型分量就不会产生。但是这是很难实现的。 (2)多质点弹性体系自由振动的位移方程及其解答 与两个质点体系的情形类似,对于n个质点的体系,线性微分方程组的通解可写成: x,(1)=∑4sn(aot+q) (j=1,2,…,n) 由式(2-42)可见,在一般初始条件下,任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加 而成的复合振动。需要指出的是,试验结果表明,振型愈高,阻尼作用所造成的衰减愈快, 所以通常高振型只在振动初始才比较明显,以后逐渐衰减。因此,在建筑抗震设计中,仅考 虑较低的几个振型的影响。 (3)主振型的正交性 对于多质点弹性体系,它的不同的两个主振型之间存在着一个重要特性,即主振型的正 交性。在体系振动计算中经常要利用这个特性。为了便于证明主振型的正交性,而又不失一 般性,仍采用两个质点体系来分析。由式(2-40)可得: A1=(m1A1+m26242)o2 2-43a) A12=(m21A1+m262A42)O2 类似地,可得 A21=(m1A21+m22A2)02 (2-43b) A2=(m621A21+m26242)O2 分别以m1O2A1和m2O242乘以式(2-43a)的第一和第二式,然后再相加;再分别以 mO2A1和m2O2A12乘以式(2-43b)的第一和第二式,然后再相加。显然,这样所得到的两 个等式的右边完全相等。所以,等式左边也相等,即 (O2-O1)(m1A1 A12A2)=0 因O1≠ m,Au A2 +m2A21Az 上式就是两个质点体系主振型的正交性,对于n个质点的体系,主振型正交条件可写成 ∑mAA=0≠ (2-46) 式中m1质点i的质量;A、An-分别为第k振型和第j振型i质点的相对位移(图 图2-7振型的正交性 (a)多质点体系;(b)第k振型;(c)第j振型

4 由上式可见，在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复 合振动。显然，如果初始条件接近某一振型时，则这个振型在组合中所占的分量就大。当初 始条件完全符合某一振型时，则其他振型分量就不会产生。但是这是很难实现的。 （2） 多质点弹性体系自由振动的位移方程及其解答 与两个质点体系的情形类似，对于 n 个质点的体系，线性微分方程组的通解可写成：    n j i ji j j x t A t 1 ( ) sin( ) (j=1,2,…,n) (2-42) 由式(2-42)可见，在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加 而成的复合振动。需要指出的是，试验结果表明，振型愈高，阻尼作用所造成的衰减愈快， 所以通常高振型只在振动初始才比较明显，以后逐渐衰减。因此，在建筑抗震设计中，仅考 虑较低的几个振型的影响。 （3） 主振型的正交性 对于多质点弹性体系，它的不同的两个主振型之间存在着一个重要特性，即主振型的正 交性。在体系振动计算中经常要利用这个特性。为了便于证明主振型的正交性，而又不失一 般性，仍采用两个质点体系来分析。由式(2-40)可得：        2 12. 1 21 11 2 22 12 1 2 11. 1 11 11 2 12 12 1 ( ) ( )       A m A m A A m A m A (2-43a) 类似地，可得：        2 22 1 21 21 2 22 22 2 2 21. 1 11 21 2 12 22 2 ( ) ( )       A m A m A A m A m A (2-43b) 分别以 21 2 m12 A 和 22 2 m22 A 乘以式(2-43a)的第一和第二式，然后再相加；再分别以 11 2 m11 A 和 12 2 m21 A 乘以式(2-43b)的第一和第二式，然后再相加。显然，这样所得到的两 个等式的右边完全相等。所以，等式左边也相等，即： ( )( 1 11 21 2 12 22 ) 0 2 1 2 2  m A A m A A  (2-44) 因1 ≠2，故 m1A11 A12 m2A21A22 0 (2-45) 上式就是两个质点体系主振型的正交性，对于 n 个质点的体系，主振型正交条件可写成：   n i mi Aik Aij 1 0 (k≠j) (2-46) 式中 mi -质点 i的质量； Aki 、 Aji -分别为第 k 振型和第 j 振型 i 质点的相对位移（图 2-7b、c）。 图 2-7 振型的正交性 (a) 多质点体系；(b) 第 k 振型；(c) 第 j 振型 图 2-8 2 (a) 1 m1 (b) Ak1 Akn i m2 n mi mn Ak2 Aki (c) Aj1 Ajn Aj2 Aji

由式(2-46)可见,所谓主振型的正交性,是指这样一种性质:即两个不同的主振型的 对应位置上的质点位移相乘,再乘以该质点的质量,然后将各质点所求出的上述乘积做代 数和,其值等于零。 2.多质点弹性体系地震反应 (1)振动微分方程的建立 由动力学原理,可以给出多质点弹性体系(图2-8)在地震作用下的运动微分方程组 mx;+∑kx+∑mx=-mxg(=12…,m) (2)运动微分方程组的解 为了便于解运动微分方程组,假定阻尼系数c与质点质量m和刚度系数k,有下列 关系 Cir=a, m, +a,k 其中a1、a2为两个比例常数,其值可由试验确定。这时,作用在体系上的阻尼力可写成 因而,运动微分方程组(2-47)变成 mx1+amx()+a2∑kx、()+kx,(1)=-mx2()(=1,2,…,n)(250 将体系任一质点i的位移x(1)按主振型展开 ()=∑q1(0 (2-51 其中q,()称为广义坐标,它是时间t的函数:xn为第j振型质点的相对位移。经整理得 微分方程组 a m,q,x,+a,m,ox,g,+m, x,g,=-m, s(2-52) ∑mx+ )q (2-53) 将上式等号两边各乘以第k振型的位移x后,并对i求和 ∑∑mxx9,+(a1+a0)9,+09,=2mxx 将上式 和∑ 互换位置,并注意到振型的正交性,则有 q+(a1+a2O)q+01q1=-yxg(=12…,m)(255) 其中

5 由式(2-46)可见，所谓主振型的正交性，是指这样一种性质：即两个不同的主振型的 对应位置上的质点位移相乘，再乘以该质点的质量，然后将各质点所求出的上述乘积做代 数和，其值等于零。 2．多质点弹性体系地震反应 （1） 振动微分方程的建立 由动力学原理，可以给出多质点弹性体系（图 2-8）在地震作用下的运动微分方程组 g i n r n r r ir r ir i i m x k x c x m x         1 1 (i 1,2,,n) (2-47) （2） 运动微分方程组的解 为了便于解运动微分方程组，假定阻尼系数 ir c 与质点质量 mi 和刚度系数 ir k ，有下列 关系 ir i ir c a m a k  1  2 (i 1,2,, n) (2-48) 其中 a1、 a2 为两个比例常数，其值可由试验确定。这时，作用在体系上的阻尼力可写成     n r ir r i i i R a m x a k x 1 1 2 (2-49) 因而，运动微分方程组(2-47)变成 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 m x a m x t a k x t k x t m x g t i n r ir r ir r i i i i          (i 1,2,, n) (2-50) 将体系任一质点i 的位移 x (t) i 按主振型展开   n j i j ji x t q t x 1 ( ) ( ) (2-51) 其中 q (t) j 称为广义坐标，它是时间 t 的函数； ji x 为第 j 振型质点i 的相对位移。经整理得 微分方程组： g i n j i j ji i j ji i j ji j i j ji j m q x a m q x a m x q m x q m x               1 2 2 1 2   (2-52) 或 g i j j j j j n j i ji m x q a a q q m x             2  2 1 2 1 (  )  (2-53) 将上式等号两边各乘以第 k 振型的位移 ki x ，并对i 求和：                n i g i ki n i n j i ji ki j j j j j m x x q a a q q m x x 1 1 1 2 2 1 2 (  )  (2-54) 将上式  n i 1 和 n j 1 互换位置，并注意到振型的正交性，则有 g j j j j j j q a a q q x    ( 1  2 2 )  2  (i 1,2,, n) (2-55) 其中

m. x mix +a0 将上式代入(2-5),得: O (i=1,2,…,n) 这样,经过变换,便将原来的运动微分方程组(2-47分解成n个以广义坐标q()为变量的独 立微分方程了。它与单质点体系在地震作用下的运动微分方程(2-7)基本相同,所不同的只 是方程(2-7)中的变成5,;O变成O,;同时等号右边多了一个系数y,。所以,式(2-58) 的解可按照式(2-7)积分求得: (r)e sino (t-t)di q()=yA() 其中 ()=--Jx2(r)e5 sin@, (t-t)dt (2-61) 比较(2-61)和式(2-16)可见,△,()相当于阻尼比5八、自振频率O,的单质 点体系在地震作用下的位移(图2-9)。这个单质点体系成为与振型j相应的振子 求得各振型的广义坐标q,()(=12,…,n)后,就可按式(2-51)求出原体系 的位移反应 x()=∑9()x=∑y△()x (2-62) 图2-9 上式表明,多质点弹性体系质点i的地震反应等于各振型参与系数与该振型相应 振子的地震位移反应的乘积,再乘以质点i的相对位移,然后再把它总和起来。这种振型分 解法不仅对计算多质点弹性体系的地震位移反应十分简便,而且也为反应谱理论计算多质点 体系的地震作用提供了方便的条件。 六、多质点体系的水平地震作用 多自由度弹性体系的水平地震作用及其地震内力可采用振型分解反应谱法求得,当结构 高度不超过40m,以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构以及近似于单质 点体系的结构,亦可采用比较简单的底部剪力法。现仅讲述将振型分解反应谱法。 1.振型分解反应谱法 多质点弹性体系在地震作用下质点上的惯性力就是地震作用。故质点i上的地震作用为

6      n i i ji n i i ji j m x m x 1 2  1 (2-56) 令           j j j a a    2 1 2 (i 1,2,, n) (2-57) 将上式代入(2-55)，得： g j j j j j j j q q q x    2 2  (i 1,2,, n) (2-58) 这样，经过变换，便将原来的运动微分方程组(2-47)分解成n 个以广义坐标q(t) 为变量的独 立微分方程了。它与单质点体系在地震作用下的运动微分方程(2-7)基本相同，所不同的只 是方程(2-7)中的变成j ；变成j ；同时等号右边多了一个系数j 。所以，式(2-58) 的解可按照式(2-7)积分求得：         q t x e t d j t t g j j j j j ( ) ( ) sin ( ) 0 ( )        (2-59) 或 q (t) (t) j j j (2-60) 其中        t x e j t d t t g j j j j ( ) sin ( ) 1 ( ) 0 ( )        (2-61) 比较(2-61)和式(2-16)可见， (t) j 相当于阻尼比j 、自振频率j 的单质 点体系在地震作用下的位移（图 2-9）。这个单质点体系成为与振型 j 相应的振子。 求得各振型的广义坐标 q (t) j ( j 1,2,,n) 后，就可按式(2-51)求出原体系 的位移反应：      n j j j ji n j i j ji x i q t x t x 1 1 ( ) ( )  ( ) (2-62) 上式表明，多质点弹性体系质点i的地震反应等于各振型参与系数与该振型相应 振子的地震位移反应的乘积，再乘以质点i的相对位移，然后再把它总和起来。这种振型分 解法不仅对计算多质点弹性体系的地震位移反应十分简便，而且也为反应谱理论计算多质点 体系的地震作用提供了方便的条件。 六、 多质点体系的水平地震作用 多自由度弹性体系的水平地震作用及其地震内力可采用振型分解反应谱法求得，当结构 高度不超过 40m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构以及近似于单质 点体系的结构，亦可采用比较简单的底部剪力法。现仅讲述将振型分解反应谱法。 1．振型分解反应谱法 多质点弹性体系在地震作用下质点上的惯性力就是地震作用。故质点i 上的地震作用为 图 2-9

F()=-mxg2(1)+x;(1) 由振型正交性可得:∑yxB=1,所以x()可以写成 2rx (2-64) 又由式(2-62)得 x(1) 将式(264)及式(2-65)代入式(2-63),得 F()=-m∑yxx2()+△() (2-66) 式中|x()+△()为第j振型相应“振子”(它的自振频率为O,阻尼比为5,)的绝 对加速度。 由式(2-72)可以看出,作用在第j振型第i质点上的地震作用最大绝对值为 a,=x(0)+△A()/g (2-68) G mig 式(2-68)是第j振型对应振子的最大绝对加速度与重力加速度之比,所以它是相应于第 j振型的地震影响系数,这时,自振周期为与第j振型对应振子的周期T,即为j振型的 自振周期 这样,多质点弹性体系第j振型第i质点的水平地震作用标准值,可写成 Fi=ar xi J 式中F-第j振型第i质点的水平地震作用标准值:a1-相应于第j振型自振周期的地 震影响系数;γ,-第j振型参与系数,按式(2-56)计算;xn-第j振型第i质点的水平 相对位移;G1-集中于质点i的重力载荷代表值,应取结构和构配件自重标准值和各可变 载荷组合值之和。 求出第j振型第质点的水平地震作用F后,就可按一般力学方法计算结构的地震作 用效应S,(弯矩、剪力、轴向力和变形)。我们知道,根据振型分解反应谱法确定的相应于 各振型的地震作用F(=12,…,n;j=1,2…m)均为最大值。所以,按F所求得的地

7         F (t) m x g (t) xi (t) i i (2-63) 由振型正交性可得：  n j j ji x 1  1，所以 x g (t)  可以写成     n j ji g j x g t x x 1 ( )  (2-64) 又由式(2-62)得      n j ji j j x t x 1 ( )  (2-65) 将式(2-64)及式(2-65)代入式(2-63)，得：          ( ) ( ) ( ) 1 F t m x x g t i t n j i i j ji (2-66) 式中        x g (t) i (t) 为第 j 振型相应“振子”（它的自振频率为j ，阻尼比为j ）的绝 对加速度。 由式(2-72)可以看出，作用在第 j振型第i 质点上的地震作用最大绝对值为 max ( ) ( )        F m x x g t i t ji ij ji (2-67) 令 a x g t i t g j ( ) ( ) / max        (2-68) Gi mig (2-69) 式(2-68)是第 j 振型对应振子的最大绝对加速度与重力加速度之比，所以它是相应于第 j 振型的地震影响系数，这时，自振周期为与第 j 振型对应振子的周期Tj ，即为 j 振型的 自振周期。 这样，多质点弹性体系第 j 振型第i质点的水平地震作用标准值，可写成 ji j j jiGi F a x (i 1,2,, n；j 1,2,,n) (2-70) 式中 Fji -第 j 振型第i质点的水平地震作用标准值； j a -相应于第 j 振型自振周期的地 震影响系数； j -第 j 振型参与系数，按式(2-56)计算； ji x -第 j 振型第i质点的水平 相对位移；Gi -集中于质点 i 的重力载荷代表值，应取结构和构配件自重标准值和各可变 载荷组合值之和。 求出第 j 振型第 i质点的水平地震作用 Fji 后，就可按一般力学方法计算结构的地震作 用效应 j S （弯矩、剪力、轴向力和变形）。我们知道，根据振型分解反应谱法确定的相应于 各振型的地震作用 Fji (i 1,2,,n；j 1,2,, n) 均为最大值。所以，按 Fji 所求得的地