为了便于求方程(2-7)的特解,我们将 “扰力” xg()看作是无穷多个连续作用的微分脉 冲,如图2-2 所示。现在讨论任一微分脉冲的作用。设它 在 t=t-dr开始作用,作用时间为dr,此 时微分脉冲 的大小为-xg(τ)dr。显然,体系在微分脉 冲作用后仅 产生自由振动。这时,体系的位移可按式 (2-3)确定。 但式中的x(0)和x(0)应为微分脉冲作用后dr 瞬时的位移 和速度值 根据动量定理 图22 x (t dt 将x(0)=0和x(O)的值代入式(2-3),即可求得时间r作用的微分脉冲所产生的位移反应 dx =-e fog-m)X (t) Sin o'(-r)dr (2-15) 将所有组成扰力的微分脉冲作用效果叠加,就可得到全部加载过程所引起的总反应。因此,将式(2-15) 积分,可得时间为t的位移 x0)=-1xo (2-16) 上式就是非齐次线性微分方程(②2-⑦)的特解,通称杜哈梅( Duhamel)积分。它与齐次微分方程(2-8)的通 解之和就是微分方程(2-7)的全解。但是,由于结构阻尼的作用,自由振动很快就会衰减,公式(2-9)的影 响通常可以忽略不计 分析运动方程及其解答可以看到:地面运动加速度xg(1)直接影响体系地震反应的大小;而不同频率 (或周期)的单自由度体系,在相同的地面运动下会有不同的地震反应;阻尼比2对体系的地震反应有直 接的影响,阻尼比愈大则弹性反应愈小 四、单质点弹性体系水平地震作用 1.水平地震作用基本公式 由结构力学可知,作用在质点上的惯性力等于质量m乘以它的绝对加速度,方向与加速度的方向相反, F()=-mxg()+x() (2-17) 式中F()为作用在质点上的惯性力。其余符号意义同前 如果将式(2-3)代入式(2-17),并考虑到cx(t)远小于kx(1)而略去不计,则得 F(r=kr(0=mox(o) 由上式可以看到,相对位移x(1)与惯性力F()成正比,因此,可以认为在某瞬时地震作用使结构产生相 对位移是该瞬时的惯性力引起的。也就是为什么可以将惯性力理解为一种能反应地震影响的等效载荷的原 将式(2-16)代入式(2-18),并注意到o'和的微小差别,令O=',则得 F(=-mon xg()e so(-nsino(t-t)dr (2-19)
6 为了便于求方程(2-7)的特解，我们将 “ 扰 力 ” x g (t) 看作是无穷多个连续作用的微分脉 冲，如图 2-2 所示。现在讨论任一微分脉冲的作用。设它 在 t d开始作用，作用时间为 d，此 时微分脉冲 的大小为 x g ()d 。显然，体系在微分脉 冲作用后仅 产生自由振动。这时，体系的位移可按式 (2-3)确定。 但式中的 x(0) 和 (0) x 应为微分脉冲作用后 瞬时的位移 和速度值。 根据动量定理： x(0) xg ()d (2-14) 将 x(0) =0 和 (0) x 的值代入式(2-3)，即可求得时间作用的微分脉冲所产生的位移反应 t d x dx e t g sin '( ) ' ( ) ( ) (2-15) 将所有组成扰力的微分脉冲作用效果叠加，就可得到全部加载过程所引起的总反应。因此，将式(2-15) 积分，可得时间为 t 的位移 t t x t x g e t d 0 ( ) ( ) sin '( ) ' 1 ( ) (2-16) 上式就是非齐次线性微分方程(2-7)的特解，通称杜哈梅（Duhamel）积分。它与齐次微分方程(2-8)的通 解之和就是微分方程(2-7)的全解。但是，由于结构阻尼的作用，自由振动很快就会衰减，公式(2-9)的影 响通常可以忽略不计。 分析运动方程及其解答可以看到：地面运动加速度 x g (t) 直接影响体系地震反应的大小；而不同频率 （或周期）的单自由度体系，在相同的地面运动下会有不同的地震反应；阻尼比对体系的地震反应有直 接的影响，阻尼比愈大则弹性反应愈小。 四、 单质点弹性体系水平地震作用 1．水平地震作用基本公式 由结构力学可知，作用在质点上的惯性力等于质量 m 乘以它的绝对加速度，方向与加速度的方向相反， 即 F(t) m x g (t) x(t) (2-17) 式中 F(t) 为作用在质点上的惯性力。其余符号意义同前。 如果将式(2-3)代入式(2-17)，并考虑到 c x(t) 远小于kx(t) 而略去不计，则得： ( ) ( ) ( ) 2 F t kx t m x t (2-18) 由上式可以看到，相对位移 x(t) 与惯性力 F(t) 成正比，因此，可以认为在某瞬时地震作用使结构产生相 对位移是该瞬时的惯性力引起的。也就是为什么可以将惯性力理解为一种能反应地震影响的等效载荷的原 因。 将式(2-16)代入式(2-18)，并注意到' 和的微小差别，令='，则得： t t F t m x g e t d 0 ( ) ( ) () sin( ) (2-19) 图 2-2
由上式可见,水平地震作用是时间t的函数,它的大小和方向随时间t而变化。在结构抗震设计中 并不需要求出每一时刻的地震作用数值,而只需求出水平作用的最大绝对值。设F表示水平地震作用的最 大绝对值,由式(2-19)得 F=mo xg(te""sin o(-r)dr 或 F=ms (2-21) 这里 (r)e" -t)sino(t-t )dr (2-22) S 代入式(2-21),并以F代替F,则得 式中FB一水平地震作用标准值:S。一质点加速度最大值:F一地震动峰值加速度:k一地震系数 β一动力系数;G一建筑的重力荷载代表值(标准值)。 式(2-23)就是计算水平地震作用的基本公式。由此可见,求作用在质点上的水平地震作用FB,关键 在于求出地震系数k和动力系数B 2.地震系数k 地震系数k是地震动峰值加速度与重力加速度之比,即 k (2-24) g 也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。显然,地面加速度愈大,地震的影响就愈强烈,即 地震烈度愈大。所以,地震系数与地震烈度有关,都是地震强烈程度的参数 3.动力系数B 动力系数B是单质点弹性体系在地震作用下反应加速度与地面最大加速度之比,即 B (2-25) 也就是质点最大反应加速度对地面最大加速度放大的倍数。 4.地震影响系数 为了简化计算,将上述地震系数k和动力系数B的乘积用a来表示,并称为地震影响系数。 这样,式(2-23)可以写成
7 由上式可见，水平地震作用是时间 t 的函数，它的大小和方向随时间 t 而变化。在结构抗震设计中， 并不需要求出每一时刻的地震作用数值，而只需求出水平作用的最大绝对值。设F 表示水平地震作用的最 大绝对值，由式(2-19)得： max 0 ( ) ( ) sin ( ) t t F m x g e t d (2-20) 或 F mSa (2-21) 这里 max 0 ( ) ( ) sin ( ) t t g a S x e t d (2-22) 令 max g a S x x g kg max 代入式(2-21)，并以 FEk 代替 F ，则得： FEk mkg kG (2-23) 式中 FEk－水平地震作用标准值；Sa －质点加速度最大值； max g x －地震动峰值加速度；k －地震系数； －动力系数；G －建筑的重力荷载代表值（标准值）。 式(2-23)就是计算水平地震作用的基本公式。由此可见，求作用在质点上的水平地震作用 FEk ，关键 在于求出地震系数 k 和动力系数 。 2．地震系数 k 地震系数 k 是地震动峰值加速度与重力加速度之比，即 g x k g max (2-24) 也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。显然，地面加速度愈大，地震的影响就愈强烈，即 地震烈度愈大。所以，地震系数与地震烈度有关，都是地震强烈程度的参数。 3．动力系数 动力系数 是单质点弹性体系在地震作用下反应加速度与地面最大加速度之比，即 max g a x S (2-25) 也就是质点最大反应加速度对地面最大加速度放大的倍数。 4．地震影响系数 为了简化计算，将上述地震系数k 和动力系数 的乘积用 a 来表示，并称为地震影响系数。 a k (2-26) 这样，式(2-23)可以写成 FEk aG (2-27)
() 0.45a a=[720.2n(T-5Tx)a T(3) 00.1 6,0 图2-3地震影响系数曲线 因为 a=KB= 所以,地震影响系数a就是单质点弹性体系在地震时最大反应加速度(以重力加速度g为单位)。另一方 面,若将式(2-27)写成a=FB/G,则可以看出,地震影响系数乃是作用在质点上的地震作用与结构重力 荷载代表值之比。 《抗震规范》就是以地震影响系数a作为抗震设计依据的,其数值应根据烈度、场地类别、设计地震 分组以及结构自振周期和阻尼比确定。 这时水平地震影响系数曲线按图2-3确定,形状参数和阻尼调整系数应按教材规定调整 内容回顾 1.竖向荷载、水平荷载和地震作用,在高层建筑中水平荷载和地震作用起控制作用 2.地震的传播及类型,地震震级,基本烈度;我国的“三水准”的抗震设防目标与二阶段设计方法, “三水准,二阶段”的抗震设防可概括为“小震不坏,中震可修,大震不倒”。 3.单自由度弹性体系地震反应分析,主要是运动方程解的一般形式及水平地震作用的基本公式及计 算方法 4.计算水平地震作用关键在于求出地震系数k和动力系数B
8 因为 g S x S g x a k a g a g max max (2-28) 所以，地震影响系数 a 就是单质点弹性体系在地震时最大反应加速度（以重力加速度 g 为单位）。另一方 面，若将式(2-27)写成a FEk /G ，则可以看出，地震影响系数乃是作用在质点上的地震作用与结构重力 荷载代表值之比。 《抗震规范》就是以地震影响系数a 作为抗震设计依据的，其数值应根据烈度、场地类别、设计地震 分组以及结构自振周期和阻尼比确定。 这时水平地震影响系数曲线按图 2-3 确定，形状参数和阻尼调整系数应按教材规定调整。 内容回顾 1. 竖向荷载、水平荷载和地震作用，在高层建筑中水平荷载和地震作用起控制作用。 2. 地震的传播及类型，地震震级，基本烈度；我国的“三水准”的抗震设防目标与二阶段设计方法， “三水准，二阶段”的抗震设防可概括为“小震不坏，中震可修，大震不倒”。 3. 单自由度弹性体系地震反应分析，主要是运动方程解的一般形式及水平地震作用的基本公式及计 算方法。 4.计算水平地震作用关键在于求出地震系数 k 和动力系数。 图 2-3 地震影响系数曲线
《高层建筑结构与抗震》辅导材料二 荷载与作用(二) 学习目标 1.掌握多自由度弹性体系地震反应分析方法; 2.掌握多自由度弹性体系的振型分解反应谱法; 3.掌握多质点地震作用近似计算法底部剪力法 4.了解竖向地震作用,自振周期实用方法 学习重点 多自由度弹性体系地震反应分析; 2.多自由度弹性体系的振型分解反应谱法; 3.底部剪力法; 4.自振周期实用计算方法。 五、多质点弹性体系的地震反应 对于图2-4a所示的多层框架结 构,应按集中质量法将i-i和t1 (i+1)-(i+1)之间的结构重力荷载、 楼面和屋面可变荷载集中于楼面和屋 面标高处。设它们的质量为m1(i=1 n),并假设这些质点由无 重量的弹性直杆支承于地面上(图 2-4b)。这样,就可以将多层框架结构 简化成多质点弹性体系,一般来说 对于具有n层的框架,可简化成n个 图2-4 多质点弹性体系。 (a)多层房屋:(b)多质点弹性体系 1.多质点弹性体系的自由振动 为了掌握多质点弹性体系地震作用的计算,需要熟悉多质点弹性体系自由振动的一些基 本内容。为了叙述方便起见,我们首先讨论两个质点弹性体系的自由振动,然后再推广到n 个质点的情形。 (1)两个质点体系的位移方程及其解答 图2-5表示两个质点体系作自由振动,m1、m2分别为两个质点 的集中质量。设在振动过程中某瞬时的位移分别为x()和x2(),则 作用在m1和m2上的惯性力分别为-m1x1(1)和-m2x2()。设不考 虑阻尼的影响,根据叠加原理,可写出质点m1和m2的位移表达式 x1()=-m1x1(1)1-m2x2(1)62 x2(1)=-m1x1(1)21-m2x2()62 式中δ表示在k点作用一个单位力而在i点所引起的位移,它的大小 反映结构的柔软程度,故称它为柔度系数。现将式(2-29)写成标准形 图2-
1 《高层建筑结构与抗震》辅导材料二 荷载与作用（二） 学习目标 1. 掌握多自由度弹性体系地震反应分析方法； 2. 掌握多自由度弹性体系的振型分解反应谱法； 3. 掌握多质点地震作用近似计算法-底部剪力法； 4. 了解竖向地震作用，自振周期实用方法。 学习重点 1. 多自由度弹性体系地震反应分析； 2. 多自由度弹性体系的振型分解反应谱法； 3. 底部剪力法； 4. 自振周期实用计算方法。 五、 多质点弹性体系的地震反应 对于图 2-4a 所示的多层框架结 构 ， 应 按 集 中 质 量 法 将 i i 和 (i 1) (i 1) 之间的结构重力荷载、 楼面和屋面可变荷载集中于楼面和屋 面标高处。设它们的质量为mi (i =1， 2，3，…，n )，并假设这些质点由无 重量的弹性直杆支承于地面上（图 2-4b）。这样，就可以将多层框架结构 简化成多质点弹性体系，一般来说， 对于具有 n 层的框架，可简化成 n 个 多质点弹性体系。 1．多质点弹性体系的自由振动 为了掌握多质点弹性体系地震作用的计算，需要熟悉多质点弹性体系自由振动的一些基 本内容。为了叙述方便起见，我们首先讨论两个质点弹性体系的自由振动，然后再推广到 n 个质点的情形。 （1） 两个质点体系的位移方程及其解答 图 2-5 表示两个质点体系作自由振动，m1、m2分别为两个质点 的集中质量。设在振动过程中某瞬时的位移分别为 ( ) 1 x t 和 ( ) 2 x t ，则 作用在 m1和m2上的惯性力分别为 1( ) 1 m x t 和 2 ( ) 2 m x t 。设不考 虑阻尼的影响，根据叠加原理，可写出质点m1和m2的位移表达式： 22 2 21 2 1 2 1 12 2 11 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t m x t m x t x t m x t m x t (2-29) 式中ik 表示在 k 点作用一个单位力而在i 点所引起的位移，它的大小 反映结构的柔软程度，故称它为柔度系数。现将式(2-29)写成标准形 图 2-4 (a) 多层房屋；(b) 多质点弹性体系 图 2-5
式 x1(t)+m1x1(1)651+m2x2(1)612=0 (2-30) x2()+m1x1(1)621+m2x2(1)022=0 这就表示两个质点体系运动的微分方程组。它的每一项均表示位移,所以称它为自由振 动位移方程。 现求方程(2-30)的解。由于x(1)和x2()是质点位置和时间t的函数,故可将它们表示 x1()=x(1)T(t) (2-31) x2(D)=x(2)7() 式中x(1)、x(2)-分别为与质点1和2位置有关的函数,T(1)-时间t的函数。 对式(2-31)对时间求两次导,代人式(2-30)进一步进行化简可得 (1)+m251x(2)=0 m。62x(1)+m262-|x(2)=0 这是关于两个未知数x(1)和x(2)的齐次代数方程组。显然,x(1)=x(2)=0是一组解答, 这一组零解表示体系处于静止状态,而不发生振动,这不是我们需要的解。现在要求的应该 是x(1)和x(2)不同时为零时方程(2-32)的可用解,也就是说,要使方程(2-32)成立其系 数行列式应为零。将行列式展开,得: mm2(612-6Bb24-(m1+m26202+1=0(2-33 在式(2-33)中,质量m1、m2和柔度系数δ1、2、21和δ2均为常数,只有O是未知数, 故上式是一个关于O2的二次代数方程,它的解为 n2≈(m。1+mD2)干m1+m2δ2)2-4mn(6162-6) 34) m,m2(O, 由单质点无阻尼自由振动可知,方程的解分别为 T(=a, sin(@, (+91) (2-35a) 和 72(1)=a2Sin(21+2) (2-35b) 将式(2-35a)代入式(2-31),可得质点m1和m2对应于O1的振动方程的特解: xu( =x, Da, sin(o, t+,=Au sin(@, t+o (2-36) x12(0)=x,(2),sin(o (+1)=Au2 sin(@, (+1)J 将式(2-35b)代入式(2-31),可得质点m1和m2对应于O2的振动方程的特解 1()=x2(1)a1sin(O2+2)=A21sin(O2t+2) (2-37) x2(1)=x2(2)a2in(O21+q2)=A2Sin(21+q2 由式(2-36)和(2-37)可知,质点m1和m2均作简谐运动,而@,为其振动频率。由上可 知,两个质点的体系,共有两个频率,其中较小者ω1称为第一频率或基本频率,较大者O 称为第二频率。 现分别讨论当固有频率O=O1和O=O2时,对应的特解的一些性质,最后引入主振型
2 式： ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 22 2 21 2 1 2 1 12 2 11 2 1 1 1 x t m x t m x t x t m x t m x t (2-30) 这就表示两个质点体系运动的微分方程组。它的每一项均表示位移，所以称它为自由振 动位移方程。 现求方程(2-30)的解。由于 ( ) 1 x t 和 ( ) 2 x t 是质点位置和时间 t 的函数，故可将它们表示 为： ( ) (2) ( ) ( ) (1) ( ) 2 1 x t x T t x t x T t (2-31) 式中 x(1) 、x(2) -分别为与质点 1 和 2 位置有关的函数，T(t) -时间 t 的函数。 对式（2-31）对时间求两次导，代人式（2-30）进一步进行化简可得： (2) 0 1 (1) (1) (2) 0 1 2 1 21 2 22 1 11 2 2 12 m x m x m x m x (2-32) 这是关于两个未知数 x(1) 和 x(2)的齐次代数方程组。显然，x(1) = x(2)=0 是一组解答， 这一组零解表示体系处于静止状态，而不发生振动，这不是我们需要的解。现在要求的应该 是 x(1) 和 x(2)不同时为零时方程(2-32)的可用解，也就是说，要使方程（2－32）成立其系 数行列式应为零。将行列式展开，得： 1 0 2 1 11 2 22 2 4 m1m2 1122 12 m m (2-33) 在式(2-33)中，质量m1、m2和柔度系数11 、12 、21和22 均为常数，只有是未知数， 故上式是一个关于2的二次代数方程，它的解为： 2 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 2 1 2 11 22 12 2 1 2 11 22 12 2 2 1 11 2 22 1 11 2 22 1 2 m m m m m m m m 、 (2-34) 由单质点无阻尼自由振动可知，方程的解分别为： ( ) sin( ) 1 1 1 1 T t a t (2-35a) 和 ( ) sin( ) 2 2 2 2 T t a t (2-35b) 将式(2-35a)代入式(2-31)，可得质点m1和m2对应于1 的振动方程的特解： ( ) (2) sin( ) sin( ) ( ) (1) sin( ) sin( ) 12 1 1 1 1 12 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 x t x a t A t x t x a t A t (2-36) 将式(2-35b)代入式(2-31)，可得质点m1和m2对应于2 的振动方程的特解： ( ) (2) sin( ) sin( ) ( ) (1) sin( ) sin( ) 22 2 2 2 2 22 2 2 21 2 1 2 2 21 2 2 x t x a t A t x t x a t A t (2-37) 由式(2-36)和(2-37)可知，质点 m1和m2均作简谐运动，而j 为其振动频率。由上可 知，两个质点的体系，共有两个频率，其中较小者1称为第一频率或基本频率，较大者2 称为第二频率。 现分别讨论当固有频率1和2 时，对应的特解的一些性质，最后引入主振型