和老数格基越和岛空间科学与应用物理系2007.10
空间科学与应用物理系 2007.10
导数与微分的定义一、导数设函数 =f(x)在x的邻域内有定义,给x在x处以增量△x（≠O），函数y相应地得到增量Ay=f(xo+△x)-f(x），如果极限f(x+Ar)- f(x 存在,AylimlimAr-0AxAr→0Ax则称函数在点x.处可导，该极限值称为函数在x.处的导数。记为f（x），（xdydx |x=xo
导数与微分的定义 ❖ 一、导数 ❖ 设函数 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) , 0 - - lim lim x x x x y f x x x x x y y f x x f x y f x x f x x x x x f x y x dy dx → → = = = + + = ， ， 在 的邻域内有定义 给 在 处 以增量 （ ），函数 相应地得到增量 （ ） （ ），如果极限 （ ） （ ）存在， 则称函数在点 处可导，该极限值称为 函数在 处的导数。记为（ ），（ ）
y=f(x)MYoHXXo+AxXo导数的几何意义：y=f(x)在x.处的导数f(x)，表示曲线y=f(x)在M（xo.y。）处切线的斜率，即tanθ=f(x)
0 0 x x x + x y y f x = ( ) 导数的几何意义： 0 0 0 0 0 ( ) x ( ) ( ) M x y tan ( ) y f x f x y f x f x = = = ， ， ， 在 处的导数 ，表示曲线 在 （ ）处 切线的斜率，即 。 M x y （ 0 0 ， ）
Ay即： fc)= y(xo)= limoAx->0 Axf(xo +△x)- f(xo) _ dy= limdx Ix=xo△x△x->0那么dy = y'dx = f'dx
0 0 0 , , ( ) ( ) 0 0 0 0 , , lim ( ) ( ) lim x x x x x x y f y x f x x f x dy x dx dy y dx f dx → = → = = + − = = = = 即： 那么
二、导数与微分的运算法则设u=u(x),v=v(x)均可导， 则X(1)(cu)' = cu', d(cu)= cdu(2)(u+v'=u+y,du+v=du+dy(3)(uv)= uv+vu, d(uv)= udv+vduvu'-uv2(4)(0)D2-vdu- udy(V±0)a2VV
二、导数与微分的运算法则 ❖ 设 2 2 ( ), ( ) 1 2 3 4 0 0 u u x v v x cu cu d cu cdu u v u v d u v du dv uv uv vu d uv udv vdu u vu uv v v v u vdu udv d v v v = = = = + = + + = + = + = + − = − = ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 均可导，则 （ ）（ ） ，（ ） （ ）（ ） ，（ ） （ ）（ ） ，（ ） （ ） （ ） （ ）