复旦大学：《固体物理学》课程教学资源（讲义）第三、四章 能带论_晶体电子动力学

晶体电子的动量和坐标? 这是可行的,为什么? *晶体电子的本征态用具有确定波矢k和能量的 Bloch 函数来描写,状态k完全确定,坐标完全不确定 *然而,在外场下是非定态过程k显然会发生变化 *而在外场下电子状态可以看作是k附近的△k范围内 的本征态迭加而成→波包→分布在r附近的Δr范围 *电子的坐标→波包坐标! 实际上是用展宽动量,即△k,来换取坐标r的 可知性 具体过程→ 数学上比较繁复,但要记住结论 hmp:/0.107.0.68/ inche 晶体电子动力学

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体电子动力学 11 晶体电子的动量和坐标？ • 这是可行的，为什么？ * 晶体电子的本征态用具有确定波矢k和能量的Bloch 函数来描写，状态k完全确定，坐标完全不确定 * 然而，在外场下是非定态过程k显然会发生变化 * 而在外场下电子状态可以看作是k附近的Δk范围内 的本征态迭加而成波包分布在r附近的Δr范围 * 电子的坐标波包坐标！ • 实际上是用展宽动量，即Δk，来换取坐标r的 可知性 • 具体过程 * 数学上比较繁复，但要记住结论

Bloch本征态 *现含时,不同的k状态具有不同的能量可写为 / kor-En(k) r 假定电子在能带之间不能跃迁 *即在同一能带中运动,可略去能带指标 为简单起见,讨论一维情况 *求与取对应的波包中心位置,波包就是将k附近△k 范围内的本征函数迭加 E(k) ko+Ak/2 i k E(k) ko+Ak/2 方 △kJ-△Mk/2 △k J0-△/2 *调幅函数随k变化很小,可提到积分号外 hmp:/0.107.0.68/ inche 晶体电子动力学

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体电子动力学 12 • Bloch本征态 * 现含时，不同的k状态具有不同的能量可写为 • 假定电子在能带之间不能跃迁 * 即在同一能带中运动，可略去能带指标 • 为简单起见，讨论一维情况 * 求与k0对应的波包中心位置，波包就是将k0附近Δk 范围内的本征函数迭加 * 调幅函数随k变化很小，可提到积分号外     r   r k k k r k n t E i n t e u n        ,               / 2 / 2 00 1 , k k k k k t E k i kx k e u x dk k x t               / 2 / 2 00 0 k k k k t E k i kx k e dk k u x 

展开E(k), k=k+&8,E(R)=E(k)+ ,冰E(k)=“h dE(k) k E(ko) E(k) V4()a(x)2- e L hd(sk) △kJ0-△Mk/2 △k Sin E'(k),t/ △ 2 g=E()/) hmp:/0.107.0.68/ inche 晶体电子动力学

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体电子动力学 13      k dk dE k k k k E k E k k  0 0 0   ,          e d  k k x t u x e k k k k t E k t i k x E k i k x  k k              / 2 / 2 ' 00 0 0 0 1 ,               ' / 2 ' / 2 sin , 0 0 0 x E k t k x E k t k x t k k          dk dE k E' k  • 展开E(k)

看这个波包的几率分布为 △ SIn x-E().t/n) k(x,t) ≈l(x △ x(x)24x) -E(Ket/n 波包既与周期调幅因子有关,也与4(x,有关 如△=0,A=1,电子在全空间可以出现 如△不为零,|4P2的特点 *其中A(ξ)中的ξ=0时,波包振幅最大,而ξ>>0 时,波包振幅为零→波包局域在晶体中某一区域内 认为波包中心位置(=0)即电子坐标 x1(=0 I dE(k) VE. lK n dk hmp:/0.107.0.68/ inche 晶体电子动力学

http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体电子动力学 14 • 波包既与周期调幅因子有关，也与 A (x , t) 有关 • 如Δk=0 ， A=1，电子在全空间可以出现 • 如Δk不为零， |A| 2的特点 * 其中 A ( ξ )中的ξ=0时，波包振幅最大，而ξ>>0 时，波包振幅为零 波包局域在晶体中某一区域内 • 认为波包中心位置 ( ξ=0)即电子坐标                 2 2 2 2 2 , ' / 2 ' / 2 sin , 0 0 0 0 u x A x t x E k t k x E k t k x t u x k k k k k                    • 看这个波包的几率分布为 '  / 0 0  x  E k t   k    t dk dE k x k 0 1   E   t n k 0 1 r   k k 