分块矩阵代数运算 设A=(a)为nXm阶矩阵,将A分块为 r Az n-S 这里A1=(a1)为r×s阶矩阵,=1,…,;=1,…,s A12=(a)为r×(m-s)阶矩阵,i=1,…,r;=5+1,…,m A21=(a)为(n-r)×s阶矩阵=r+1,…,n=1,…, A2=(a)为(n-r)×(m-s)阶矩阵,=r+1,…,n4j=5+1, (1)分块矩阵运算 设A、B都是nXm阶矩阵,作了同样大小的分块 A 1 A L2 B B 12 B A Barn 则有 A1+B1A12+B1 ①A+B (1.12) A21+B21A2+B22 cA ②cA= 其中c为常数 (1.13) cA21 cA22 A A A (1.14) A (2)分块矩阵的逆 设A为n×m阶矩阵,B为mⅩl阶矩阵,对AB相应地分块, 使得分块后相应块的乘积有意义,即: A B A A 22n-r 22 则有 A1B1+A12B2A1B12+A12B22 AB (1.15) A21B1+A2B21A21B12+A22Bt
上述分块矩阵运算规则告诉我们:分块矩阵运算中只要分块分的 恰当,每个块可以当作“元素”,象矩阵不分块时一样进行运算就可 以了,又因为子块是矩阵,做乘法运算时,子块的顺序不能颠倒。 我们利用分块矩阵乘法的性质,可以推出分块矩阵的逆、分块 行列式及一些很有用的公式 ①设A为n×n矩阵 AA A ,而且|A1≠0 A 2 A 22 0 A12[I-A12A 则有 A21A1 IIA, 1 A 21 22 0 A1 (1.16) 0A22-A21A1A12 其中I为相应阶单位矩阵。 ②设同①,若A的逆存在,A1|≠0,则有 Au A A10 AA 00 A1h12(A2-AA1A12)(A2A1,- 或|A2≠0 0A22 (A1-A12A242)1(-I,A12A22) Ao A (1.18) (1.17)(1.18)式可利用(1.16)式两边求逆直接验证 ③设D为nXn阶矩阵可逆,a=(a An)’,则有 (D+ap)I=Di-DaPD/(1+A D'a)(1.19) 特别有
(D+B)=D1-DβD1/(1+BDB)(1.20) 证明:设A为(n+1)×(n+1)阶矩阵 d D B,-1 由(1.17)及(1.18)式A-1为 D a D-10 D (-1-BD-a)l(PD",-1) 00 00 (D+aB)-1( 取上二式左上角上的子块,令其相等得 D+DaPD"/(-1-Bda)=(D+aB)1 (D+aB)-=D-DaB D /(1+8D"a 上式中令a=B,则得 (D+BB)I=D-D D/(1+BD B) ④利用分块矩阵求逆公式可以求得行列式的一些有用公 式 A LI A 2 A1|A2-A2:AA2|(A1|≠0) A A (1.21) A, A A1-A12A2A2n1(A2≠0) A21A2 (1.22) 设∑为nXn方阵,可逆,B=(R1,…,月n) |=2|0+PxB=12|P∑B 8
0 B 即得 B∑B: 12I (1.23) 如果 =|2(1+B21B)=|2+B 即得 β2B Σ+ 3.矩阵的迹 设A=(a1)为n×n阶方阵,A的对角线元素之和称为矩阵A 的迹,记作tr(A),即 (A) (1.25 矩阵的迹有下列性质 (1)tr(a+B)=tr(A)+tr(B) (1.26) (2)t(cA)=cr(A)(c为常数) (1.27) (3)AB、BA都是方阵,则 tr(AB)=tr(BA) (1.28) 特别a=( b=(h1,b2,…,bn)’则有 a b;=a'b=tr(ab)=tr(ba) 第二节多元正态分布 多元正态分布定义 设X=(x1,x2,…,x)为随机向量,M=(,12…,P)为常 向量,E为正定矩阵,如果随机向量X的概率密度函数为 ∑」-2 p (r-p)'2(X-H (2x)2 9
∞<x<+ct=1,2 我们称X服从多元正态分布,记为X~Nμ,2),不强调维数可记 为X~N(u,2),X称为p维正态变量 现求X的均值与协方差矩阵 设X~N2(,2,则E(X)=H,D(X)=2 证明:X~N2(,E),X的概率密度函数为 p (X-p)2(x- (2 因∑为正定矩阵,存在可逆矩阵A,使E=AA,这时∑1=(A) A-1,|2=1A12,|Σ1t=|A|-.令 A(X-p=Y,或X=AY十 该变换的雅可比式为 a( a( A,1|=|A|=|2 在此变换下,得Y的概率密度函数为 g(yt,“yp (27∞1-2(x-E(x-pD}1 exp YY}|2 2 (2x)分p/ 即Y=(y1,…,yy~N2(0,D),因y;…,y独立同分布N(0,1), 所以有 E(Y)=0,D(Y)=I。 而因X=AY+J,从而 E(X)=E(AY+u)=AEY+A=u D(X)=E[(X-4)(X-p)]=E[(AY)(AY) FADCAEAA=2 定理证毕