第13卷第3期 智能系统学报 Vol.13 No.3 2018年6月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jun.2018 D0:10.11992/tis.201612022 网络出版t地址：http:/kns.cnki.net/cms/detail/23.1538.TP.20170702.0425.014.html 具有定常输入的二阶多智能体系统的平均一致性滤波 郑敏，刘成林，刘飞 (江南大学自动化研究所，江苏无锡214122) 摘要：本文考察了具有定常输入的二阶多智能体系统平均一致性滤波问题.提出了一种比例-积分一致性滤波算 法。在定常输人和固定对称连通拓扑的前提下，根据Routh判据和Nyquist判据分别得到二阶多智能体系统在无时 延和相同通信时延约束下渐近收敛一致的收敛条件，且多智能体系统最终一致性状态为定常输入的平均值。最后， 通过由5个智能体组成的多智能体系统在连通拓扑结构下的数值仿真，验证了理论结果的正确性。 关键词：平均一致性滤波：比例-积分算法：定常输入：通信时延：二阶多智能体系统：无时延：对称连通拓扑：频域分析 中图分类号：TP273文献标志码：A 文章编号：1673-4785(2018)03-0399-08 中文引用格式：郑敏，刘成林，刘飞.具有定常输入的二阶多智能体系统的平均一致性滤波.智能系统学报，2018.13(3：399-406. 英文引用格式：ZHENG Min,LIU Chenglin,LIU Fei.Average-.consensus filter of second-order multiagent systems with constant inputs[J].CAAI transactions on intelligent systems,2018,13(3):399-406. Average-consensus filter of second-order multiagent systems with constant inputs ZHENG Min,LIU Chenglin,LIU Fei (Institute of Automation,Jiangnan University,Wuxi 214122,China) Abstract:Average-consensus filtering of a second-order multiagent system with constant inputs was investigated and a proportional-integral consensus filtering algorithm was proposed.Based on constant input,fixed and symmetrical con- nection topology,and on the Routh and Nyquist Criteria,the asymptotically consistent convergence conditions of second-order multiagent systems without time delays and with identical communication delays were obtained.In addi- tion,the final consensus state of multiagent systems was the average value of the constant inputs.Finally,a numerical simulation of a multiagent system comprising five agents in the connection topology was used to verify the accuracy of the theoretical results. Keywords:average-consensus filter;proportional-integral algorithm;constant inputs;communication delay;second-or- der multi-agent systems;without time delay;symmetric and connected topology;frequency-domain analysis 目前，多智能体系统的分布式协调控制引起了 研究兴趣，并在分布式估计、分布式传感器网络等 众多学者的关注，并得到了广泛应用。一致性问题 领域得到应用。一致性滤波问题是指基于一致性协 是多智能体系统协调控制的最简单与最基本问题之 调控制的滤波算法，使每个智能体通过和相邻智能 一，得到了非常深入的研究，并取得了广泛的研究 体之间进行信息通信来达到相同的状态：如果每个 成果。 智能体渐近收敛到给定输入的平均值，那么这就是 近些年，一致性滤波问题引起了部分学者的 平均一致性滤波问题。OIfati--Saber等分别提出 了分布式低通一致性滤波和高通一致性滤波，它们 收稿日期：2016-12-19.网络出版日期：2017-07-02. 基金项目：国家自然科学基金项目(61473138,61104092)：江苏省 通过追踪网络中所有智能体输入的平均值来实现一 自然科学基金项目(BK20151130):江苏省六大人才高 峰项目(2015-DZXX-011). 致性滤波，但是存在估计误差。针对文献[3-5]中算 通信作者：刘成林.E-mail:liucl@jiangnan.edu.cn. 法存在的误差，涌现了一些改进算法来减少估计误
DOI: 10.11992/tis.201612022 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170702.0425.014.html 具有定常输入的二阶多智能体系统的平均一致性滤波 郑敏，刘成林，刘飞 （江南大学 自动化研究所，江苏 无锡 214122） 摘 要：本文考察了具有定常输入的二阶多智能体系统平均一致性滤波问题，提出了一种比例-积分一致性滤波算 法。在定常输入和固定对称连通拓扑的前提下，根据 Routh 判据和 Nyquist 判据分别得到二阶多智能体系统在无时 延和相同通信时延约束下渐近收敛一致的收敛条件，且多智能体系统最终一致性状态为定常输入的平均值。最后， 通过由 5 个智能体组成的多智能体系统在连通拓扑结构下的数值仿真，验证了理论结果的正确性。 关键词：平均一致性滤波；比例-积分算法；定常输入；通信时延；二阶多智能体系统；无时延；对称连通拓扑；频域分析 中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2018)03−0399−08 中文引用格式：郑敏, 刘成林, 刘飞. 具有定常输入的二阶多智能体系统的平均一致性滤波[J]. 智能系统学报, 2018, 13(3): 399–406. 英文引用格式：ZHENG Min, LIU Chenglin, LIU Fei. Average-consensus filter of second-order multiagent systems with constant inputs[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2018, 13(3): 399–406. Average-consensus filter of second-order multiagent systems with constant inputs ZHENG Min，LIU Chenglin，LIU Fei (Institute of Automation, Jiangnan University, Wuxi 214122, China) Abstract: Average-consensus filtering of a second-order multiagent system with constant inputs was investigated and a proportional-integral consensus filtering algorithm was proposed. Based on constant input, fixed and symmetrical connection topology, and on the Routh and Nyquist Criteria, the asymptotically consistent convergence conditions of second-order multiagent systems without time delays and with identical communication delays were obtained. In addition, the final consensus state of multiagent systems was the average value of the constant inputs. Finally, a numerical simulation of a multiagent system comprising five agents in the connection topology was used to verify the accuracy of the theoretical results. Keywords: average-consensus filter; proportional-integral algorithm; constant inputs; communication delay; second-order multi-agent systems; without time delay; symmetric and connected topology; frequency-domain analysis 目前，多智能体系统的分布式协调控制引起了 众多学者的关注，并得到了广泛应用。一致性问题 是多智能体系统协调控制的最简单与最基本问题之 一，得到了非常深入的研究，并取得了广泛的研究 成果。 近些年，一致性滤波问题[1]引起了部分学者的 研究兴趣，并在分布式估计、分布式传感器网络等 领域得到应用。一致性滤波问题是指基于一致性协 调控制的滤波算法，使每个智能体通过和相邻智能 体之间进行信息通信来达到相同的状态；如果每个 智能体渐近收敛到给定输入的平均值，那么这就是 平均一致性滤波问题[2]。Olfati-Saber 等 [3-5]分别提出 了分布式低通一致性滤波和高通一致性滤波，它们 通过追踪网络中所有智能体输入的平均值来实现一 致性滤波，但是存在估计误差。针对文献[3-5]中算 法存在的误差，涌现了一些改进算法来减少估计误 收稿日期：2016−12−19. 网络出版日期：2017−07−02. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61473138，61104092)；江苏省 自然科学基金项目 (BK20151130)；江苏省六大人才高 峰项目 (2015-DZXX-011). 通信作者：刘成林. E-mail: liucl@jiangnan.edu.cn. 第 13 卷第 3 期 智 能 系 统 学 报 Vol.13 No.3 2018 年 6 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jun. 2018
·400· 智能系统学报 第13卷 差6-。Freeman等提出了比例积分算法(propor-. 在图G中，若节点和节点j之间有一条路径，那 tional-integral algorithm,证明了该算法在输入是常 么称节点和节点之间是可达的，若有一个节点从 量的情况下收敛一致。与文献[7]相比，Bai等运用 图G中任意其他点是可达的，那么称该节点是全局 内部模型原则设计传递函数使每个智能体跟踪所 可达点。若图G中包含全局可达点，那么该图是连 有时变输入的平均值。Li等对比例积分算法(P 通的。 进一步研究，提出了改进的PI算法，并证明该算法 在本文中，I∈Rm表示n阶单位矩阵，0nxm∈Rx 收敛到定常输入的加权平均值：同时，Li等2也提 表示n阶零矩阵，1n表示向量[1…1]eR“,0n表示向 出一种新的混杂一致性滤波协议，给出了该协议分 量[0…0]∈R"。 别在固定拓扑和切换图下渐近一致的条件。 1.2模型描述 实际上，在多智能体协调控制网络中，智能体 n个二阶智能体构成的二阶多智能体系统为 之间进行信息传输伴随着通信时延，会影响系统集 =vi 体行为。目前，具有通信时延的一阶和二阶多智能 Vi=u,iEl (1) 体系统的一致性问题受到了学者的广泛关注3。 式中：x∈R、y,∈R、W,∈R分别表示智能体i的位置、 OIfati-Saber等1考察了具有通信时延的一阶多智 速度和控制输入。每个智能体有一个定常输入为 能体系统的一致性问题，给出了在相同通信时延作 9:∈R,如果： 用下多智能体系统收敛一致的时延范围。Wang等四 limxi(t)= -o n 基于圆盘定理和最大模原理，给出了智能体在具有 不同通信时延的一阶多智能体系统达到渐近一致的 则称多智能体系统式(1)解决平均一致滤波问题。 收敛条件。Lin等分析了具有相同时延的二阶多 为解决二阶多智能体系统的平均一致滤波问 智能体系统的一致性问题，给出了一致性收敛的时 题，本文提出了比例积分一致性滤波算法，即 延相关充要条件。针对具有不同时延的二阶多智能 u.=-kv:+y(pi-x)-kr >au(x-x)-km 体系统的一致性问题，Yang等2l根据小增益稳定性 (2) 原理，分别得到具有时不变和时变通信时延的系统 i=∑a(x-x) 渐近达到一致的充要条件，并把结论运用到时延高 式中：g,∈R和n:∈R分别表示智能体的输入和内部 阶多智能体系统的一致性分析中。 状态；k∈R、y∈R、kp∈R和k∈R为控制常数。不同 本文研究具有定常输入的二阶多智能体系统的 于针对一阶多智能体系统的平均一致滤波问题所提 平均一致性滤波问题。在现有的一致性滤波算法基 出的比例积分一致性算法，本文直接采用一致性协 础上，提出了一种比例积分算法(PD,并考察多智能 调控制项的积分量加入控制算法中。 体系统在定常输入和对称连通拓扑结构下的收敛问 在式(2)作用下，系统式(1)的闭环形式为 题。利用Routh判据，得到二阶多智能体系统渐近 =V 达到平均一致滤波的重要条件；根据Nyquist判据， v=-kvi+y(o-x)-kp>ai(x:-xj)-kim (3) 分析了二阶多智能体系统在相同通信时延约束下渐 近收敛平均一致滤波的充分条件。 i:=∑aj(-x) 1问题描述 3 一致性收敛分析 1.1连接拓扑图 2.1 无时延情况 n阶有向图G=(V,E,A)的组成部分包括：节点 将式(3)表示为多变量形式 集V={w,2,…,v}、边集E≤V×V以及加权邻接矩 龙=v 阵A=[al∈R"。便于描述，节点的下标集表示为 i=-kv+y(p-x)-kpLx-kin (4) T={1,2,…,。在图G中，节点指向节点j的有向边 i=Lx 为e=(i,)∈E,对应的连接权值为a>0,否则， 将式(4)进行Laplace变换，可得 a=0。如果a,=a>0,则称图G是对称的。节点 x(s)=P((s)+P()x(O)+ y 的邻接集合定义为W,=U∈V:(位，)∈E。根据邻接 矩阵写出拉普拉斯矩阵L=[](L∈R),定义为 PrO-女P (5) 0) i=j 其中 ysl i≠j P(s)=+ks+ys)I+kLs+kL (6)
差 [6-9]。Freeman 等 [7]提出了比例积分算法 (proportional-integral algorithm)，证明了该算法在输入是常 量的情况下收敛一致。与文献[7]相比，Bai 等 [8]运用 内部模型原则[10]设计传递函数使每个智能体跟踪所 有时变输入的平均值。Li 等 [11]对比例积分算法 (PI) 进一步研究，提出了改进的 PI 算法，并证明该算法 收敛到定常输入的加权平均值；同时，Li 等 [12]也提 出一种新的混杂一致性滤波协议，给出了该协议分 别在固定拓扑和切换图下渐近一致的条件。 实际上，在多智能体协调控制网络中，智能体 之间进行信息传输伴随着通信时延，会影响系统集 体行为。目前，具有通信时延的一阶和二阶多智能 体系统的一致性问题受到了学者的广泛关注[13-18]。 Olfati-Saber 等 [19]考察了具有通信时延的一阶多智 能体系统的一致性问题，给出了在相同通信时延作 用下多智能体系统收敛一致的时延范围。Wang 等 [20] 基于圆盘定理和最大模原理，给出了智能体在具有 不同通信时延的一阶多智能体系统达到渐近一致的 收敛条件。Lin 等 [21]分析了具有相同时延的二阶多 智能体系统的一致性问题，给出了一致性收敛的时 延相关充要条件。针对具有不同时延的二阶多智能 体系统的一致性问题，Yang 等 [22]根据小增益稳定性 原理，分别得到具有时不变和时变通信时延的系统 渐近达到一致的充要条件，并把结论运用到时延高 阶多智能体系统的一致性分析中。 本文研究具有定常输入的二阶多智能体系统的 平均一致性滤波问题。在现有的一致性滤波算法基 础上，提出了一种比例积分算法 (PI)，并考察多智能 体系统在定常输入和对称连通拓扑结构下的收敛问 题。利用 Routh 判据，得到二阶多智能体系统渐近 达到平均一致滤波的重要条件；根据 Nyquist 判据， 分析了二阶多智能体系统在相同通信时延约束下渐 近收敛平均一致滤波的充分条件。 1 问题描述 1.1 连接拓扑图 n G = (V,E, A) V = {v1, v2,··· , vn} E ⊆ V ×V A = [ai j] ∈ R n×n Γ = {1,2,··· ,n} G i j ei j = (i, j) ∈ E ai j > 0 ai j = 0 ai j=aji > 0 G i Ni = {j ∈ V : (i, j) ∈ E} L = [li j](L ∈ R n×n ) 阶有向图 的组成部分包括：节点 集 、边集 以及加权邻接矩 阵 。便于描述，节点的下标集表示为 。在图 中，节点 指向节点 的有向边 为 ，对应的连接权值为 ，否则， 。如果 ，则称图 是对称的。节点 的邻接集合定义为 。根据邻接 矩阵写出拉普拉斯矩阵 ，定义为 li j= ∑n j=1 ai j, i = j −ai j, i , j G i j j i G G 在图 中，若节点 和节点 之间有一条路径，那 么称节点 和节点 之间是可达的，若有一个节点从 图 中任意其他点是可达的，那么称该节点是全局 可达点。若图 中包含全局可达点，那么该图是连 通的。 I ∈ R n×n n 0n×n ∈ R n×n n 1n [1 ··· 1] ∈ R n 0n [0 ··· 0] ∈ R n 在本文中， 表示 阶单位矩阵， 表示 阶零矩阵， 表示向量 ， 表示向 量 。 1.2 模型描述 n个二阶智能体构成的二阶多智能体系统为 { x˙i = vi v˙i = ui ,i ∈ Γ (1) xi ∈ R vi ∈ R ui ∈ R i φi ∈ R 式中： 、 、 分别表示智能体 的位置、 速度和控制输入。每个智能体有一个定常输入为 ，如果： lim t→∞ xi(t) = 1 n ∑ i∈Γ φi 则称多智能体系统式 (1) 解决平均一致滤波问题。 为解决二阶多智能体系统的平均一致滤波问 题，本文提出了比例-积分一致性滤波算法，即 ui = −kvi +γ(φi − xi)−kP ∑ j∈Ni ai j(xi − xj)−kIηi η˙i = ∑ j∈Ni ai j(xi − xj) (2) φi ∈ R ηi ∈ R i k ∈ R γ ∈ R kp ∈ R kI ∈ R ηi 式中： 和 分别表示智能体 的输入和内部 状态； 、 、 和 为控制常数。不同 于针对一阶多智能体系统的平均一致滤波问题所提 出的比例-积分一致性算法，本文直接采用一致性协 调控制项的积分量 加入控制算法中。 在式 (2) 作用下，系统式 (1) 的闭环形式为 x˙i = vi v˙i = −kvi +γ(φi − xi)−kP ∑ j∈Ni ai j(xi − xj)−kIηi η˙i = ∑ j∈Ni ai j(xi − xj) (3) 2 一致性收敛分析 2.1 无时延情况 将式 (3) 表示为多变量形式 x˙ = v v˙ = −kv+γ(φ− x)−kP Lx−kIη η˙ = Lx (4) 将式 (4) 进行 Laplace 变换，可得 x(s) = P(s)φ(s)+ s+k γ P(s)x(0)+ 1 γ P(s)v(0)− kI γ P(s) s η(0) (5) 其中 P(s) = γsI (s 3 +ks2 +γs)I+kpLs+kIL (6) ·400· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷
第3期 郑敏，等：具有定常输入的二阶多智能体系统的平均一致性滤波 ·401· x(s)=[(s)x(s)…xn(s](s=[y(S)2(s)…v(s5 对应的右特征向量为r=一，其他n-1个特征值对 =()z….(s严，p)=色2.2，x0、 SS (0)、O)分别为智能体的位置、速度和内部状态初 应的特征向量为5=5：S,5假定0=合会$外 始值。 则ggr=I,QL0r=diag{d1,…,alo 定理1假设多智能体系统式(3)的连接拓扑 通过计算，可得 P(s)=OTOP(s)OO= 为对称连通的，且∑n0)=0。多智能体系统渐近 ysI 达到平均一致滤波，当且仅当下列条件： ++YS+kQLOTs+k0LOT0= (11) 1)k>0y>0: )e 2)k>0.k(y+kpA)>kA 式中 成立，其中，是拉普拉斯矩阵L的特征值，并且0= (12) 1<2≤3≤…≤dmo hm(S)=子+ks+y 证明证明过程分两步。1)利用Routh判据给 ys 出满足传递函数矩阵(6)特征方程的根在左半平面 P(s)=diag (13) Ys 的条件；2)利用传递函数的终值定理来证明多智能 s+ks2+(y+kpAn)s+kiAn 体系统式(3)渐近达到平均一致性。 根据终值定理可得 1)令传递函数矩阵P(s)的特征方程为 lim,-osP(s)=PO)p= det((s3+ks2+ys)I+kpLs+k L)=0 (7) 等价于 (14) +r+g+6,5+6=0 (8) i=1 1P(O)S 接下来，考察方程(9)的根的分布： s3+ks2+(y+kpa)s+k=0,i=1.....n 根据式(12、(13)可得(0)=1、P(0)=diag{0,0,…,0% (9) 当1=0时，式(9)表示为 因此得n-5,=2 s(s2+ks+y）)=0 (10) ②的证明由①的证明可得： 根据定理1的条件1)可得：特征方程式(10)有一个 ss+k P(s)x(0)=lims yspa s+k =0 根s=0,并且其他根为负实数。 lims-P(s)v(O)=lims-sP(s))=0. 1 当，i=2,3,…,n时，方程(9)的Routh阵列表为 5-0 y 5-0y Yy+kpA s2 k kiAi 同时，结合定理1中的假设∑0)=0，可得 k(y+kpAi)-kiAi k limP) no=m,Pg0 s-0Y 当且仅当定理1中的条件1)和2)都成立， Routh阵列表第一列系数为正数，特征方程式(9)的 鱼0=∑0=0。 y n y 根是负实数。 综合证明①和②，可以得到im,x()= 因此，当且仅当定理1的条件1)和2)都成立 时，多智能体系统式(3)渐近达到一致，则im-x(0= ∑，即多智能体系统式(3)渐近达到平均一致 n c,其中c为常向量。 滤波。 2)为了证明多智能体系统式(3)渐近达到平均 2.2有时延情况 一致滤波，分别证明式（⑤）满足： 由于通信时延在多智能体系统协调控制中不可 ①Psg(→，L 忽略，接下来考察式(2)在相同通信时延约束下的收 敛问题： ②保式中+PsxO.PsO和P -八0) ,()=-kv(0)+y(9:-x(t)- 渐近趋于零状态。 ai(x(1-T)-x(1-T))-km() (15) ①的证明在无向连通拓扑结构下，Laplacian 0=∑axt-T)-xt-r》 矩阵L是实对称的。入1=0是L的一个单一特征值， E
x(s)=[x1(s) x2(s)··· xn(s)]T v(s)=[v1(s) v2(s)··· vn(s)]T η(s) =[η1(s)η2(s) ··· ηn(s)]T φ(s) = [ φ1 s φ2 s ··· φn s ] T x(0) v(0) η(0) ， ， ， ， 、 、 分别为智能体的位置、速度和内部状态初 始值。 ∑ i∈Γ ηi(0) = 0 定理 1 假设多智能体系统式 (3) 的连接拓扑 为对称连通的，且 。多智能体系统渐近 达到平均一致滤波，当且仅当下列条件： 1) k > 0, γ > 0 ； 2) kI > 0, k(γ+kpλi) > kIλi λi λ1 < λ2 ⩽ λ3 ⩽ ··· ⩽ λn 成立，其中， 是拉普拉斯矩阵 L 的特征值，并且 0 = 。 证明 证明过程分两步。1) 利用 Routh 判据给 出满足传递函数矩阵 (6) 特征方程的根在左半平面 的条件；2) 利用传递函数的终值定理来证明多智能 体系统式 (3) 渐近达到平均一致性。 1) 令传递函数矩阵 P(s) 的特征方程为 det((s 3 +ks2 +γs)I+kpLs+kIL) = 0 (7) 等价于 ∏n i=1 s 3 +ks2 +(γ+kpλi)s+kIλi = 0 (8) 接下来，考察方程 (9) 的根的分布： s 3 +ks2 +(γ+kpλi)s+kIλi = 0, i = 1,··· ,n (9) 当 λ1 = 0 时，式 (9) 表示为 s(s 2 +ks+γ) = 0 (10) s = 0 根据定理 1 的条件 1) 可得：特征方程式 (10) 有一个 根 ，并且其他根为负实数。 λi 当 , i = 2,3,··· ,n时，方程 (9) 的 Routh 阵列表为 s 3 1 γ+kpλi s 2 k kIλi s k(γ+kpλi)−kIλi k s 0 kIλi 当且仅当定理 1 中的条件 1) 和 2) 都成立， Routh 阵列表第一列系数为正数，特征方程式 (9) 的 根是负实数。 limt→∞ x(t) = 因此，当且仅当定理 1 的条件 1) 和 2) 都成立 时，多智能体系统式 (3) 渐近达到一致，则 c，其中 c 为常向量。 2) 为了证明多智能体系统式 (3) 渐近达到平均 一致滤波，分别证明式 (5) 满足： P(s)φ(s) → 1n1 T n n ① φ ； s+k γ P(s)x(0) 1 γ P(s)v(0) kI γ P(s) s ②保证式(5)中 、 和 η(0) 渐近趋于零状态。 L λ1 = 0 L ①的证明 在无向连通拓扑结构下，Laplacian 矩阵 是实对称的。 是 的一个单一特征值， r = 1n √ n n−1 S = [S 2 S 3 ··· S n] Q = [ 1n √ n S] QQT = I QLQT =diag{λ1 ,··· , λn} 对应的右特征向量为 ，其他 个特征值对 应的特征向量为 。假定 ， 则 ， 。 通过计算，可得 P(s) = QTQP(s)QTQ = QT γsI (s 3 +ks2 +γs)I+kpQLQT s+kIQLQT Q = QT ( h1(s) 0 T n−1 0n−1 P¯(s) ) Q (11) 式中 h1(s) = γ s 2 +ks+γ (12) P¯(s) = diag{ γs s 3 +ks2 +(γ+kpλ2)s+kIλ2 ,··· , γs s 3 +ks2 +(γ+kpλn)s+kIλn } (13) 根据终值定理可得 lims→0 sP(s) φ s = P(0)φ = ( 1n √ n S ) ( h1(0) 0 T n−1 0n−1 P¯(0) ) 1 T n √ n S T φ = 1n1 T n n h1(0)φ+SP¯(0)S Tφ (14) h1(0)=1 P¯ 根据式(12)、(13)可得 、 (0)=diag{0,0,···,0}。 lims→0 sP(s) φ s = 1n1 T n n φ=1n 1 n ∑ i∈Γ 因此，得到 φi。 ②的证明 由①的证明可得： lim s→0 s s+k γ P(s)x(0) = lim s→0 s s+k γ sP(s) x(0) s = 0n lim s→0 s 1 γ P(s)v(0) = lim s→0 s 1 γ sP(s) v(0) s = 0n ∑ i∈Γ 同时，结合定理 1 中的假设 ηi(0) = 0 ，可得 lims→0 s kI γ P(s) s η(0) = lim s→0 kI γ sP(s) η(0) s = kI γ 1n1 T n n η(0) = kI1n nγ ∑ i∈Γ ηi(0) = 0n limt→∞ xi(t) = 1 n ∑ i∈Γ φi 综合证明①和②，可以得到 ，即多智能体系统式 (3) 渐近达到平均一致 滤波。 2.2 有时延情况 由于通信时延在多智能体系统协调控制中不可 忽略，接下来考察式 (2) 在相同通信时延约束下的收 敛问题： ui(t) = −kvi(t)+γ(φi − xi(t))− kp ∑ j∈Ni ai j(xi(t−τ)− xj(t−τ))−kIηi(t) η˙i(t) = ∑ j∈Ni ai j(xi(t−τ)− xj(t−τ)) (15) 第 3 期 郑敏，等：具有定常输入的二阶多智能体系统的平均一致性滤波 ·401·
·402· 智能系统学报 第13卷 在式(15)作用下，多智能体系统式(1)的闭环 引理2考虑3次多项式： 形式为 fi(x)=x+dix2+dzx+ds (t)=,(t) 假设满足系数d≥0并且d,<0,根据韦达定理，满足 (t0=-kw(0+y9:-x(0)- (x)=0只有唯一正根。 k,∑a,(x-t)-xt-x》-n0 (16) 定理2证明证明过程分两步。1)利用频域 0)= at-t)-x-r》 分析方法来给出使系统式(16)渐近达到平均一致 jEN, 滤波的通信时延T的范围：2)利用终值定理证明多 式中通信延时r>0。对式(16)进行Laplace变换 智能体达到平均一致性滤波。 得到 1)根据式(19)G,(s)特征方程为 sxi(s)-x(0)=vi(s) det((s3+ks2+ys)I+kLe-"s+k Le ")=0 sv(s)-(0)=-k()+y9(s)-x(s k>au/(x:(s)-xJ(s))e-*-kw:(s)-kmA(s) 等价于 (17 snA(s)-nO)=>a/x.(s)-x/(s)e"-w) 门+k+ys+ke”s+6e"=0 (21) 考察方程式(22)的根： 式中 s+ks2+ys+kple "s+kae "=0,i=1,2.....n (22) w()=∑,(0-xed 当s=0时，特征方程式(22)变为 jeN 0+k02+y0+kpe-00+ke-0F=0 定义一个向量w(s)=[w,(s)w2()w(s,式(17) 满足k入=0，由于1=0，所以满足入1=0时，5=0是 可进一步描述为 特征方程的单根。 x(s）=G(s)p(s)+ s+ 当s≠0时，式(22)整理为闭环特征函数的形式： G.(sx(0)+-G.(s)0) ki-kg5G.(s)w(s) (18) kpAi(s+ k G.(s) kp y50+ er=0 (23) ys 1+3+k32+y 式中 开环特征函数为 ysI G.(s)=(+ys)I+k,Le-s+kLe" (19) kpai(s+ (24) 定理2假设多智能体系统式(16)的连接拓扑 kS)=3+k32+Y5 为对称连通的。参数k、Y、k。、k满足定理1给出的 当s=jw,开环特征函数式(24)的频率特性为 条件，且T>0和∑.0)=0。多智能体系统式 (16)渐近达到平均世致滤波，如果条件： k(jw)= e (25) (jw)+k(jw)2+jyw 1)k2-2y≥0： k 根据lyquist判据，特征方程(22)的根是负实数，等 2)in( k 价于kGjw)的Nyquist曲线不包围(-l,j0)点。整理式 V (25)可得幅频特性为 成立，其中y,是式(20)的唯一正根： y3+(2-2y少y2+(y2-k2)y-k=0,i=2,3,…,n(20) k1w2+ 在证明定理2之前，先给出2个有用的引理： A:(w)= (26) 引理1考察函数： wvw2+(y-w2)2 CIx+C2 相频特性为 f闭=P+c32+4 Aw-nn会)-a2j-T- kp 假设满足c1>0、c2>0、c3>0和c4>0,那么在区 (27) 间xe(0,+o)上fx)是单调下降的。 接下来，考察A(w)关于w的单调性。令w2=y, 证明对f(x)关于x的导数： 考察函数 fw=-2c0-G9+3c,r-2c2c3r-96 +好 f0)）=+2-2y2+y (28) (x3+c3x2+C4x)2 由于c1>0、c2>0、c3>0和c4>0,那么在区间 由于k2-2y≥0，根据引理1可得f6y在区间y∈(0， x∈(0，+o)上f()<0始终成立，因此可得在区间 +∞)上是单调下降的函数，即幅频特性A,(w)随着w的 x∈(0，+oo)上f(x)是单调下降的。 增大而下降。令A,(w)=1,即号f0y)=1,可得
在式 (15) 作用下，多智能体系统式 (1) 的闭环 形式为 x˙i(t) = vi(t) v˙i(t) = −kvi(t)+γ(φi − xi(t))− kp ∑ j∈Ni ai j(xi(t−τ)− xj(t−τ))−kIηi(t) η˙i(t) = ∑ j∈Ni ai j(xi(t−τ)− xj(t−τ)) (16) 式中通信延时 τ > 0 。对式 (16) 进行 Laplace 变换 得到 sxi(s)− xi(0) = vi(s) svi(s)−vi(0) = −kvi(s)+γ(φi(s)− xi(s))− kp ∑ j∈Ni ai j(xi(s)− xj(s))e−sτ −kpwi(s)−kIηi(s) sηi(s)−ηi(0) = ∑ j∈Ni ai j(xi(s)− xj(s))e−sτ −wi(s) (17) 式中 wi(s) = ∑ j∈Ni ai j ∫ 0 −τ (xi(θ)− xj(θ))e−sθ dθ w(s) = [w1(s)w2(s)···wn(s)] 定义一个向量 T，式 (17) 可进一步描述为 x(s) = Gτ(s)φ(s)+ s+k γ Gτ(s)x(0)+ 1 γ Gτ(s)v(0)− kI γ Gτ(s) s η(0)+ kI −kp s γs Gτ(s)w(s) (18) 式中 Gτ(s) = γsI (s 3 +ks2 +γs)I+kpLe −sτ s+kILe −sτ (19) k γ kp kI T > 0 ∑ i∈Γ ηi(0) = 0 定理 2 假设多智能体系统式 (16) 的连接拓扑 为对称连通的。参数 、 、 、 满足定理 1 给出的 条件，且 和 。多智能体系统 式 (16) 渐近达到平均一致滤波，如果条件： k 2 1) −2γ ⩾ 0 ； τ < min i=2,3,···,n ( arctan( √ yi kp kI )−arccot( γ−yi k √ yi )+ π 2 √ yi 2) ) 成立，其中 yi是式 (20) 的唯一正根： y 3+(k 2−2γ)y 2+(γ 2−k 2 pλ 2 i )y−k 2 I λ 2 i = 0,i = 2,3,··· ,n (20) 在证明定理 2 之前，先给出 2 个有用的引理： 引理 1 考察函数： f(x) = c1 x+c2 x 3 +c3 x 2 +c4 x c1 > 0 c2 > 0 c3 > 0 c4 > 0 x ∈ (0,+∞) f(x) 假设满足 、 、 和 ，那么在区 间 上 是单调下降的。 证明 对 f(x) 关于x的导数： f ′ (x) = −2c1 x 3 −(c1c3 +3c2)x 2 −2c2c3 x−c2c4 (x 3 +c3 x 2 +c4 x) 2 c1 > 0 c2 > 0 c3 > 0 c4 > 0 x ∈ (0,+∞) f ′ (x) < 0 x ∈ (0,+∞) f(x) 由于 、 、 和 ，那么在区间 上 始终成立，因此可得在区间 上 是单调下降的。 引理 2 考虑 3 次多项式： f1(x) = x 3 +d1 x 2 +d2 x+d3 d1 ⩾ 0 d3 < 0 f1(x) = 0 假设满足系数 并且 ，根据韦达定理，满足 只有唯一正根。 T 定理 2 证明 证明过程分两步。1) 利用频域 分析方法来给出使系统式 (16) 渐近达到平均一致 滤波的通信时延 的范围；2) 利用终值定理证明多 智能体达到平均一致性滤波。 1) 根据式 (19) Gτ(s) 特征方程为 det((s 3 +ks2 +γs)I+kpLe −sτ s+kILe −sτ ) = 0 等价于 ∏n i=1 s 3 +ks2 +γs+kpλie −sτ s+kIλie −sτ = 0 (21) 考察方程式 (22) 的根： s 3 +ks2 +γs+kpλie −sτ s+kIλie −sτ=0,i = 1,2,··· ,n (22) 当 s = 0 时，特征方程式 (22) 变为 0 3 +k0 2 +γ0+kpλie −0τ 0+kIλie −0τ=0 满足 kIλi = 0 ，由于 λ1 = 0 ，所以满足 λ1 = 0 时， s = 0 是 特征方程的单根。 当 s , 0 时，式 (22) 整理为闭环特征函数的形式： 1+ kpλi(s+ kI kp ) s 3 +ks2 +γs e −sτ = 0 (23) 开环特征函数为 k(s) = kpλi(s+ kI kp ) s 3 +ks2 +γs e −sτ (24) 当 s = jw ，开环特征函数式 (24) 的频率特性为 k(jw) = kpλi(jw+ kI kp ) (jw) 3 +k(jw) 2 +jγw e −jwτ (25) k(jw) (−1,j0) 根据 Nyquist 判据，特征方程 (22) 的根是负实数，等 价于 的 Nyquist 曲线不包围 点。整理式 (25) 可得幅频特性为 Ai(w) = kpλi √ w2 + k 2 I k 2 P w √ k 2w2 +(γ−w2 ) 2 (26) 相频特性为 β(w) = arctan( kp kI w)−arccot( γ−w 2 kw )−wτ− π 2 (27) Ai(w) w w 2 接下来，考察 关于 的单调性。令 = y， 考察函数 f(y) = k 2 p y+k 2 I y 3 +(k 2 −2γ)y 2 +γ 2y (28) k 2 −2γ ⩾ 0 f(y) y ∈ (0, +∞) Ai(w) w Ai(w) = 1 λ 2 i f(y) = 1 由于 ，根据引理 1 可得 在区间 上是单调下降的函数，即幅频特性 随着 的 增大而下降。令 ，即 ，可得 ·402· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷
第3期 郑敏，等：具有定常输入的二阶多智能体系统的平均一致性滤波 ·403· y+(2-2yy2+y2-k2y-k=0(29) 由于a=a,得到 由于2-2y≥0，根据引理2，方程式(29)在y∈(0， aj(x(r)-xj(T))dr+a;(xj(r)-x:(r))dr=0 +o)只有一个正解，即A:(w)=1,在w∈(0，+∞)的解 为%=。由？=f6y)可知，关于f)是单调下 因此 降的，根据f)关于y是单调下降的，因此入，关于y,是 (41) 单调上升的。根据Nyquist判据，为了使kGw)奈奎 ae-ea=0 斯特图不包围(-1，j0)点，当幅值A,(w)=1时，对应求 根据式(41)，式(40)可以进一步表述为 得的相频特性满足 B(w)=(>-π m,c付m付=0. (42) (30) 由式(27)得 银据式(36)-(9)、(42，得到im,w国=n》之P, arctan(vy k 因此具有相同时延的智能体达到平均一致性滤波。 Ti< 31) 根据定理2的证明，如果条件1)成立，≥， 取得的最小时延t<mint:o ym≥y,i=2,3,…,n-1显然成立。在条件1)和2)成 因此，当条件1)和2)成立时，特征方程式 立的前提下，如果式(27)中6(w)在w∈[V,+o)区间 (22)的根满足：s=0为单根，非零根均具有负实部。 上单调减，则条件2)给出的时延条件为充分必要的。 2)根据定理1中①的证明，可得 3数值仿真 G.(s)=0QG,(s)0Q= h (s)Or (32) 3.1无时延的二阶多智能体系统 0n-1G,(s) 考察由5个智能体构成的多智能体系统，其拓 式中 扑结构是无向连通的（见图1）。在连接拓扑中，智 G.(s)=diag ys 能体之间的连接权值是对称的，分别为：a12=a:= s+ks2+(y+kpAze-=)s+kiaze- Ys 1,a15=a51=1,a23=a32=1,a34=a43=1,a4s=a54=1。 s3+ks2+(y+kpAe-")s+kidne-" 计算可得，拉普拉斯矩阵L的特征值为：1=0,2= (33) 1.382,3=1.382,入=3.618.入=3.618。 G,(0)=0ex (34) 根据h1(0)=1,并结合式(32)和式(34)可得 G,0=Q'0G,00r0=1 (35) n 根据终值定理 G.0 (36) 与定理1的②的证明类似，式(18)运用终值定 图1包含4个多智能连接拓扑G 理，可得 Fig.1 Graphical topology of four agents yG,(r0=0. s+ lims (37) 随机设定智能体初始位置和初始速度，且内部 状态的初始值设为0)=[2-1-320]P,满足 lims-G.(s)v(0)=0 (38) +0y 同时，结合定理2中的假设∑0)=0，可得 ∑00，智能体的常量输人：p=8-2-20 1 则定常输入的平均值为如=∑9：=l。给定控制参 lim飞G. 2n0)=170=0, =1 (39) 数分别为：k=1、r=0.3、k。=0.4。根据定理1，可得 yn 0<k<0.483。当0<k<0.483时，智能体的位置轨 im,os- G.(s)w()G.(O(0)w()= 迹渐近达到所有常量输入的平均一致和速度轨迹趋 024o-ea 于零，如图2所示。当k,≥0.483时，智能体的位置和 速度发生振荡(k=0.483)如图3所示或发散(k> 40) 0.483)如图4所示
y 3 +(k 2 −2γ)y 2 +(γ 2 −k 2 pλ 2 i )y−k 2 I λ 2 i = 0 (29) k 2 −2γ ⩾ 0 y ∈ (0, +∞) yi Ai(w) = 1 w ∈ (0,+∞) wi = √ yi λ 2 i = f −1 (y) λi f(yi) f(yi) yi λi yi k(jw) (−1,j0) Ai(w) = 1 由于 ，根据引理 2，方程式 (29) 在 只有一个正解 ，即 ，在 的解 为 。由 可知， 关于 是单调下 降的，根据 关于 是单调下降的，因此 关于 是 单调上升的。根据 Nyquist 判据，为了使 奈奎 斯特图不包围 点，当幅值 时，对应求 得的相频特性满足 β(wi) = β( √ yi) > −π (30) 由式 (27) 得 τi < arctan( √ yi kp kI )−arccot( γ−yi k √ yi )+ π 2 √ yi (31) τ < minτi i=2,3,···,n 取得的最小时延 。 s = 0 因此，当条件 1) 和 2) 成立时，特征方程式 (22) 的根满足： 为单根，非零根均具有负实部。 2) 根据定理 1 中①的证明，可得 Gτ(s) = Q TQGτ(s)Q TQ = Q T h1(s) 0 T n−1 0n−1 G¯ τ(s) Q (32) 式中 G¯ τ(s) = diag{ γs s 3 +ks2 +(γ+kpλ2e −sτ )s+kIλ2e −sτ ,··· , γs s 3 +ks2 +(γ+kpλne −sτ )s+kIλne −sτ } (33) G¯ τ(0) = 0n×n (34) 根据 h1(0) = 1 ，并结合式 (32) 和式 (34) 可得 Gτ(0) = Q TQGτ(0)Q TQ = 1n1 T n n (35) 根据终值定理 lim s→0 sGτ(s) φ s = Gτ(0)φ = 1n1 T n n φ (36) 与定理 1 的②的证明类似，式 (18) 运用终值定 理，可得 lim s→0 s s+k γ Gτ(s)x(0) = 0n (37) lim s→0 s 1 γ Gτ(s)v(0) = 0n (38) ∑ i∈Γ 同时，结合定理 2 中的假设 ηi(0) = 0 ，可得 lim s→0 s kI γ Gτ(s) s η(0) = kI1n γn 1 T nη(0) = 0n (39) lims→0 s kI −kp s γs Gτ(s)w(s) = kI γ Gτ(0)w(0) = kI1n γn 1 T nw(0) = kI1n γn ∑ i∈Γ ∑ j∈Ni ai j ∫ 0 −T (xi(τ)− xj(τ))dτ (40) 由于ai j = aji ，得到 ai j ∫ 0 −T (xi(τ)− xj(τ))dτ+aji ∫ 0 −T (xj(τ)− xi(τ))dτ = 0 因此 ∑ i∈Γ ∑ j∈Ni ai j ∫ 0 −T (xi(τ)− xj(τ))dτ = 0 (41) 根据式 (41)，式 (40) 可以进一步表述为 lim s→0 s kI −kp s γs Gτ(s)w(s) = 0n (42) limt→∞ xi(t) = 1 n ∑ i∈Γ 根据式 (36)～(39)、(42)，得到 φi ， 因此具有相同时延的智能体达到平均一致性滤波。 λn ⩾ λi yn ⩾ yi ,i = 2,3,··· ,n−1 β(w) w ∈ [ √ yi ,+∞) 根据定理 2 的证明，如果条件 1) 成立， ， 显然成立。在条件 1) 和 2) 成 立的前提下，如果式 (27) 中 在 区间 上单调减，则条件 2) 给出的时延条件为充分必要的。 3 数值仿真 3.1 无时延的二阶多智能体系统 a12 = a21 = 1 a15 = a51 = 1 a23 = a32 = 1 a34 = a43 = 1 a45 = a54 = 1 L λ1 = 0, λ2= 1.382, λ3=1.382, λ4=3.618, λ5=3.618 考察由 5 个智能体构成的多智能体系统，其拓 扑结构是无向连通的 (见图 1)。在连接拓扑中，智 能体之间的连接权值是对称的，分别为： ， ， ， ， 。 计算可得，拉普拉斯矩阵 的特征值为： 。 1 2 5 4 3 图 1 包含 4 个多智能连接拓扑 G Fig. 1 Graphical topology of four agents η(0) = [2 −1 −3 2 0]T ∑ i∈Γ ηi(0) = φ = [8 −2 −2 α = 1 5 ∑5 i=1 φi = 1 k = 1 r = 0.3 kp = 0.4 0 < kI < 0.483 0 < kI < 0.483 kI ⩾ 0.483 kI=0.483 kI > 随机设定智能体初始位置和初始速度，且内部 状态的初始值设为 ，满足 0。智能体的常量输入为： 0 1]T ， 则定常输入的平均值为 。给定控制参 数分别为： 、 、 。根据定理 1，可得 。当 时，智能体的位置轨 迹渐近达到所有常量输入的平均一致和速度轨迹趋 于零，如图 2 所示。当 时，智能体的位置和 速度发生振荡 ( ) 如图 3 所示或发散 ( 0.483) 如图 4 所示。 第 3 期 郑敏，等：具有定常输入的二阶多智能体系统的平均一致性滤波 ·403·