一维无限深非对称势阱 若宽度为a的无限深方势阱的形式为非对称的,即 <0 0≤x<a (721) x>a 用类似方法可求得能量本征值与相应的本征函数为 23, 2md (722) v1(x)=0 n丌 v2(x)=1=sin x (723) v3(x)=0 由于势能不具有空间反演对称性,这时的波函数无确定的宇称
二、一维无限深非对称势阱 若宽度为 a 的无限深方势阱的形式为非对称的，即 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∞ > ≤ ≤ ∞ < = x a x a x V x , 0, 0 , 0 ( ) （7.21） 用类似方法可求得能量本征值与相应的本征函数为 " = , 1,2,3, 2 2 2 2 2 = n n = ma En π （7.22） ( ) 0 sin 2 ( ) ( ) 0 3 2 1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = x x a n a x x ψ π ψ ψ （7.23） 由于势能不具有空间反演对称性，这时的波函数无确定的宇称。 １５
第八讲:一维线性谐振子 [教学目的] 1、了解简谐振动; 2、了解一维线性谐振子的求解过程; 3、重点掌握一维线性谐振子的能级分布; 4、掌握对谐振子能级及其波函数的讨论。 [教学重点及难点] 1、谐振子能级分布; 2、谐振子波函数的分布。 教学内容] 简谐振动 在经典力学中,把在线性恢复力F=-kx作用下产生的运动称之为 维筒谐振动,而把作一维简谐振动的粒子称为一维谐振子,或简称为线谐 振子,它是研究许多复杂运动的基础。在作简谐振动时,质量为m的粒子 的振动角频率 (81) 通常选谐振子的平衡位置为坐标原点,并取原点的势能为零,于是势能为 mo x (82) 、线谐振子的定态薛定谔方程 1、改写定态薛定谔方程 线谐振子满足定态萨定谔方程 5+mox l(x)= ey(x) 2m dx 2 (83) 引入无量纲参量
第八讲：一维线性谐振子 [教学目的] 1、了解简谐振动； 2、了解一维线性谐振子的求解过程； 3、重点掌握一维线性谐振子的能级分布； 4、掌握对谐振子能级及其波函数的讨论。 [教学重点及难点] 1、谐振子能级分布； 2、谐振子波函数的分布。 [教学内容] 一、 简谐振动 在经典力学中，把在线性恢复力 F = − kx 作用下产生的运动称之为 一维简谐振动，而把作一维简谐振动的粒子称为一维谐振子，或简称为线谐 振子，它是研究许多复杂运动的基础。在作简谐振动时，质量为 的粒子 的振动角频率 m m k ω = （8.1） 通常选谐振子的平衡位置为坐标原点，并取原点的势能为零，于是势能为 2 2 2 1 V (x) = mω x （8.2） 二、线谐振子的定态薛定谔方程 1、改写定态薛定谔方程 线谐振子满足定态薛定谔方程 ( ) ( ) 2 1 d d 2 2 2 2 2 2 m x x E x m x ω ⎥ψ = ψ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = （8.3） 引入无量纲参量 １６
2E mo 5=ax, (84) 定态薛定谔方程简化为 ()+(2-52)(2)=0 2、讨论方程的解在5→>土处的渐近行为 在→士∞处 y(5)~e e (818) 这样的波函数还是不满足束缚态的要求。 3、满足要求的解 厄米特( Hermit)多项式Hn(5) Hn(5)=(-1)es2dn (8.21) 前几个厄米特多项式 H H1()=25 ()=452-2 (823) H3()=853-12 能量本征值为 En=n+a ho, n=0,1,2, (8.24) 相应的本征波函数为 U(S=N,,(s) (8.25) 或者
ω ξ α λ = E x 2 = , = = ω α m = （8.4） 定态薛定谔方程简化为 ( ) ( ) ( ) 0 d d 2 2 2 ψ ξ + λ −ξ ψ ξ = ξ （8.6） 2、讨论方程的解在ξ → ±∞处的渐近行为 在ξ →±∞处 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ~ e e e ξ ξ ξ ψ ξ ⋅ = − （8.18） 这样的波函数还是不满足束缚态的要求。 3、满足要求的解 厄米特（Hermit）多项式 H (ξ ) n 2 2 e d d H ( ) ( 1) e n n ξ ξ ξ ξ − = − n n （8.21） 前几个厄米特多项式 ( ) ( ) ( ) ( ) " " H 8 12 H 4 2 H 2 H 1 3 3 2 2 1 0 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ = − = − = = （8.23） 能量本征值为 = , 0,1,2," 2 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ En = n+ ω n （8.24） 相应的本征波函数为 2 2 1 ( ) H ( )e ξ ψ ξ ξ − n = N n n （8.25） 或者 １７
U (x=N,n(ax)e 2 (8.26) 其中,归一化常数 N (8.27) V2"n!√z 四、讨论 1、线谐振子的能级 (1)能量本征值bn与分立的量子数H相关,能量是量子化的。 ()最低的能量为h,称为零点能 (3)能级是等间距的,间隔都是hO。 (4)全部能级都是非简并的 2、线谐振子的波函数 1)vn(x)有n个节点。 (2)由于线谐振子的H有确定的宇称。当n为偶数时,波函数具有偶 宇称,当H为奇数时,波函数具有奇字称。 (3)处于基态的线谐振子的坐标几率密度在原点处发现粒子的几率最 大。而经典振子出现在原点的几率是最小的
2 2 2 1 ( ) H ( )e x n n n x N x α ψ α − = （8.26） 其中，归一化常数 π α 2 n! N n n = （8.27） 四、讨论 1、线谐振子的能级 （1）能量本征值 En 与分立的量子数n相关，能量是量子化的。 （2）最低的能量为 =ω 2 1 ，称为零点能 （3）能级是等间距的，间隔都是 =ω 。 （4）全部能级都是非简并的。 2、线谐振子的波函数 （1） (x) ψn 有 n个节点。 （2）由于线谐振子的 Hˆ 有确定的宇称。当 为偶数时，波函数具有偶 宇称，当 为奇数时，波函数具有奇宇称。 n n （3）处于基态的线谐振子的坐标几率密度在原点处发现粒子的几率最 大。而经典振子出现在原点的几率是最小的。 １８
第九讲:势垒隧穿 [教学目的] 1、了解势垒隧穿的求解过程; 2、重点掌握势垒隧穿效应。 [教学重点及难点] 1、势垒隧穿的求解过程; 2、势垒隧穿效应的概念。 [教学内容] 、梯形位 维梯形位 0x<0 x>0 (91) 波函数 V,(x)=Ae 1+ Be y,(x)=Ce2+De 2- x>0 其中 √2mE 2m(E-Vo (93) h h 通常将A和B分别称为在x≤0区域向前和向后传播波的振幅,而C和D 分别为x>0区域向前和向后传播的波的振幅 1、入射粒子能量高于势垒高度 当E>V0时,引入反射系数R和透射系数T,它们的定义为 (98) 在量子力学中,由几率守恒可知 R+T=1 (99)
第九讲：势垒隧穿 [教学目的] 1、了解势垒隧穿的求解过程； 2、重点掌握势垒隧穿效应。 [教学重点及难点] 1、势垒隧穿的求解过程； 2、势垒隧穿效应的概念。 [教学内容] 一、梯形位 一维梯形位 （9.1） ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = 0 0 0 ( ) 0 V x x V x 波函数 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + > = + ≤ − − ( ) e e 0 ( ) e e 0 2 2 1 1 i i 2 i i 1 x C D x x A B x k x k x k x k x ψ ψ （9.2） 其中， = mE k 2 1 = ； = 2 ( ) 0 2 m E V k − = （9.3） 通常将 A 和 B 分别称为在 x ≤ 0区域向前和向后传播波的振幅，而C 和 D 分别为 x > 0区域向前和向后传播的波的振幅。 1、入射粒子能量高于势垒高度 当 E >V0 时，引入反射系数 R 和透射系数T ，它们的定义为 I T I R J J T J J R = ; = （9.8） 在量子力学中，由几率守恒可知 R +T =1 （9.9） １９