1991年量子力学考研试题 (见1997年第二题)证明 (1)若一个算符与角动量算符J的两个分量对易,则其必与J 的另一个分量对易; (2)在J2与的共同本征态M)下,六与,的平均值为零,且 当M=J时,测量与J,的不确定性为最小。 证明 (1)设算符F与角动量算符J及皆对易,即 则 元=0 i i 同理可知,若算符F与角动量算符J及J皆对易,则算符户必与对 易;若算符F与角动量算符J及J皆对易,则算符F必与J对易, 于是,问题得证。 (2)在净2与J2的共同本征态M)下,J与,的平均值为
1991 年量子力学考研试题 一. （见 1997 年第二题）证明： （1） 若一个算符与角动量算符 J ˆ 的两个分量对易，则其必与 J ˆ 的另一个分量对易； （2） 在 2 ˆ J 与 z J ˆ 的共同本征态 JM 下， x J ˆ 与 y J ˆ 的平均值为零，且 当 M = J 时，测量 x J ˆ 与 y J ˆ 的不确定性为最小。 证明： （1） 设算符 F ˆ 与角动量算符 x J ˆ 及 y J ˆ 皆对易，即 0 ˆ , ˆ ˆ , ˆ F J x = F J y = 则 0 ˆ ˆ , ˆ i 1 ˆ ˆ , ˆ i 1 ˆ , ˆ , ˆ i 1 ˆ , ˆ = = − = z x y x y y x F J F J J F J J F J J 同理可知，若算符 F ˆ 与角动量算符 x J ˆ 及 z J ˆ 皆对易，则算符 F ˆ 必与 y J ˆ 对 易；若算符 F ˆ 与角动量算符 y J ˆ 及 z J ˆ 皆对易，则算符 F ˆ 必与 x J ˆ 对易， 于是，问题得证。 （2）在 2 ˆ J 与 z J ˆ 的共同本征态 JM 下， x J ˆ 与 J y ˆ 的平均值为
√MJM)=M+JM) 由升降算符的修正可知 M)=JJ+)-M(M士DM±1 于是有 √ UMJ_JM=0 同理可证,算符J在JM)下的平均值也未零。在M)态上, M)=M(++)M √M+JM)=√M2-72|M) J(+1)-M 同理可得 WM)=10+1-Mf 故有 (M,)=1[0+1-M/] 或者写为 A,M,=1[(+1)-M3h2 显然,当M=J时,上式取最小值
JM J x JM = JM J ˆ + + J ˆ − JM 2 1 ˆ 由升降算符的修正可知 ( 1) ( 1) 1 ˆ J JM = J J + − M M JM 于是有 0 JM J ˆ x JM = 同理可证，算符 y J ˆ 在 JM 下的平均值也未零。在 JM 态上， ( )( ) 2 2 2 2 2 ( 1) 2 1 ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 4 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 4 1 ˆ J J M JM J J J J JM JM J J JM JM J x JM JM J J J J JM + − + = − = = + + = + − − + + − + − 同理可得 2 2 2 ( 1) 2 1 ˆ JM J JM J J M y = + − 故有 ( ) ( ) 4 2 2 2 2 ( 1) 4 1 J J J J M x x = + − 或者写为 2 2 ( 1) 2 1 J x J y = J J + − M 显然，当 M = J 时，上式取最小值
J·△J y/min .(见2001年第二题)粒子作一维运动,当总能量算符为 B=P+(时,能级是E0,如果总能量算符变成=B+aP(a 为实参数),求粒子能级的严格解En 解:视C为参变量,则有 OH aa 利用费曼海尔曼定理可知 E non=(npn) C 又知 pta dt ih 在任何束缚态m)下,均有 =(nH-n)=0 所以, (npn) 进而得到能量本征值满足的微分方程
( ) 2 min 2 J J J x y = 二. （见 2001 年第二题）粒子作一维运动，当总能量算符为 V(x) p H = + 2 ˆ ˆ 2 0 时，能级是 0 En ，如果总能量算符变成 p H H ˆ ˆ ˆ = 0 + （ 为实参数），求粒子能级的严格解 En 。 解：视 为参变量，则有 H pˆ ˆ = 利用费曼-海尔曼定理可知 n n p n H n En ˆ 1 ˆ = = 又知 ( ) = + = = + p p p x H x t x ˆ 1 ˆ 2 ˆ , i 1 ˆ , i 1 d d 2 在任何束缚态 n 下，均有 0 ˆ ˆ i 1 ˆ , i 1 d d n = n x H n = n xH − Hx n = t x n 所以， n p ˆ n = − 进而得到能量本征值满足的微分方程
aE a 对上式作积分,得到 C E 2u 利用a=0时,合=0,定出积分常数 0 最后,得到的本征值为 三.一维谐振子的哈密顿算符为 H -m20x 引入无量纲算符, nmo +ip. a Vmon 1)计算,a],区a,[2,al (2)将应用a与a表示,并求出全部能级 解 (1)计算对易关系
= − En 对上式作积分，得到 E c n = − + 2 2 利用 = 0 时， 0 H ˆ = H ˆ ，定出积分常数 0 En c = 最后，得到 H ˆ 的本征值为 2 2 0 En = En − 三. 一维谐振子的哈密顿算符为 2 2 2 2 1 2 ˆ ˆ m x m p H = + 引入无量纲算符， x m Q = ˆ ； p m P ˆ 1 ˆ = ； a (Q P)ˆ i ˆ 2 1 ˆ = + ； a (Q P)ˆ i ˆ 2 1 ˆ = − + （1） 计算 Q ˆ , P ˆ ， + a ˆ , a ˆ ， a ˆ ,a ˆ a ˆ + ， a ˆ ,a ˆ a ˆ + + ； （2） 将 H ˆ 用 a ˆ 与 + a ˆ 表示，并求出全部能级。 解： （1）计算对易关系
no h a, a'a=a[a, a+la, a k=a a', aa=a at a+la, a k (2)改写哈密顿算符 H +-mox=-holp4+ 2m2 而 aa= -)1+).,+p)1小; 所以,有 h=hol aa+ 下面求解上述哈密顿算符满足的本征方程。 对任何态矢v),均有 因此
, ˆ i 1 ˆ 1 , ˆ , ˆ = = = p x p m x m Q P ( ) ( ) 1 ˆ , ˆ i 2 1 ˆ , i ˆ 2 1 ˆ i ˆ 2 1 , ˆ i ˆ 2 1 ˆ, ˆ = − + = = + − + a a Q P Q P Q P P Q a ˆ ,a ˆ a ˆ= a ˆ a ˆ ,a ˆ+ a ˆ ,a ˆ a ˆ = a ˆ + + + + + + + + + + a ˆ ,a ˆ a ˆ = a ˆ a ˆ ,a ˆ + a ˆ ,a ˆ a ˆ = a ˆ （2）改写哈密顿算符 ( ) 2 2 2 2 2 ˆ ˆ 2 1 2 1 2 ˆ ˆ m x P Q m p H = + = + 而 ( ) ( ) ( ) ( 1) ˆ ˆ 2 1 ˆ , ˆ 2 i ˆ ˆ 2 1 ˆ i ˆ 2 1 ˆ i ˆ 2 1 ˆ ˆ 2 2 2 2 = − + = + + = + − + a a Q P Q P Q P Q P Q P 所以，有 = + + 2 1 ˆ ˆ ˆH a a 下面求解上述哈密顿算符满足的本征方程。 对任何态矢 ，均有 ˆ ˆ 0 2 = + a a a 因此