单色平面波 -ek-1)-es(-B) (53) 自由粒子满足的薛定谔方程 ihy(r, t) V y(r,t) 2 (5.9) 势场V(r)中粒子的能量关系式 E= p+V(r) 2 m (510) 薛定谔波动方程: 方2 ihr, t) V2+V()W(F,1) at 2m (511)
单色平面波 [ ] ( ) ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ r t k ⋅r − t = p ⋅r − Et G G = G G G i ψ( , ) ~ exp i ω exp （5.3） 自由粒子满足的薛定谔方程 ( , ) 2 i ( , ) 2 2 r t m r t t G = G = ψ = − ∇ ψ ∂ ∂ (5.9) 势场 V (r) G 中粒子的能量关系式 ( ) 2 2 V r m p E G = + (5.10) 薛定谔波动方程： ( ) ( , ) 2 i ( , ) 2 2 V r r t m r t t G = G G = ψ ⎥ ψ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − ∇ + ∂ ∂ (5.11) １０
第六讲:定态薛定谔方程 [教学目的] 1、了解定态薛定谔方程的建立; 2、重点掌握本征方程、本征值和本征函数的概念 3、重点掌握定态的概念及实现定态的条件; 4、掌握定态波函数的自然条件。 [教学重点及难点] 1、本征值和本征波函数的概念; 2、实现定态的条件; 3、定态和束缚态的区别。 [教学内容] 定态薛定谔方程的建立 定态:就是能量取确定值的状态。 定态波函数:描述定态的波函数。 定态薛定谔方程:定态波函数是波函数中的一类特殊的波函数,它们满 足的薛定谔方程称为。 定态薛定谔方程(不含时间的薛定谔方程): 假设体系处于保守力场中,即势能V中不显含时间t Hu(r)=Ey(r) (67) 本征方程: Un=f,y (68) 常数∫为算符F的第n个本征值,相应的波函数n为∫相应的本 征波函数。 定态薛定谔方程就是哈密顿算符的本征方程,满足波函数统计解释和边 界条件的E值称为能量本征值,而把与能量本征值E相应的波函数v() 称之为能量本征波函数
第六讲： 定态薛定谔方程 [教学目的] 1、了解定态薛定谔方程的建立； 2、重点掌握本征方程、本征值和本征函数的概念； 3、重点掌握定态的概念及实现定态的条件； 4、掌握定态波函数的自然条件。 [教学重点及难点] 1、本征值和本征波函数的概念； 2、实现定态的条件； 3、定态和束缚态的区别。 [教学内容] 一、 定态薛定谔方程的建立 定态：就是能量取确定值的状态。 定态波函数：描述定态的波函数。 定态薛定谔方程：定态波函数是波函数中的一类特殊的波函数，它们满 足的薛定谔方程称为。 定态薛定谔方程（不含时间的薛定谔方程）： 假设体系处于保守力场中，即势能V 中不显含时间 t ( ) ( ) ˆH r E r G G ψ = ψ （6.7） 本征方程： n n n Fˆψ = f ψ （6.8） 常数 f n 为算符 Fˆ 的第 n 个本征值，相应的波函数ψ n 为 相应的本 征波函数。 n f 定态薛定谔方程就是哈密顿算符的本征方程，满足波函数统计解释和边 界条件的 E 值称为能量本征值，而把与能量本征值 E相应的波函数 (r) G ψ 称之为能量本征波函数。 １１
定态薛薛定谔方程的特解 (r,1)=vn() (6.9) 薛定谔方程的通解 y(, )=2c, (O)wn(FJexpl--E, (6.10) 、定态 定态就是能量取确定值的状态。 哈密顿算符的本征态就是能量取确定值的状态,于是,哈密顿算符的 本征态就是定态 1、实现定态的条件 (1)、体系处于保守力场中,即哈密顿算符不显含时间变量t,用公式 可表示为 aH 0 (6.1) (2)、体系的初始状态为定态,即 up (O)=W, ()exp- le, (6.12) 2、定态的性质 (1)、粒子的空间几率密度和几率流密度不随时间改变。 (2)、任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变 (3)、任何不显含时间变量的力学量的取值几率分布不随时间改变。 三、波函数满足的自然条件 波函数应该是单值、有限和连续的
定态薛薛定谔方程的特解 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ψ r t = r − E t n n n = G G i ( , ) ψ ( )exp （6.9） 薛定谔方程的通解 ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ψ = − n n n n r t c r E t = G G i ( , ) (0)ψ ( )exp （6.10） 二、定态 定态就是能量取确定值的状态。 哈密顿算符的本征态就是能量取确定值的状态，于是，哈密顿算符的 本征态就是定态。 1、实现定态的条件 （1）、体系处于保守力场中，即哈密顿算符不显含时间变量 t ，用公式 可表示为 0 ˆ = ∂ ∂ t H （6.11） （2）、体系的初始状态为定态，即 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ψ r = r − E t n n = G G i ( ,0) ψ ( )exp （6.12） 2、定态的性质 （1）、粒子的空间几率密度和几率流密度不随时间改变。 （2）、任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变。 （3）、任何不显含时间变量的力学量的取值几率分布不随时间改变。 三、 波函数满足的自然条件 波函数应该是单值、有限和连续的。 １２
第七讲:一维无限深势阱 [教学目的] 1、重点掌握一维对称无限深势阱的求解过程 2、掌握一维无限深势阱的能级分布形式及其波函数的形式; 3、掌握宇称的概念; 4、掌握一维非对称无限深势阱的能级级波函数的形式。 [教学重点及难点] 1、一维无限深势阱的能级及其波函数得分布形式; 2、宇称的概念。 [教学内容] 维无限深对称势阱 1、能量本征方程 一个质量为m的粒子处于如一维无限深方势阱中,其势能的表达式为 (x)={0 a≤x≤a x>a 三个不同的区域中分别写出相应的定态薛定谔方程为: n- d- ∞k(x)=Ew(x) m dx mdr+o v (x)=-Evsl4y) n d (72) oo v3(x)=Ews(x) 式中,(x)、v2(x)和v3(x)分别表示在区域I、Ⅱ和Ⅲ中的波函数。 在三个不同的区域中,方程的解分别为 v2()=Csin( lx+8) (73)
第七讲：一维无限深势阱 [教学目的] 1、重点掌握一维对称无限深势阱的求解过程； 2、掌握一维无限深势阱的能级分布形式及其波函数的形式； 3、掌握宇称的概念； 4、掌握一维非对称无限深势阱的能级级波函数的形式。 [教学重点及难点] 1、一维无限深势阱的能级及其波函数得分布形式； 2、宇称的概念。 [教学内容] 一、一维无限深对称势阱 1、能量本征方程 一个质量为 m 的粒子处于如一维无限深方势阱中，其势能的表达式为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∞ > − ≤ ≤ ∞ < − = , III 0, II , I ( ) x a a x a x a V x （7.1） 三个不同的区域中分别写出相应的定态薛定谔方程为： ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ∞ ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ∞ x E x m x x E x m x x E x m x 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) d d 2 0 ( ) d d 2 ( ) d d 2 ψ ψ ψ ψ ψ ψ = = = （7.2） 式中， ( ) 1 ψ x 、 ( ) 2 ψ x 和 ( ) 3 ψ x 分别表示在区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ中的波函数。 在三个不同的区域中，方程的解分别为 （7.3） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = ( ) 0 ( ) sin( ) ( ) 0 3 2 1 x x C kx x ψ ψ δ ψ １３
其中,实数k由下式决定 2 me (74) 2、能量本征值 能量本征值 丌 E n=1,2,3 (712) me 由此可知,无限深势阱的能量本征值是断续(量子化)的。 3、能量本征函数 能量本征值En的本征波函数为 v1(x)=0 sin/nz n v2(x) 2 (78) v3(x)=0 讨论 (1)、对称势阱和态的宇称 在对称势阱条件(-x)=(x)下 1(x)=0 n v2(x) sIn n为偶数 (719) 3(x)=0 v1(x)=0 2(x)=_1 cOS n为奇数 (720) v(x)=0 波函数具有如下的特点,当坐标变量由x变为一x时,若量子数n为奇 数,波函数不变,否则,波函数改变一个负号,通常把前者称为偶宇称态, 把后者称为奇宇称态 束缚态:它在土∞处皆为零,本征态为束缚态
其中，实数 k 由下式决定 = mE k 2 = （7.4） 2、能量本征值 能量本征值 " = , 1,2,3, 8 2 2 2 2 = n n = ma En π （7.12） 由此可知，无限深势阱的能量本征值是断续（量子化）的。 3、能量本征函数 能量本征值 En 的本征波函数为 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + = ( ) 0 2 2 sin 1 ( ) ( ) 0 3 2 1 x n x a n a x x ψ π π ψ ψ （7.18） 4、讨论 （1）、对称势阱和态的宇称 在对称势阱条件V (− x) = V (x)下 n为偶数 x x a n a x x ( ) 0 2 sin 1 ( ) ( ) 0 3 2 1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ψ π ψ ψ （7.19） n为奇数 x x a n a x x ( ) 0 2 cos 1 ( ) ( ) 0 3 2 1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ψ π ψ ψ （7.20） 波函数具有如下的特点，当坐标变量由 x 变为 −x时，若量子数 为奇 数，波函数不变，否则，波函数改变一个负号，通常把前者称为偶宇称态， 把后者称为奇宇称态。 n 束缚态:它在 ± ∞ 处皆为零，本征态为束缚态。 １４