如我要问你们班学员的学习成绩怎样,你们不可能把每个学生的学习成绩都 报出来,而是用一个一般水平、代表性水平来说明,如成绩一般在75分左右, 这个75分就是一个代表性水平。 由此看来,平均指标有以下特点 1.代表性:它用一个数值代表了总体各单位的标志值。 2.抽象性:它将总体内各单位之间的数量差异抽象掉了,如仅从75分看不 出每个学员具体的学习成绩,肯定不是每个学员都是75分,也许有高于它,有 低于它的,但平均数把它们掩盖了。 二、平均指标的作用 1用于同类现象在不同空间上进行对比。如,我们不能用工资总额来比较不 同企业的工资水平,因为它受职工人数多少的影响。而职工平均工资则可进行比 较 2.用于同类现象在不同时间上对比。例如,某地区职工年平均工资资料, 2005年为1400元,2006年为1450元,2007年为1580元等,据此可以看出, 该地区职工工资水平是不断增长的。工资总额则不能比较,因为不同时期人数不 3.利用平均指标可以分析现象之间的依存关系。如,技术等级和劳动定额完 成程度之间,(每个等级有许多名工人,每个工人的定额完成程度也不相同,若 将不同技术等级工人的劳动定额平均完成程度指标计算出来,可以发现随着技术 等级的提高,定额完成程度也断提高。)收入水平与家庭存款额之间的关系,同 一级别收入水平的家庭,其存款额各种各样,如果将同等收入水平的家庭的平均 存款额计算出来,可以发现,随着收入水平的增加,家庭存款额也在不断增多。 平均指标的种类及其计算 (一)算术平均数 算术平均数是最常用的一种平均数,是总体标志总量与总体单位总数相对比 的结果,其基本计算公式是: 算术平均数。总体标志总量 总体单位总数 如平均工咨工资总额 职工人数 算术平均数的分子、分母属于同一总体,总体单位总量是标志总量的承担者
如我要问你们班学员的学习成绩怎样，你们不可能把每个学生的学习成绩都 报出来，而是用一个一般水平、代表性水平来说明，如成绩一般在 75 分左右， 这个 75 分就是一个代表性水平。 由此看来，平均指标有以下特点： 1.代表性：它用一个数值代表了总体各单位的标志值。 2.抽象性：它将总体内各单位之间的数量差异抽象掉了，如仅从 75 分看不 出每个学员具体的学习成绩，肯定不是每个学员都是 75 分，也许有高于它，有 低于它的，但平均数把它们掩盖了。 二、平均指标的作用 1.用于同类现象在不同空间上进行对比。如，我们不能用工资总额来比较不 同企业的工资水平，因为它受职工人数多少的影响。而职工平均工资则可进行比 较。 2. 用于同类现象在不同时间上对比 。例如，某地区职工年平均工资资料， 2005 年为 1400 元，2006 年为 1450 元，2007 年为 1580 元等，据此可以看出， 该地区职工工资水平是不断增长的。工资总额则不能比较，因为不同时期人数不 同。 3.利用平均指标可以分析现象之间的依存关系。如，技术等级和劳动定额完 成程度之间，（每个等级有许多名工人，每个工人的定额完成程度也不相同，若 将不同技术等级工人的劳动定额平均完成程度指标计算出来，可以发现随着技术 等级的提高，定额完成程度也断提高。）收入水平与家庭存款额之间的关系，同 一级别收入水平的家庭，其存款额各种各样，如果将同等收入水平的家庭的平均 存款额计算出来，可以发现，随着收入水平的增加，家庭存款额也在不断增多。 三、平均指标的种类及其计算 （一）算术平均数 算术平均数是最常用的一种平均数，是总体标志总量与总体单位总数相对比 的结果，其基本计算公式是： 总体单位总数 总体标志总量 算术平均数 如 工资总额 平均工资 职工人数 算术平均数的分子、分母属于同一总体，总体单位总量是标志总量的承担者
分子的标志总量是分母各单位标志值汇总的结果。其分子与分母有完全的依附关 系(区分强度相对指标) 1算术平均数的种类 由于掌握的资科不同及计算上的复杂程度不同,算术平均数可分为简单算术 平均数和加权算术平均数两种。 (1)简单算术平均数 当我们所掌握的资料未经过分组或当各个变量值出现的次数相等时用此法 它是将总体内各单位的变量值直接相加,再除以总体单位总数求得的 例如,某生产小组有5名工人,其月工资分别为1500、1640、1720、1770 1880元,则 平均工咨1500+1640+1720+1770+1880=1702元。 将上述计算过程用一个通用公式表示: 它之所以要称为简单算术平均数,是因为其中的各个变量值出现的次数(权 数)相等,不受权数大小的影响。上例中,每个变量值出现的次数各为1次,但 实际中,一个企业工人的工资,同样等级的不仅仅只有一个工人,这样变量值出 现的次数各不相同,这时,就要用加权算术平均数,将次数分配因素考虑进去 (2)加权算术平均数 ①单项数列 它是在资料已经分组,形成分配数列的情况下,首先求出每组的标志总量, 并加总求出总体的标志总量,然后除以总体单位数计算算术平均数的方法。 例如,某车间工人按照日产量分组资料如表3-1,试计算这180名工人的平 均日产量。这里不能将这6个变量值相加除以6或180,必须计算这180名工人 日产量之和 3240=18 180 通用公式为 x=x+x…+x f1 f,+…
分子的标志总量是分母各单位标志值汇总的结果。其分子与分母有完全的依附关 系（区分强度相对指标） 1.算术平均数的种类 由于掌握的资科不同及计算上的复杂程度不同，算术平均数可分为简单算术 平均数和加权算术平均数两种。 （1）简单算术平均数 当我们所掌握的资料未经过分组或当各个变量值出现的次数相等时用此法。 它是将总体内各单位的变量值直接相加，再除以总体单位总数求得的。 例如，某生产小组有 5 名工人，其月工资分别为 1500、1640、1720、1770、 1880 元，则 1500 1640 1720 1770 1880 1702 5 平均工资 元 。 将上述计算过程用一个通用公式表示： 1 2 n x x x x x n n 它之所以要称为简单算术平均数，是因为其中的各个变量值出现的次数（权 数）相等，不受权数大小的影响。上例中，每个变量值出现的次数各为 1 次，但 实际中，一个企业工人的工资，同样等级的不仅仅只有一个工人，这样变量值出 现的次数各不相同，这时，就要用加权算术平均数，将次数分配因素考虑进去。 （2）加权算术平均数 ①单项数列 它是在资料已经分组，形成分配数列的情况下，首先求出每组的标志总量， 并加总求出总体的标志总量，然后除以总体单位数计算算术平均数的方法。 例如，某车间工人按照日产量分组资料如表 3-1，试计算这 180 名工人的平 均日产量。这里不能将这 6 个变量值相加除以 6 或 180，必须计算这 180 名工人 日产量之和 解： 18 件 180 3240 x 通用公式为： 1 1 2 2 1 2 n n n x f x f x f xf x f f f f
表3- 日产量(件)x工人人数(人)f总产量(件)xf 16 320 18 760 20 600 合计 3240 之所以称它为加权算术平均数,是因为它除了受各组变量值大小的影响外 还受各变量值出现的次数占总次数比重大小的影响,很明显,次数占总次数比重 大的组的变量值对平均数的影响就大,反之则小,如上例。∴各组的次数对平均 数有权衡轻重的作用,因此次数又称权数。用权数计算出来的平均数叫加权算术 平均数。 当各组出现的次数相等时,加权算术平均数就等于简单算术平均数,权数失 去了权衡轻重的作用,它对每一组的作用是相等的 前面是以绝对数(次数)为权数的,当权数表现为相对数(频率)时,其加 权算术平均数的计算公式为: 例如,某车间工人按照日产量分组资料如表3-2,试计算该车间工人的平均 日产量 解:计算过程见表3-2。 表3-2 日产量(件)x f(%) 0.8340 16 11.11 17776 17 1667 2.8339 27.78 1667 3.3340 合计 100.00 18.0073
表 3-1 日产量（件）x 工人人数（人）f 总产量（件）xf 15 10 150 16 20 320 17 30 510 18 50 900 19 40 760 20 30 600 合计 180 3240 之所以称它为加权算术平均数，是因为它除了受各组变量值大小的影响外， 还受各变量值出现的次数占总次数比重大小的影响，很明显，次数占总次数比重 大的组的变量值对平均数的影响就大，反之则小，如上例。∴各组的次数对平均 数有权衡轻重的作用，因此次数又称权数。用权数计算出来的平均数叫加权算术 平均数。 当各组出现的次数相等时，加权算术平均数就等于简单算术平均数，权数失 去了权衡轻重的作用，它对每一组的作用是相等的。 前面是以绝对数（次数）为权数的，当权数表现为相对数（频率）时，其加 权算术平均数的计算公式为： xf f x x f f 例如，某车间工人按照日产量分组资料如表 3-2，试计算该车间工人的平均 日产量。 解：计算过程见表 3-2。 表 3-2 日产量（件）x f f （%） f x f 15 5.56 0.8340 16 11.11 1.7776 17 16.67 2.8339 18 27.78 5.0004 19 22.22 4.2180 20 16.67 3.3340 合计 100.00 18.0073
②组距数列 方法与单项数列基本相同,不同之处是,一个组中包括许多变量值,要计算 每组的标志总量,只能用该组的组中值代替该组所有的变量值。其计算结果是 个近似值。 例如,某企业公司职工按月工资分组资料如:表3-3 表3-3 月工资(元)职工人数f组中值(元)x 工资总额(元)x 2500元以下 22500 2500-3000 55000 30003500 325 130000 3500-4000 30 375 l12500 4000元以上 120 405000 x==2405003305元 3算术平均数的数学性质 为了正确地运用算术平均数以及简化计算手续,需介绍x的性质。 (1)每个变量值与其算术平均数离差之和等于零,即: 简单算术平均数 加权算术平均数:∑(x-x)y=0 证:①∑(x-x)=∑xnx=∑ ∑x 0 ∑(x-x)=∑-∑x=∑矿∑f =∑xf x,x=0 (2)各个变量与其算术平均数的离差平方和为最小值,即 ∑(x-x)=最小值 或∑(x-x)≤∑(x-4)2∑x-x)/≤∑(x-4)f 证明:设∑(x-A)2=最小值,A为任意常数
②组距数列 方法与单项数列基本相同，不同之处是，一个组中包括许多变量值，要计算 每组的标志总量，只能用该组的组中值代替该组所有的变量值。其计算结果是一 个近似值。 例如，某企业公司职工按月工资分组资料如：表 3-3 表 3-3 月工资（元） 职工人数 f 组中值（元） x 工资总额（元） xf 2500 元以下 10 225 22500 2500—3000 20 275 55000 3000—3500 40 325 130000 3500—4000 30 375 112500 4000 元以上 20 425 85000 合 计 120 — 405000 解： 405000 3370.5 120 xf x f 元 3.算术平均数的数学性质 为了正确地运用算术平均数以及简化计算手续，需介绍 x 的性质。 （1）每个变量值与其算术平均数离差之和等于零，即： 简单算术平均数： x x 0 加权算术平均数： x xf 0 证：① 0 x x x x nx x n n ② x x f xf x f xf x f 0 xf xf f f （2）各个变量与其算术平均数的离差平方和为最小值，即： 2 (x x) =最小值 或 2 (x x) (x A) 2 2 (x x) f (x A) f 证明：设 2 (x A) =最小值，A 为任意常数
①对A求偏导,令其偏导为0则 2(x-=0∑x-n=0A=∑x ②设∑(x-A)=最小值 求偏导2∑(x-A)=0 ∑矿-∑ xf 这里的A只能是算术平均数x,则∑(x-x)=最小值。 (二)调和平均数 调和平均数是变量值倒数的算术平均数的倒数。由于它是根据变量值的倒数 计算的,∴又称倒数平均数。 它是在我们所掌握的资料不能直接用算术平均数时,即己知各个变量值及标 志总量,而缺少变量值出现的次数时(已知x和xf,不知∫时),则要用调和 平均数的形式。 调和平均数由于掌握资料的详简程度不同分为简单调和平均数和加权调和 平均数。 1.简单调和平均数(当各个变量值所对应的标志总量均为一个单位时使用) ÷、々 ∑ 例如,设市场上某种蔬菜早、中、晚的价格分别为0.25、0.2、0.1元,早、 中、晚各买一斤,平均每斤价格是多少,可用简单算术平均数法: (0.25+0.2+0.1)/3=0.183(元) 若现在是各买1元,而不是各买1斤,平均每斤价格是多? 首先要算出总共买了多少斤 1=5(斤)01-(万) 0.2 总共买了19斤,总金额是3元,则平均每斤的价格是:
①对 A 求偏导，令其偏导为 0 则 2(x A) 0 x nA 0 x A n ②设 2 (x A) f 最小值 求偏导 2 x Af 0 xf Ax 0 xf A x f 这里的 A 只能是算术平均数 x ，则 2 (x x) =最小值 。 （二）调和平均数 调和平均数是变量值倒数的算术平均数的倒数。由于它是根据变量值的倒数 计算的，又称倒数平均数。 它是在我们所掌握的资料不能直接用算术平均数时，即已知各个变量值及标 志总量，而缺少变量值出现的次数时（已知 x 和 xf ，不知 f 时），则要用调和 平均数的形式。 调和平均数由于掌握资料的详简程度不同分为简单调和平均数和加权调和 平均数。 1.简单调和平均数（当各个变量值所对应的标志总量均为一个单位时使用） 1 H n x x 例如，设市场上某种蔬菜早、中、晚的价格分别为 0.25、0.2、0.1 元，早、 中、晚各买一斤，平均每斤价格是多少，可用简单算术平均数法： （0.25+0.2+0.1）/3=0.183（元） 若现在是各买 1 元，而不是各买 1 斤，平均每斤价格是多？ 首先要算出总共买了多少斤。 1 4 0.25 斤 1 5( ) 0.2 斤 1 10 0.1 斤 总共买了 19 斤，总金额是 3 元，则平均每斤的价格是：