当对{pm}与{m}取离散卷积时,抽样c与d在偶指标m=2l 使用而零在奇指标m=2-1使用。 我们用上述给出的两个算法的一些附注结束本节。首先,如果 个权序列{a},h1}{P}与是有限的,那么移动平均是-个很 简单的FIR(有限脉冲响应)滤波器。然而,如果权序列是无限的, 那么移动平均是一个IR(无限脉冲响应)滤波器。众所周知,假如 权序列的符号(或“z变换”)是一个有理函数,那么IR滤波器能够 作为ARMA(自回归移动平均)滤波实现。我们把这些权序列叫作 “ARM∧序列”。另外,无狠杖序列不得不截断以给出一个FIR滤 波器。其次,如果权序列是由无理数或长的小数表示项组成,那么 这些数的舍入(或“量化”)是必要的。当然,截断和量化会引起事先 估计的误差。最后,因为尺度函数与小波对()用作“镜滤波器”, 那么对称性(或至少反对称性)在信号分析的许多应用中是重要 的。例如,在重构压缩图象中,非对称性和非反对称性导致失真。像 将在第五章中看到的,(的)的对称性质用分解序列与重构序列的 对称性反映。信号与图象处理的简洁讨论将在第三章中给出 在第六章中,我们将看到,当样条小波约(具有最小支撑)用 作φ时,重构序列是有限的而分解序列是ARMA。所有这些序列 对于偶阶m是对称的而对于奇阶m是反对称的。另外,对整数倒 数的一个公共因子的模,所有这些序列只由整数项组成 另一方而,当考虑紧支撑正交小波φ时,重构序列和分解序 刘都是有限的。然而,对于连续的既不对称又不反对称是可能 的,并且相应的重构序列与分解序列必须是量化的。尺度函数与小 波的结构分析和构造方法的详细描述在第五章中给出特别是,线 性相位滤波器与对称尺度函数以及小波之间的关系将在那里研 究。最后两章将分别专心研究半正交和正交小波。更确切地说,基 数样条小波的相当完整的分析将在第六章中给出,并且着重于紧 支撑的正交小波的题目将在第七章中介绍。在这一章中还包含为 更好的时间-频率局部化引入的正交小波包( packet)的简洁讨论。 28
第二章 Fourier分析 Fourier分析这门学科是数学分析中最古老的学科之一,它对 数学家和工程师都是相当重要的。从实用的观点来看,当人们考虑 Fourier分析的时候,通常是指(积分) Fourier变换和 Fourier级数。 Fourier变换是在实直线R上定义的某个函数f的 Fourier积分。 当∫看作是一个模拟信号时,它的定义域珉就称为连续时域。在 此情况下,f的 Fourier变换∫描述信号∫的谱特性。因为谱信息 用频率给出,所以 Fourier变换的定义域还是,它称为频域 另一方面,一个 Fourier级数是双无限序列到周期函数的一种变 换。因此,一个双无限序列看作是…个数字信号时,它的定义域 是整数集合Z,称为离散时域。这时,它的 Fourier级数再次描述 数字倍号的谱特性,一个 Fourier级数的定义域还是实直线R,它 是频域。然而,因为 Fourier级数是2x周期的,在此情况下,频域R 常用单位圆等同,对一个数学家来说,这种表示是更令人满意的, 因为Z的“对偶群”是“圆群”。 Fourier变换与 Fourier级数的重要性不仅由于它们的物理解 释的重要性,如信号的时间-频率分析,而且还由于 Fourier分析技 术是极其有力的。例如,在小波分析研究中,Poin求和公式、级 数与积分的 Parseval恒等式, Gaussian的 Fourier变换、函数的卷积 以及d分布等等都是经常遇到的。因为这本专著打算是自我包容 的,本章讨论 Fourier分析的基本知识方面的预备材料,如上述提 及的内容
2. 1 Fourier变换与 Fourier逆变换 全书中,所有定义在实直线R上的函数假定是可测的,对于不 熟悉 Lebesgue基本理论的读者,而乐意相信一些标准的定理,在 假定∫是分段连续的情况下,损失是很小的。所谓 Lebesgue基本 理论是指,在R中存在非有限聚点{},使对于所有有<x+1 并且f在每个开区间以及无界区间(-∞,minx,)与(maxx1∞)(如 果max,或minr存在)是连续的。对于每个p,I≤<∞,令( R)表示IR上可测函数f的类,使( lebesgue)积分 ∫(x)|'d 是有限的。还有,令"(R)是几乎处处有界函数的集合,即除了在 ( Lebesgue)测度为零的集合外,处处有界的函数。因此,賦予“范 数 ‖f‖ ∫(x)|dx 对1≤p SS sup f(x)|,对 每个I(R),1≤≤∞,是一个 Banach空间。在这本导论性的专著 中,因为我们在了解小波和时间频率分析中不需要任何 Banach 空间结构的知识,读者只要知道Z()范数的少数几个初等性质 就可以了,如 Minkowski不等式: l∫‖,+‖lg‖ (2.1.1) 和 Holder不等式: ∫:≤|∫‖,‖ (2.1.2) 其中当p∞时,p(P-1)用1代替。公式(2,1.2)的一个推论是 30
Schwarz不等式 ∫‖≤‖∫‖2‖gl 因此,观察公式(2.1.3),我们可以定义“内积” ∫, ∫(x)g(x)dz,∫,g∈L2(R) (2.1.4) 赋子这个内积后, Banach空间l2(R)变成了一个 Hilbert空间。显 然有 <∫,f>=‖f2,f∈L(R) 下面,我们首先集中注意力于(R)中的函数。通常(对于 个数学家来说),虚数单位用4表示。在全书中,电子工程师可以想 象用j代替 定义2.1函数∫∈L(R)的 Fourier变换定义为 (o)=(5(o):=("。-f(x)d(2.6) 对于每个f∈L(R),f(ω)的灬些基本性质概括如下。 定理22令f∈I()。那么它的 Fourier变换∫满足 (i)f∈I(R)并且f‖≤1f‖; (i)∫在呎上是一致连续的; (证)如果∫的导数∫也存在并且属于D(I),那么 ∫(o)=toj(o) (2.1.7) (ⅳv)当o+∞或-∞时,(a)→*0 证明论断()是显而易见的。为了证明(i),令6是任意选取的, 并且考虑
sup!∫(a+b)-∫(o) sup 1)f(r)dx 1If(e)dr 现在,因为|e-1||∫(x)|≤2f(x)i∈I(呎),并且当b-0时 e--1|→0。 Lebesgue控制收敛定理就推出,当小-x0时,上述的 量趋于零。 为了建立(ⅲ),我们简单地把 Lebesgue积分理论中另一标准 定理应用公式(2.1.6)的分部积分,并使用事实:当士∞时 最后,(iv)中的陈述通常称为“ Riemann- lebesgue引理”。为了 证明它,我们首先注意,如果∫存在并且属于L(R),那么用《ⅲ 和(ⅱ),的确有,当ω·士c时 lf(ω)! r()≤m‖:→0 通常,对于任一给定的>0,我们能够求得一个函数g,使gg∈l 且‖f-g<ε。于是由(i),我们有 ∫()}≤1∫(ω)-g(a)|+|g(o) ≤∫-g‖:+|9(o)|<ε+;q(o) 这就完成了(iv)的证明 对于每个f(IR).当ω-*士∞时,虽然f()→0,但它并不 意着∫必须属于(R)。为了用一个反例来证明这个结论,我 们需要“ Heaviside单位阶跃”函数: 1,对x≥a 2.1.8) 0,对x< 32