其中a∈R 例子2.3数 2a13(x) 属于tR.但是它时 Fourier变换 不属于I( 证明由e cosco- sino 有 f(o)=ecosazdz e sinter 0 这在∞表现如O(||-),因此不属于l(R 如果出现∫属于!(R),那么使用如下定义的“ Fouriet逆变 换”,我们通常能由f复原”f。 定义2.4令f∈b(R)是某个西数∫∈l!(]R)的 Fourier变换,那 么f的 Fourier迸变换定义为 (2.1.9 所以,重要的问题是:什么时候f能够由f使用算子-复 原,或者什么时候(分(x)=∫(x)?答案是:在f连续的每个点 r。即,有下述定理。 定理2.5令f∈(R)使它的 Fourier变换∫也厲于l(R)。那 力 (2.1.10) 在∫连续的每个点x成立。 33
我们把这个定理的证明推迟到下节。作为代替,我们用导出所 谓的“ Gaussian函数”的 Fourier变换结東本节 例子2.6令>0,那么 一们工 e (2.1.11) 特别是, Gaussian k数e‘的 Fourier变换是√re 证明考虑函数 ∫(y): P ar+sdz, y ∈IR(21.12) 配完全平方,有 e-adg-za'tkdr=edi[ e-i'dz (2.1.13) 现在,因为公式(2.1.12)中定义的函数f(g)和函数 都能延拓为整(解析)函数,并且因为像在公式(2.1.13)中表明的 那样,他们在上相同,所以他们必定在复数平面C上相同。特 别是,设g为-i,有 34
2.2连续时间卷积和函数 令∫与是(R)中的函数。于是f与g的(连续时间)卷积 也是一个I(R)的函数,定义为 h(x)=(∫g)(x) ∫(x-y)g(y)dg(2.2.1) 很明显,h∈L(R)并且事实上 ‖h‖;≤‖∫‖:g‖1 (2.2.2) 因为 h(x)|dx≤ y)lg(g) dyd l9(y) dId 一 9(y) f(x)Idx dy 在公式(22.1)中用积分变量变换就得到 ∫兴g=9米f,f,g∈L(R) (2,2.3) 即,卷积运算是“可交换”的。出于∫*9属于(R)我们能够再次 取∫*!与另一函数u∈I(R)的卷积;即,我们可以考虑 (f*g)*。容易看到 ∫兴g)兴4=∫兴(9*a),f,g,a∈L(R)(2,2,4) 因此,卷积运算是“可结合”的。 现在的问题是:存在某个函数d∈(R)使 ∫兴d=∫,∫∈L(R)? (2.2.5)
答案是否定的这个可使用 Fourier变换的论证来证明。首先,我们 给出下述 Fourier变换算子的重要性质 定理2.7令∫与g属于L(R),那么 (∫兴9)(ω)=∫(a)g(o) 由于这个证明是 Fubini定理的一个平凡应用,这里省略。 现在如果一个函数d∈l(R)存在使公式(2.2.5)成立,那 么,使用定理2.7,有 f∈L(R) 即,必须有d(ω)=1,而这违反在定理2.2(v)中建立的 Riemann Lebesgue引理。 然而,我们仍然希望“逼近”在公式(2.2.5)中的d,因为即使 个“卷积恒等式的近似”(或简单地说“近似恒等式”)在 Fourier 分析中也是一个很重要的工具 l前边的讨论,我们看到,首先要求对于如此的一族 dn}L(R)寻找当a→0时的渐近恒等式 ∈RR (2.2.7) 特别是,我们可以使用规范化d(0)=1,或等价地, d, (r)dz=1 (2.2.8) 一个极好的选择是 Gaussian函数族 (2.2.9) 2 vra 事实上,应用例子2.6中的公式(2.1.11),且a=1/4m,我们有 (2.2.10) 36
它显然满足公式(2.2.7)和(2.2.8)。对于a>0的一列递减值,n 的图形表 小 在图2.2.!中 3-2-10 图2.2.1 Gaussian函数n,a=1,1/4,1/16 注意,在取一个(取)中连续函数的平均时,如果g使用作 为“权”函数,那么当m~0时,权集中趋近于原点,即 f(x-y)g ()dy f(r-0 这如同 (∫*gn)(x)~∫(x), 更确切地说,有下述定理。 定理2.8令f∈U(),那么 9 在∫的每个连续点、x成立文 证明令∫在x连续并且ε>0是任意给定的。我们选择>0使 l∫(x-y)-f(x)|< 37