个MRA的精确陈述将在51节中给出。尺度函数的典型 例子是m阶基数B-样条N。,其中m是个任意的正整数。更确 切地说,-阶基数B样条N是单位区间[0,1)的特征函数,而对 于m≥2,N。是用(积分)卷积递推定义: N(x): lm-1(r-t),(t)dt (1.5.了) 为了描述N生成空间,我们需要下述记号 ,表示至多x次的所有多项式的集合 C表示使f,,…,f处处连续 (1.5.8) 的所有函数∫的集合。还有C=C 用N生成的F由这样的函数f组成:所有函数f∈C-2∩ 72(R),且每个函数f限制任一区间[,k+1),k∈Z,属于丌n-1 也就是 ,k+1 ∈ -1 ∈Z 由MRA的性质(5°),我们现在能够识别所有的其它子空间v,即 ={∈Cm=2∩D(R):∫+∈丌1,∈Z} 因为样条函数只是逐段多项式函数,所以很容易在计算机上实现。 事实上,图形显样条曲线和用B-网(或 Bernstein- Bezier系数)精 确地计算多项式段的算法是极有效的。另外因为B样条具有最 小可能的攴撑,所以出任一希望的样条子空间逼近在C∩L2(IR 中函数的局部插值方法也是可用的。所有上述论及的算法能够在 实时中实现。细节问题第四章中研究。 由样条子空间v的嵌套序列我们有正交补子空间W,即 ∈Z 23
这些子空间W,是相互正交的并且是像公式(1.4.7)与(1,4,8)描 述的I2(R)的正交被加项。正像B样条N是}的最小支撑生 成子一样,我们感兴趣的是,求最小支撑蜘∈W0,它生成在公式 (1.43)意义上相互正交的子空间W,而在公式(1.43)中用 玖…,代替,,其中 nm(x)=22vn(2x-k),j,∈Z(1.5.10) 这些紧支撑函数如将被称为n阶“B小波”。在第六章中,将导出 所有ψ及其对偶的显式,m=1,2…或许把B样条与B-小波 的“支撑”比较是有意义的。所谓在某个有界区间外边为零的一个 连续函数f的支撑是指f在外面恒等于零的最小闭集。标准的记 号 suppf。我们将看到,对于所有m=1,2 supp Nm=[0,m] p如m=[0,2m-1] (l.5.11) 除了具有最小支撑外,B小波驷享有许多另外的重要性质。我们 在这里只叙述其中的三条性质。首先,由公式(1.5,9)可见,每个 v是一个半正交小波。其次,计算咖和所有它的导数的有效算法 是可得到的。最后,B小波如对于偶数m是对称的而对于奇数m 是反对称的,即 yn(x)=ym(2m-1-x),对偶数 1.5.12) yn(2m-1-2x),对奇数 在信号分析的应用中,小波函数的对称性和反对称性是很重要的。 例如,在压缩数据的重构中为避免失真,它们是需要的。这将在第 五章中讨论。的其它有意义的性质将在第六章中研究。 6小波分解与重构 重新考虑公式(1.5,1)中讨论过的多分辨分析和小波的一般 24
结构,其中{用某个尺度函数∈L2(R)生成而{W}用某个小波 v∈l?(R)生成。在此情形下,根据性质(2),每个L(R)中的函数 ∫能够对某个N∈Z,用一个∫s∈非常接近地逼近。因为 T=F2-4+对于任何正∈Z成立,具有唯一的分解: ∫x=∫x 其中∫-∈和9s1∈环y-1。重复这个过程,则有 ∫x=gk-1十9x-2…-gx-M+f8-M(1.6.1) 其中对于任何j,∈和g∈W,并且M选取得使f-M是充分 “模糊的”。公式(1.6.1)中的唯一“分解”称为“小波分解”;并且“模 糊”借助于∫-的“变化”(或者,更确切地说,颗率或每单位长周 期的数目)来测量。一个不十分有效的“暂停准则”是要求f、-M 比某个阈值小。下面,我们讨论把f表示为它的分量gx-1,… gy-与fM的一种直接和并由这些分量复原f的一种算法途 径 因为尺度函数d∈I和小波φ∈W都属于v而且F是用 d.()=22d(2x-k).k∈Z生成的,所以存在两个序列i}与 {q}∈P使 (x) pi o(2x-k) (1.6.2) qk p(2: (1.6.3) 对于所有x∈R成立。公式(1.6.2)与(⊥.6.3)分别称为尺度函数 与小波的“两尺度关系”。另一方面因为d(2x)与(2x-1)都属于 且v1=+W,所以存在四个P序列,表示为{a_2},{ba}, a1}与-},k∈Z,使
2)=∑[a-a(x-k)+b2(x-)] (1.6.4) o(2x-1)=∑[1-a10(-k)+b-2(-)] (1.6.5) 对于所有x∈R成立:两个公式(1.6.4)与(1.6,5)能够组合成一 个公式: 6(2x -l) d(x-k)+b-22(x-k)] t∈Z (.6.6) 这称为d与p的“分解关系”。现在,我们有两对序列(},{})与 ({a4},{b}),它们全部是唯一的,这应归于直接和关系1=V+W0。 这些序列常用公式表示下列重构和分解算法。因此,{熟}与!92)称 为重构序列,而{}与{b}称为分解序列。 为了描述这些算法,我们首先呵忆f∈F,和9∈W都具有唯 级数表 ∫(x)=>c!d(2ix-k) (1.6.7) {c}∈ 和 d1(22-k) d)={4}∈l 其中我们有意识地隐藏了规范化系数22。写出φ(2x-k)与 中(2x-)以代替使用的与的…,为的是省掉在算法中不必要的 倍数√2。在下述分解和重构算法中,函数升与g,用公式 26
(1.6.7)与(16.8所定义的序列c与d表示。 )分解算法 应用公式(1.6.6)~(1.6.8),则有 4-1=∑2 d d 图1.6.1小波分解 注意到,c和d-k都是由c'使用分解序列作为“权”的“移 动平均”方法得到,除了那些移动平均只在偶整数点抽样外。这称 为向下抽样。因此,图1.6.1中的每个箭头都指出在偶指标向下 抽样时的移动平均。 )重构算法 应用公式(1.6.2),(1.6.3),(.6.7)与(1.6.8),则有 =∑n-27-1+9-24(:.6.10) 图1.6.2小波再构造 这里,c由c2-2与d-使用重构序列作为“权”的两个移动平 得到,除了在进行移动平均之前需要向上抽样外,更确切地说