般来说答案是否定的。 例如,令∈D2(R)是在定义1.1中引入的任一正交小波。对 于每个具有|z|<1的复数z,考虑函数 (x):=约():=n(x)一z√2n(2x)(1.4.1) 那么很明显,公式(1.3.12)中定义的族{吵}是I2(R)的一个 Riesz基,现在,我们考虑关于{y:}的对偶基{φ}特别是,容易证 明 「=0 (1.4.2) 40…:1(x)=m,(x) 如果能够求得某个函数ψ一∈(取)使(13.16),(1.3.17)成 立,那么有 7(x)=m,(x+1)=p01(x+1) v,,(x+1)=的,0(x) 或者 ∑n-1.()z!=0 因为这是明显荒谬的,除在2<中z的值至多是有限数个外,其 中0<r<1是任意的。我们断定φ一v一般不存在 上述讨论诱导出“小波”的下述定义 定义1.5一个绵-函数p∈2(R)称为一个小波(或小波)。 如果存在一个函数φ∈B(呎),使公式(1.312)与(1.3.17)中定义 18
的{,}与{约}是D2(R)的对偶基。如果φ是一个小波,那么 φ称为是一个相应于φ的对偶小波。 很明显,一个对偶小波φ是唯一的并且它本身就是一个 萦小波。更确切地说,一对(砂φ)在下述意义上是对称的:p也是 的对偶小波。为了方便,我们简单称φ是一个“小波”和v是φ的 “对偶”。正如我们已经在1.3节中注意到的,如果是一个正交 小波,那么它在意义换三p上是自对偶的 重要的是再一次强调,每个小被φ正交的或不正交的,生成 任何f∈I:(取)的一个“小波级数”表示,即: 其中每个,都是关于φ的对偶φ的f的积分小波变换在时问 尺度的坐标 上求得。 令是任一小波并且考虑它生成的Resz基{v,A}。对于每个 Z,令环表示{,:k∈Z}的线性张成的闭包,即 clos, ,p) KIRA 的,:∈Z (1.4.3) 那么很明显,U2(R)能够分解为空间W的直接和: L2(R)=∑W:=…+W-1+W+W1+… (1.4,4 在这个意义上,每个f∈I2(R)都有个唯一的分解 ∫(x)=…+g-1(x)+g0(x)+g1(x)+…(1.4,5) 19
其中9∈W对于所有∈Z成立。公式(14)中求和与加号上 的黑点表示“直接和”。 如果φ是一个正交小波,那么L2(职)的子空间W相互是正交 的,即 <912>=0,5≠ 1.⊥.6) 其中9,∈W;与9∈W 在此情况下,我们使用记号 W,⊥W ≠ (1.4.7) 结果,公式(1.4.4)中的直接和变成了正交和 L2(R)=(W;:=…团W-1④WW④… (1.4.8) 其中公式(1.4.8)中围绕加号的圆圈表示“正交和”。公式(1.4.8) 的分解通常称为L2(R)的一种正交分解。这个意思是,任 f∈D2(R)分解为函数g∈W的(无限)和不仅是唯一的,而且像公 式(1.4.6)所描述的f的分量还是相互正交的 所以,-个正交小波φ产生(R)的一种正交分解。然而,我 们没有使用{,的所有正交性质,即,对于每个j正交性条件 <列…,的>=6在公式(1.4.8)中没有反映。这意味着,有一大类 小波能够用于生成2(R)的正交分解。这种可用的灵活性对于构 造具有某些需要性质的小波是重要的。对于具有这个灵活性的紧 支撑小波,人们能够得到的最重要的性质是“对称”或“反对称”。细 节问题将在第5,6章屮研究。 定义1.6一个在L(R)中的小波φ称为是一个半正交小波,如 果它生成满足 <约,;的,m>=0,≠l;,,,m∈Z(1.4.9) 20
的 Riesz基 显然,每一个半正交小波生成l2(R)的一种正交分解公式 (1.48),并且每个正交小波还是一个半正交小波。一个小波(或者 更确切地说,一个-小波)φ称为是一个非正交小波—如果它 不是一个半正交小波。然而既然是一个一小波,它就具有一个 对偶φ,并且对(φ,满足双正交性质: <的A,约,>=0、·5,m,j,k,l,m∈Z(1.4.10) 1.5多分辨分析、样条及小波 任何小波,半正交的或非正交的,都产生!2(R)的一种直接和 分解公式(⊥.4.4)。对于每个Z,我们考虑()的闭子空间 ∈z 这些子空间明显具有下述性质 (2)clos;2(UI)==2(R) ∈Z ={0} ∈Z 4) + ∈Z (5°)∫∈|∫(2x)∈l+1∈Z 因此,与满足 W∩Wt={0},j≠t 的空间W大不相同。像(1°)描述的那样,子空间的序列是嵌 套的,并且其有性质:像在(2)中描述的,L2(R)中的每个函数f 能够用它在V中的投影Pf非常接近希望的逼近。但另一方面 像在(3°)中所保证的,通过减小j,投影Pf能够具有任意小的能 量。(1°)~(3°)没有描述的这些空间最重要的内蕴性质是当 21
j∞时,P,f更大的“变化”被除去。事实上,这些变化是逐层剥 离.即按变化“速率”〈最好称为“频带”)减小顺序剥离,并且存放在 像(4°)的补子空间W,中。这个过程能够使用性质(5°)非常有效地 做到 事实上.妇果参考子空间1用单个函数d∈12(R)在意义 1^0= clos,(<,:k∈Z> (1.5.2) 上生成,其中 ,(x):=2p(2x-k) (1.5,3) 那么,所有的子空间v也用同一个生成(正像子空问W在公式 (1.4.3)中用p生成一样).即: 1;= clos,?(歌)<的x:∈Z>,j∈(1 因此,由v到环,-1,环-2∵…,-的剥离过程能够有效地完成。在 下节,我们转到这个题日。 定义1.7一个西数如∈Ⅰ2(呎)被认为生成一个多分辫分析 (MRA),如果它生成在公式(1.5.4)意义上满足(1°),(2°),(3°)和 (5③)的闭子空问V的一个嵌套序列,使{的:}形成V的一组 Riesz 基。这里,类似于定理1,4,如}是巧的一个 Riesz基,必须存在 两个常数A与B,且0<A≤B<∞,使 A{c}3≤‖∑,≤B‖{c‖3 对于所有双无限平方可和序列{c},即 Ck 成立。如果如生成一个MRA,那么的称为是一个“尺度函数”。 22