(W/)(b,a)}|a-y L,x-b、)dadb ∫(x)= ∫∈b2(R) (1.3.3) 其中呎2=R×珉。注意,同样的核 除了复共轭外,常用于确定公式(1.1.18)中的积分小波变换和公 式(1.3.3)中的逆因此,φ可以称为是基小波φ的一个“对偶”。当 然,我们不能期望这个对偶的唯一性 (2°)由(Wf)(u,b),b∈R和a>0,重新复原 像前节讨论的时间频率分析那样,我们使用a的正常数倍 表示频率。因此,因为只有正的频率是有意义的,我们需要一个重 构公式,其中积分是在R×(0,∞),而不是在R2。所以,我们现在 必须考虑基小波φ一个比较小的类,即小波φ满足 de 41(-)-do C (l.3.4) 其中C,已在公式(13.1)中定义。例如,任一满足公式(1.3、1)的 实值ψ能够作为在此情况下的-个基小波。对于任一满足公式 (3.4)的,有下述重构公式 b {(WP)(b,a) d ∫∈L2(R)(1.3.5) 除了一个因子2以外,这个公式与重构公式(1.3.3)相同。当然, 公式(13.5)中的基小波有更多限制。像在(1°中,我们还是称v
的复共轭φ为情形(2°时基小波φ的一个“对偶”。可见没有理由 期望有-个唯一对偶。 (3°)由(W(b,a),b∈R,a=b,∈Z,重新复原 2 把注意力集中于a=2-,其中j取遍所有整数,我们就能够研 究频率窗 B;:=[2 22,2 出,,j∈Z (1.3.6) 的时间-频率局部化。特别是,如果窗函数ψ的中心ω·选作 34 那么公式(1.3.6)中的频带B,浜Z,形成整个频率轴[0,∞)的 个不相交的划分,除了区间B的两端点外。积分小波变换公式 (1.2.8)常用于确定时间区间[b+2--2-,b+2-+2- 在这个区间上,值域B中的频率的信号f的频谱的含量是至关重 要的,即(W∫)(b、2-)的值超过某一阌值 因为只有W的部分信息是有用的,欲使重构公式有效,基小 波v必须再次满足比公式(13.1更强的条件。我们施加给φ的 糸件是述所谓的“稳定性条件”, A≤∑(2-如)|2≤B (I.3.7) 其中A与B,0<A≤B<∞,是与a无关的常数。由公式(3.7)很 容易得到,φ还满足 Aln2≤ 4() (一c) ≤Bn2 (1.3.8 这是指C,位于2Aln2与2Hn2之间。第三章3.4节将详细讨论
如果v满足公式(1.3.7),那么基小波φ具有一个“对偶”φ,这个 中*的 Fourier变换用 给出。使用这个对偶的重构公式可以表示如下 22(W)(b,2-)} {2y*(2(x-b)}d(1.3.10) ∫∈2(R) 因为基小波对这种情况既有理论价值又有实用价值,所以赋予下 述专用名称。 定义1.3一个函数pI2(呎)称为是一个“二进小波”,如果对于 有0<A≤B<∞的某些常数A与B及凡乎所有∈R,它满足稳 定性条件公式(1.3.7) 将在第三章中看到甚至二进小波一般也不具有唯一对偶。二 进小波最有意义的一些例子也许是在3.5节中引入的所谓“框 架 (4°)由(W的(b,a),b ∈Z,复原 对于确定积分小波变换和由(环f)(b,a)重构f为了建立有 效算法,我们只考虑离散抽样。当说到像在(3°)中那样,虽然尺度 参数a使用2的幂把频率轴剖分为频带是重要的,但更加有效的 是,当a=2-,j∈z时,只考虑在时间轴上的二进值b=k/2而不 是所有b∈R。在许多应用中,使用这个均匀离散抽样,有很小的 损失(若有的话)像在后面将看到的,这种方法的数学理论是很有 吸引力的。 15
我们首先注意 (W∫)(;,,) 2°2 ∫ f(r)1212 p(2-k)dx <J,, 其中,像在公式(1.1.11)中 的,(x):=22(2-k),3,k∈Z(1.3.12) 然而,一般来说我们并不要求{+}像在1.1节中那样是D(R) 的一个正交基。事实上,如下述定义的一个“稳定”基就足够了。 定义1.4一个函数φ∈(R)称为是一个函数,如果公式 (1.3.12)中定义的{如,}在下迷意义上是L2(R)的一个Resz基。 的k∈Z,的线性张成在U(])中是稠密的并且存在正常数A 与P,0<A≤B<∞,使 A{}≤‖∑∑c+v ≤B‖{c;、}‖ 对于所有二重双无平方可和序列{1,}成立,即对于 ‖(c,}1:=△∑|c4|2<∞ 的t,}成立, 假定φ是一个函数,那么存在L(R)的一个唯一的 Riesz 基{岁4,它是在意义 的,4y:>=0,:02 ,l,m∈Z 上对于(,+}的对偶。因此,每个函数f∈I2(呎)具有下述(唯一)级 数表示: 16
∑<∫, 然而,虽然系数是∫关于的积分小波变换的值,但级数公式 (1.3.15)不一定是一个小波级数作为一个合格的小波级数,必须 存在某个函数v∈2(R),使在级数公式(1.3.15)中的对偶基 p是由通过 3(x)=,(x) (1.3.16) 得到。像通常那样,式中使用了记号 ,(x):=22(2z-k) (1.3.17) 如果{}是I2(R)的一个正交基,像已经在公式(1.1.14), (1.1.15),(1.1.17)中讨论了的,显然公式(1.3.14)对于=的,A 或v≡φ成立。然而,像我们将在下节看到的,通常不存在。如果 选择得使存在,那么,对于在二进位置和不同的二进尺度等级 (或倍频程)上显示∫∈L2(R)的积分小波变换的值,以及对于由 它的积分小波变换的这些值复原f,一对(单,砂)都是很有用的。更 确切地说,我们有 x)=∑<∫x> J,,>的,A(x)(1.318) 1.4小波的分类 令∈I2(取)是一个函数;即,公式(1.3.12)中定义的 ,}是L2(R)的一个 riesz基。我们面临的第一个问题是,如在公 式(13.14)中定义的关于1的,t}的对偶基{v4},是否由公式 (1.3.16)~(1.3.17)某个函数孙∈2(R)导出的。出乎预料的是, 17