西北工业大学：《建筑工程材料——土木工程材料》课程教学资源（课后作业）第五章 向量分析（5-4）第二型空间曲面积分 Gauss公式

第五章向量分析 第五章向量分析 第十九讲第二型空间曲面积分 Gauss公式 5-4-1第二型曲面积分 5-4-2 Gauss公式 课后作业 课后作业: 阅读:第五章第四节:第二型曲面积分pp.165-172 预习:第五章第五节: Gauss公式和 Stokes公式pp.173-181 作业:习题4:pp172-173:1,(2),(3),(4,(6),(8,(10),(12) 习题5:pp.181-182:1,(1),(3),(5),(7);2;3(3) 5-4第二型曲面积分、 Gauss公式 本节专门讨论空间向量场 F(x,y,=)=X(x,y, =)i+Y(x,y, x)J+Z(x, y, =)k 5-4-1第二型曲面积分 (1)曲面的定向、面微分向量 (一)曲面的定向 光滑曲面:曲面S上有连续非零的法向量 逐片光滑曲面:由若干光滑曲面连接而成的曲面 双侧曲面:在光滑曲面上,任意一点M(x0=)的法向量向量, 例如n(x。3二。).如果该点在曲面上任意移动,当它回到原来点 时,法线方向总是与n(x03V=)重合,这样的曲面称为双侧曲面 本章只研究双侧曲面.常见的一些曲面,例如平面,球面,柱面等 都是双侧曲面 曲面的方向:设S是一个光滑的双侧曲面,在每个点有两个单位 法向量n(x,y,2),-n(x,y,).分别指向曲面两侧,今指定指向一 侧的法向量为正向,则称S为定向曲面( oriented surface A)若曲面S由方程 F(x,y,=)=0 给出.则在曲面上任意一点M(x,y,=),单位法向量是 n=t VF(x, y, = I VF(,, =l 例如:球面Sx2+y+z2=a2,在M(x,y,z) 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 第五章 向量分析 第十九讲 第二型空间曲面积分 Gauss 公式 5-4-1 第二型曲面积分 5-4-2 Gauss 公式 课后作业： 课后作业： 阅读：第五章 第四节: 第二型曲面积分 pp. 165---172 预习：第五章 第五节: Gauss 公式和 Stokes 公式 pp. 173---181 作业: 习题 4: pp.172---173 : 1, (2), (3), (4), (6), (8), (10), (12). 习题 5: pp.181---182: 1,(1), (3), (5), (7) ; 2; 3,(3). 5-4 第二型曲面积分、Gauss 公式 本节专门讨论空间向量场: F x y z X x y z i Y x y z j Z(x y z)k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + , , 5-4-1 第二型曲面积分 (1) 曲面的定向、面微分向量 (一) 曲面的定向 ⚫ 光滑曲面: 曲面 S 上有连续非零的法向量; 逐片光滑曲面: 由若干光滑曲面连接而成的曲面。 ⚫ 双侧曲面：在光滑曲面上，任意一点 M x y z 0 0 0 0 ( , , ) 的法向量向量, 例如 n(x ,y ,z ) 0 0 0 . 如果该点在曲面上任意移动, 当它回到原来点 时,法线方向总是与 n(x ,y ,z ) 0 0 0 重合, 这样的曲面称为双侧曲面. 本章只研究双侧曲面. 常见的一些曲面,例如平面,球面,柱面等 都是双侧曲面. ⚫ 曲面的方向： 设 S 是一个光滑的双侧曲面, 在每个点有两个单位 法向量 n(x, y,z),−n(x, y,z). 分别指向曲面两侧，今指定指向一 侧的法向量为正向，则称 S 为定向曲面(oriented surface. (A) 若曲面 S 由 方程 F(x, y,z) = 0 给出. 则 在曲面上任意一点 M(x, y,z), 单位法向量是 | ( , , ) | ( , , ) F x y z F x y z n   =   例如: 球面 S: x y z a , 2 2 2 2 + + = 在 M(x, y,z)

第五章向量分析 t vi+ n(x,y, 2)= ±, 可以根据要求的侧面选取其中的符号,作为法向量正向,相应一 侧作正侧,对封闭曲面,通常选外法向为正向,此例中即 n=ro (B)如果曲面S由方程〓=f(x,y)确定,在M(x,y,f(x,y)处 其单位法向量为 n(x,y,3)=* a d*k 如果以与z轴夹角小于二的为正向,则应当v在上式中选取正号 2 例如,平面S:z=1-x-y,如果上侧为正,则上述向量的符号 k 应当取正,即 n(x,y,二)= ()如果曲面S由参数方程{y=y(n),确定 2=2(u,y 则在任意一点(,v)的单位法向量是 Ai+ Bi+ck 1×l2A2+B2+ 其中A=det a(y,=) ax,y) a(,v) du v a(,v) 这时可以根据曲面的方向适当地选取(4.3)中的的符号 有向曲面S的边界aS定向 有向曲面S的边界OS是有向曲线.其方向按左侧规定:即,当 人站在曲面的正侧(即站立方向与正侧法向量一致),沿着aS正向 前进时,曲面S总是在它的左侧 (二)面微分向量(有向面积徽元) 有向曲面S上点M(x,y,=)处的有向面积微元dS是一个向量: 其方向是该点正法线方向,其模是面积微分充,即 ds=no(x,y, 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 0 ( , , ) r r xi yj zk n x y z       =          + + =  , 可以根据要求的侧面 选取其中的符号,作为法向量正向，相应一 侧作正侧, 对封闭曲面，通常选外法向为正向，此例中即： 0 n r   = . (B) 如果曲面 S 由方程 z = f (x, y) 确定, 在 M(x, y, f (x, y)) 处 其单位法向量为 . 1 ( ) ( ) ( , , ) 2 2 x f x f j k y f i x f n x y z         + + − − + =  如果以与 z 轴夹角小于 2  的为正向, 则应当 v 在上式中选取正号. 例如, 平面 S : z = 1− x − y, 如果上侧为正, 则上述向量的符号 应当取正 ,即 n x y z i j k ( , , ) = . + + 3 (C) 如果曲面 S 由参数方程 ( ) ( ) ( )      = = = z z u v y y u v x x u v , , , , 确定. 则在任意一点 (u,v) 的单位法向量是 . | | 2 2 2 1 2 1 2 A B C Ai Bj Ck l l l l n + + + + =    =          其中 A y z u v B z x u v C x y u v = det = = ( , ) ( , ) , det ( , ) ( , ) , det ( , ) ( , ) .       这时可以根据曲面的方向适当地选取(4.3)中的的符号. ⚫ 有向曲面 S 的边界  S 定向: 有向曲面 S 的边界  S 是有向曲线. 其方向按左侧规定：即, 当 人站在曲面的正侧 (即站立方向与正侧法向量一致), 沿着  S 正向 前进时, 曲面 S 总是在它的左侧. (二) 面微分向量(有向面积微元) 有向曲面 S 上点 M(x, y,z) 处的有向面积微元 dS  是一个向量： 其方向是该点正法线方向，其模是面积微分充，即 dS n0 (x, y,z)dS   =

第五章向量分析 其中而(x,y,z),为该点正侧单位法向量 在直角坐标系下有投影表示 ds=no(x, y, =)dS= Cosa dsi+ CosB dsj+ Cosy ds k = dy a di+d∧dxj+ax∧dk 这里,dS是面积微元,是正标量: dy∧d,dAdx,dx∧d是有向面微元分别在yz,x,xy三坐 标平面上的投影,如此记法这里是为了区别二重积分中的面积元, d∧c= cos ads,c∧ax= cos BdS,d∧d=cosS “∧”表示“外积”,满足如下重要性质(反称性) dx∧ax=d∧d=d∧d=0 dx∧d=-d∧dx,d∧d=-cAd,d^ax=-txAd (2)第二型曲面积分 例子:流场中通过曲面的流量 设区域ΩcR中有流体的流速场 U=X(x,y, =)i+Y(x,y,=j+Z(x,y, =)k 流体的密度为1,设S为内的一个光滑曲面试求流体通过S的 的流量. 解:取S的一侧为正侧,每点单位法向量为0(x,y,z) 在曲面S上任一点M(x,y,2)处取有向面积微元dS.则 流体通过dS流向正侧之流量为 dQ=U(x,y,z)dS=X小∧d+ Ydza dx+Z∧d 流体通过S流向正侧之流量为 o=U(x,y,=).ds Xd入在+Y在Ad+ZdAd 由此可得到第二型曲面积分的概念 定义:设F=X(x,yz)+Y(x,y,=)+Z(x,y,是区域 Ω≤R上的向量函数,S是中的光滑的有向曲面 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 其中 n (x, y,z) 0  , 为该点正侧单位法向量. 在直角坐标系下有投影表示： dS n x y z dS Cos dsi Cos dsj Cos ds k      = ( , , ) =  +  +  0 = dy dzi dz dx j dx dy k     +  +  这里， dS 是面积微元, 是正标量； dy  dz,dz  dx,dx  dy 是有向面微元分别在 yz,zx, xy 三坐 标平面上的投影, 如此记法这里是为了区别二重积分中的面积元, dydz = cosdS,dzdx = cosdS,dxdy = cosdS. “  ”表示“外积”, 满足如下重要性质(反称性): dx  dx = dy  dy = dz  dz = 0 ; dx  dy = −dy  dx,dy  dz = −dz  dy,dz  dx = −dx  dz (2) 第二型曲面积分 ⚫ 例子：流场中通过曲面的流量: 设区域   3 R 中有流体的流速场： U X (x y z)i Y(x y z)j Z(x y z)k     = , , + , , + , , 流体的密度为 1, 设 S 为  内的一个光滑曲面.试求流体通过 S 的 的流量. 解: 取 S 的一侧为正侧，每点单位法向量为 ( , , ) 0 n x y z  . 在曲面 S 上任一点 M(x, y,z) 处取有向面积微元 dS  .则 流体通过 dS  流向正侧之流量为 dQ = U(x y z) dS = X dy  dz + Y dz  dx + Z dx  dy   , , 流体通过 S 流向正侧之流量为  =  S Q U x y z dS   ( , , ) =   +  +  S X dy dz Y dz dx Z dx dy 由此可得到第二型曲面积分的概念. ⚫ 定 义 : 设 F X (x y z)i Y(x y z)j Z(x y z)k    = , , + , , + , , 是区域   3 R 上的向量函数, S 是  中的光滑的有向曲面

第五章向量分析 对任作一划分,第i小片作为有向面积AS,在三个坐标平面上 的投影分别为:△x,A,x,△,在△S,上任取一点 M(x1,y2=;),若和式极限 im∑X(MA=+Y(M)Aax+z(M)Aσn 存在,则称之为F(x,y,=)在曲面S上的第二型曲面积分.记成 Fxy)d-xd入在+YA+zAd 注:(i)积分中F(x,y,z)取值在曲面S上 (ii)对具体的曲面S的定向依据几何图 (iii)如果S是由有向光滑曲面S,S连接而成的由有向 的逐片光滑曲面,则定义 (iv)第二型曲面积分也具有方向性,即 F·dS=-F·dS 其中-S表示有向曲面S的另一侧 (V)若将单位法向量0(x,y,)表为 n= cos aa+cosf+cos水 则F·4s=∫ X cos a ds+ Y cos Bds+ Cosy ds 这就化成了第一类曲面积分 如果S由参数方程x=x(u,v),y=y(l,v),=(,v)表示,则 Ai+ Bj+Ck no A2+B2+C2 B CoSa= A=0B=+8+C cOSy= A2+B2+c A2+B2+C2 于是又有 F ds=I(XA+YB+z c)udv 例1:计算第二型曲面积分 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 对任作一划分, 第 i 小片作为有向面积 Si   ，在三个坐标平面上 的投影分别为： , , , i yz i zx i xy 在 Si   上任取一点 ( , , ) i i i i M x y z , 若和式极限  ( ) ( ) ( ) = → X Mi i yz + Y Mi i zxz + Z Mi i xy  0 lim 存在，则称之为 F(x, y,z)  在曲面 S 上的第二型曲面积分. 记成：   S F x y z dS   ( , , ) =   +  +  S X dy dz Y dz dx Z dx dy 注: (i) 积分中 F(x, y,z)  取值在曲面 S 上; (ii) 对具体的曲面 S 的定向依据几何图； (iii) 如果 S 是由有向光滑曲面 S1 ,...,Sk 连接而成的由有向 的逐片光滑曲面,则定义   =  =  k S i Si F dS F dS 1     . (iv) 第二型曲面积分也具有方向性,即 .    = −  −S S F dS F dS     其中 − S 表示有向曲面 S 的另一侧. (V) 若将单位法向量 ( , , ) 0 n x y z  表为： n = cosi +cosj +cosk. 则    = + + S S F dS X cos dS Y cos  dS Z cos dS  这就化成了第一类曲面积分； 如果 S 由参数方程 x = x(u,v), y = y(u,v),z = z(u,v). 表示,则 2 2 2 0 A B C Ai Bj Ck n + + + + =  cos ,cos ,cos . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C C A B C B A B C A + + = + + = + +  =   于是又有 ( ) .    =  +  +  S S F dS X A Y B Z C dudv   例 1:计算第二型曲面积分

第五章向量分析 =x入在+yA+入h 其中S为半球面z=√R-x2 解1:按定义做三个积分,分别计算三个积分 1=xdA在,l2=ydA1==2Ah 对于曲面S的方程为z=√R2-x2- dx∧dy=cosy (曲面上侧为正,单位法向量与O轴正向的夹角余弦COSy为正.)因此 1=1=bAb-( Ide((r2-r2)n 对于l1=1xd入d,将S分成前后两部分 S:x=√R-y-=(z20)s:x=-R-y-=(z≥20) 在S1上,单位法向量n(x,y,2)与Ox轴正向的夹角余弦cOSa为正,所以 ax∧dhy=d S在y平面上的投影为 D=={(y,=)y R2,z≥0.} 于是 xdhy∧c idersin ONR2-r2rdr=2 R sint cos'tdt =TR 对于曲面S2,单位法向量n(x,y,z)与Ox轴正向的夹角余弦 cosa为负,所以txAd=-do x=√R-y-2.因为两个积分的积分区域相同,所以有 xz∧c=1xdyA 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 . 2  =  +  +  S I x zdy dz y zdz dx z dx dy 其中 S 为半球面 z = R − x − y 2 2 2 . 解 1: 按定义做三个积分，分别计算三个积分:    =  =  =  S S S I x zdy dz,I yz dz dx, I z dx dy. 2 1 2 3 ⚫ 对于 I 3 . 曲面 S 的方程为 2 2 2 z = R − x − y . dx dy dS d xy  = cos = (曲面上侧为正,单位法向量与 oz 轴正向的夹角余弦 cos 为正.)因此 ( )   =  = − − Dxy xy S I z dx dy R x y d 2 2 2 2 3 =   − =    2 0 0 2 2 4 2 1 ( ) R d R r rdr R ⚫ 对于  =  S I xzdy dz, 1 将 S 分成前后两部分: 1 2 2 2 2 2 2 2 S : x = R − y − z (z  0),S : x = − R − y − z (z  0). 在 S1 上,单位法向量 n(x, y,z) 与 ox 轴正向的夹角余弦 cos 为正,所以 dxdy = d yz. S1 在 yz 平面上的投影为 {( , ) | , 0.} 2 2 2 Dyz = y z y + z  R z  , x = R − y − z 2 2 2 . 于是    +   = − − 0 2 2 2 1 2 2 2 z y z R d yz z R y z S xzdy dz  = . 8 1 sin 2 sin cos 2 2 4 2 0 4 0 0 2 2 d r R r rdr R t tdt R R      − = =    ⚫ 对于曲面 S2 ,单位法向量 ( , , ) 0 n x y z  与 ox 轴正向的夹角余弦 cos 为负,所以 dxdy = −d yz. x = − R − y − z 2 2 2 . 因为两个积分的积分区域相同, 所以有 . 8 1 4 2 1 R S xzdy dz S xzdy  dz =  =   