西北工业大学：《建筑工程材料——土木工程材料》课程教学资源（课后作业）第五章 向量分析（5-17）曲线积分

第五章向量场的微积分 第五章向量分析 第十七讲曲线积分 课后作业 阅读:第五章第一节:曲线积分pp.142-151 预习:第五章第二节:Gren公式pp.152-158 作业:习题1:p.152:2;3;4;7;8;9;10. 补充题 计算下列第一类曲线积分: ()[(x+y)d其中C为以0002(0BQ.)为顶点的三角形的三条边 (x+y1)ul,其中C为星形线:x= cos't, y=asin't(02x) (3)(x2+y2+=2)d,其中C为螺线 X= r cost,y= rsin t,z=v0t(0≤t≤2π)。 (4x2d,其中C是球面x2+y2+2=R2与平面x+y+z=0的交线 求空间曲线:x=3,y=32,z=21,从O(0,0,0到A(3,3,2)的弧长 4.求圆柱面x2+y2=a2介于曲面z=a+与z=0间的面积a>0)。 5.求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)在t∈[0.π的弧段的重心假定质量分 布均匀) 5-1曲线积分 5-1-1第一型曲线积分的概念与计算 引言、背景 第一型曲线积分的定义 第一型曲线积分的计 5-1-2第二型曲线积分的概念与计算 引言、背景 第二型曲线积分的定义 第二型曲线积分的计算 5-1-3两型曲线积分的关系 第五章向量场的微积分

第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 1 第五章 向量分析 第十七讲 曲线积分 课后作业： 阅读：第五章 第一节: 曲线积分 pp. 142---151 预习：第五章 第二节: Green 公式 pp. 152---158 作业: 习题 1: p.152 : 2; 3; 4; 7; 8; 9; 10. 补充题 1. 计算下列第一类曲线积分： (1)  + C (x y)dl 其中 C 为以 0(0, 0), A(1, 0), B(0, 1)为顶点的三角形的三条边。 (2)  + C (x y )dl 4 / 3 4 / 3 , 其中 C 为星形线：x=acos3 t, y=asin3 t (0t2) (3)  + + C (x y z )dl 2 2 2 ，其中 C 为螺线 x = r cost, y = rsin t, z = v t (  t  ) 0 0 2 。 (4) C x dl 2 ，其中 C 是球面 x y z R 2 2 2 2 + + = 与平面 x + y + z = 0 的交线。 2. 求空间曲线： 3 , 3 , 2 , 2 3 x = t y = t z = t 从O(0, 0, 0)到A(3, 3, 2) 的弧长; 4. 求圆柱面 x y a 2 2 2 + = 介于曲面 z a x a = + 2 与 z=0 间的面积(a>0)。 5. 求摆线 x=a(t－sint), y=a(1－cost)在 t[0, ]的弧段的重心(假定质量分 布均匀)。 5-1 曲线积分 5-1-1 第一型曲线积分的概念与计算 ⚫ 引言、背景 ⚫ 第一型曲线积分的定义 ⚫ 第一型曲线积分的计 5-1-2 第二型曲线积分的概念与计算 ⚫ 引言、背景 ⚫ 第二型曲线积分的定义 ⚫ 第二型曲线积分的计算 5-1-3 两型曲线积分的关系

第五章向量场的微积分 5-1-1第一型曲线积分的概念与计算 1)第一型曲线积分的概念 1-1定义:先看一个实例,然后再从中抽象出第一类曲线积分的定义。 例设有一个曲线(AB)状的物体。如果它的质量分布不均匀,其线密 度为p(xy,=),如何求它的总质量呢? 线状物体的质量对线段是可加的。因此,我们把曲线C(即AB)分 成n个小弧段,分点为=A,B1,…P,…P=B。每一个子弧段 P1P(其长度记作AMl1,i=1,2,…,n)的线密度可以近似看作不变的 常数,它近似等于弧段PP上任一点Q(5,n,5)处的线密度 p(F,n,s),于是子弧段P1P的质量△M可以近似地表示为: △M1≈D(1,n,M(i=1,2,…,m), 整条线状物体的质量为M≈∑(5,m,)△l 显然,当d=Max{△l}→0时,上述和式的极限值就是所求的M,即 M= m∑,n1) 上式中的和式极限叫做函数p(x,y,)在曲线C(即AB)上的第一类 曲线积分。下面给出一般的定义 定义:设R3中的一条曲线AB(记作C)是逐段光滑的,函数f(x,y,z) 定义在曲线C上,把C任意地分成n个子弧段P1P (B0=A,B,…P,…,Pn=B),其长度记为△l1,并在P1P上任取 点Q、5F,2,5),作黎曼和:∑f(5,n,5)△N1,再记d=Mmx{△} 如果d→0,和式的极限存在,则称其极限值为函数f(xy,=)在曲线C 第五章向量场的微积分 2

第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 2 5-1-1 第一型曲线积分的概念与计算 1) 第一型曲线积分的概念 1-1 定义: 先看一个实例，然后再从中抽象出第一类曲线积分的定义。 例 设有一个曲线(  AB )状的物体。 如果它的质量分布不均匀，其线密 度为 (x, y,z) ，如何求它的总质量呢？ 线状物体的质量对线段是可加的。因此，我们把曲线 C （即  AB ）分 成 n 个小弧段，分点为 P0 = A, P1 ,  ,Pi ,  ,Pn = B 。每一个子弧段  Pi−1Pi (其长度记作 i l , i =1, 2, …, n)的线密度可以近似看作不变的 常数，它近似等于弧段  Pi−1Pi 上任一点 ( ) Qi i i i  , , 处的线密度 ( ) i i i   , , ，于是子弧段  Pi−1Pi 的质量Mi 可以近似地表示为： ( , , ) (i =1, 2, , n) i i i i i M      l ， 整条线状物体的质量为 =   n i M i i i 1 i ( , , ) l . 显然，当   0 1 =  →   i i d Max l 时，上述和式的极限值就是所求的 M，即 = → =  n i i i i d M 1 i 0 lim ( , , ) l 上式中的和式极限叫做函数 (x, y,z) 在曲线 C(即  AB )上的第一类 曲线积分。下面给出一般的定义。 定义: 设 3 R 中的一条曲线  AB (记作 C)是逐段光滑的，函数 f (x, y, z) 定义在曲线 C 上 ， 把 C 任 意 地 分 成 n 个 子 弧 段  Pi−1Pi ( P0 = A, P1 ,  ,Pi ,  ,Pn = B )，其长度记为 i l ，并在  Pi−1Pi 上任取一 点 ( ) Qi i i i  , , ，作黎曼和： =  n i i i i f 1 i ( , , ) l , 再记  i i d = Max l 1  ， 如果 d →0 ，和式的极限存在，则称其极限值为函数 f (x, y,z) 在曲线 C

第五章向量场的微积分 上第一类曲线积分,记作(x,yM或j(x,y:,即 ∫f(x,yM=m∑/(5,n,)AM 其中曲线C(即AB)称为积分路径,∫称为被积函数,f(xy,z称 为被积分式,d≥0称为曲线元素(或弧微分)。 如果C是R2中的一条平面曲线,f(x,y)是定义在C上的二元函数, 同样可以定义二元函数f(xy)在平面曲线C上的第一类曲线积分为 ∫f(x,y)l=lm∑/(5,m,5,)A 1-2第一型曲线积分的性质 ·存在性:上述和式极限存在的一个充分条件是被积函数∫在曲 线C上分段连续 可加性 估值定理与中值定理 1-3第一型曲线积分的应用 几何上的应用:柱面面积。 物理方面的应用 如重心: 我们根据第一类曲线积分的概念,也容易写出空间曲线C关于三个坐标平 面的静力矩: M=xp(x, y, z)di Mar=yp(x,y, =)dl, M,==p(x,y, =)dl, 于是空间曲线C的重心(或质心)的坐标(x,y,为 我们也易得曲线C绕z轴转动的轴动惯量 J2=∫(x2+y)(xy 读者也不难写出曲线C绕x,y轴转动的转动惯量 第五章向量场的微积分

第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 3 上第一类曲线积分，记作  C f (x, y,z)dl 或  AB f x y z dl   ( , , ) ，即  = → =  n i i i i C d f x y z dl f 1 i 0 ( , , ) lim ( , , ) l . 其中曲线 C(即  AB )称为积分路径， f 称为被积函数， f (x, y,z)dl 称 为被积分式， dl  0 称为曲线元素(或弧微分)。 如果 C 是 2 R 中的一条平面曲线， f (x, y) 是定义在 C 上的二元函数， 同样可以定义二元函数 f (x, y) 在平面曲线 C 上的第一类曲线积分为  = → =  n i i i i C d f x y dl f 1 i 0 ( , ) lim ( , , ) l . 1-2 第一型曲线积分的性质 ⚫ 存在性：上述和式极限存在的一个充分条件是被积函数 f 在曲 线 C 上分段连续。 ⚫ 可加性： ⚫ 估值定理与中值定理 1-3 第一型曲线积分的应用 ⚫ 几何上的应用：柱面面积。 ⚫ 物理方面的应用 如重心: 我们根据第一类曲线积分的概念，也容易写出空间曲线 C 关于三个坐标平 面的静力矩：    = = = C xy C zx C yz M z x y z dl M y x y z dl M x x y z dl ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) ,    于是空间曲线 C 的重心（或质心）的坐标 (x, y,z) 为 M M z M M y M M x yz zx xy = , = , = . 我们也易得曲线 C 绕 z 轴转动的轴动惯量  = + C J z (x y ) (x, y,z)dl 2 2  ， 读者也不难写出曲线 C 绕 x, y 轴转动的转动惯量

第五章向量场的微积分 空间曲线积分的几何意义:当上式中的(x,y2)=1时,j1d表示 曲线C的长度。 平面曲线∫f(xy)的几何意义:表示由曲线C形成的柱面之面积 第一类曲线积分也有与定积分类似的性质,我们不再一一列出,这里 只指出与路径有关的两条性质 (1)函数f(x,y,)在曲线AB和BA上的第一类曲线积分相等,即 「a/(x,y)-J/(xy)d 此性质表示第一类曲线积分与积分路径的走向无关。 (2)如果曲线C由曲线C1与C2组成,则 J(x,y, =)d=/(x, y, =)d/+ /(x,y,=)dI 这些性质对第一类平面曲线积分也都成立 2)第一类曲线积分的计算及其应用 x(1) 设曲线C(即AB)的参数方程为{y=uO)t∈ 二=z() 又设函数∫(x,y)在曲线C上连续,根据曲线C的弧长l的微分 d=√x(n)2+[y()2+z()2 再根据∫(x,y,z)在曲线C上的第一类曲线积分的定义,即得 JAex, ys 2dl = 对于第一类平面曲线积分,如果积分路径C以参数方程给出,也有与 空间曲线积分类似的结果;如果积分路径C的方程为y=y(x) x∈gb则函数f(x,y)在曲线C上的第一类曲线积分可化为下面的定 积分,即Jf(xy)=./(xy(x)+b(x)h 如果曲线C的方程为参数方程 t∈,B≥a,则 第五章向量场的微积分

第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 4 空间曲线积分的几何意义：当上式中的 f (x, y,z) =1 时，   C 1 dl 表示 曲线 C 的长度。 平面曲线  C f (x, y)dl 的几何意义：表示由曲线 C 形成的柱面之面积。 第一类曲线积分也有与定积分类似的性质，我们不再一一列出，这里 只指出与路径有关的两条性质。 (1) 函数 f (x, y,z) 在曲线  AB 和  BA 上的第一类曲线积分相等，即    =  AB BA f (x, y,z)dl f (x, y,z)dl 此性质表示第一类曲线积分与积分路径的走向无关。 (2) 如果曲线 C 由曲线 C1 与 C2 组成，则    = + 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) C C C f x y z dl f x y z dl f x y z dl 这些性质对第一类平面曲线积分也都成立。 2) 第一类曲线积分的计算及其应用 设曲线 C(即  AB )的参数方程为        = =  = ( ), ( ), t , ( ), z z t y y t x x t   又设函数 f (x, y,z) 在曲线 C 上连续，根据曲线 C 的弧长 l 的微分 dl x t y t z t dt 2 2 2 = [ ( )] +[ ( )] +[ ( )] ， 再根据 f (x, y,z) 在曲线 C 上的第一类曲线积分的定义，即得 f x y z dl f x t y t z t x t y t z t dt C 2 2 2 ( , , ) = ( ( ), ( ), ( )) [ ( )] +[ ( )] +[ ( )]     对于第一类平面曲线积分，如果积分路径 C 以参数方程给出，也有与 空间曲线积分类似的结果；如果积分路径 C 的方程为 y = y(x) , xa,b ，则函数 f (x, y) 在曲线 C 上的第一类曲线积分可化为下面的定 积分，即 f x y dl f x y x y x dx a b C 2 ( , ) = ( , ( )) 1+[ ( )]   如果曲线 C 的方程为参数方程 ( ) ( )         = = ,t , , y y t x x t , 则

第五章向量场的微积分 Js(x, y)d=r(r(, y(VIr(+[x(vdr 例一,计算∫yld,其中C是单位圆的右半圆周,即 x2+y2=R2,(x≥0)。 解由曲线C的方程x2+y2=R2,得 y d=√+bp(x)r 于是[yd=「yld+「ydn R dx+lly -dx=2R 另一种解法:半圆周C的参数方程为 ∫x=Rcos y = Rsin e 于是d=V(Rsn0)+(Rcos2dO=Rd yd=CKmk⊥,2R(-m02M+,F如m COs 2R 例2计算「xyul,其中C是封闭路径OABO B xydl=xyd +xydl+xydl 其中xyzl=|0·ydl=0 xy ydy 此时dl=dy); X=x x.x v1+(2x)dx (C 第五章向量场的微积分

第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 5 f x y dl f x t y t x y yx y dt C 2 2 ( , ) = ( ( ), ( )) [ ( )] +[ ( )]     例一，计算  C | y | dl ，其中 C 是单位圆的右半圆周，即 x y R 2 2 2 + = , (x  0)。 解 由曲线 C 的方程 x y R 2 2 2 + = , 得 y x = − x y ，故   dx y R dx y x y dl y x dx | | 1 ( ) 2 2 2 2 = + = +  = , 于是      = + B A C B A y dl y dl y dl 1 2 | | | | | | dx = 2R | y | R dx + | y | | y | R = | y | R 0 2 R 0  另一种解法：半圆周 C 的参数方程为           = = 2 , 2 - sin , cos ,      y R x R ， 于是 dl = (R  ) + R  d = Rd 2 2 sin ( cos ) 2 / 2 0 0 2 / 2 2 0 / 2 0 / 2 2 2 / 2 / 2 cos cos 2 | | sin ( sin ) sin R R R y dl R Rd R d R d C = − = = = − + −  − − −               例 2 计算  C xydl ，其中 C 是封闭路径 OABO。 解     = + + C OA AB BO xydl xydl xydl xydl  ， 其中 0 0;   =  = OA OA xydl y dl 2 1 1 1 0 =  =   xydl ydy AB (此时 dl = dy )； xydl x x x dx BO 2 1 0 2 =  1+ (2 )    ( C :    = = 2 y x x x ) y B y=x2 0 A x