第五章不定积分 第五章不定积分 CThe indefinite integration 第十三讲积分方法及“可积”函数类 课后作业: 阅读:第五章56:pp.143-149;5.7:pp.151-155 预习:第六章61:pp.158-159;6.2:pp.159-166 练习pp.137-132:习题56:1,2,3,4,5中的单号题 作业pp137-132:习题56:1,2,3,4,5中的双号题 pp155-157:习题5.7:2;5;7;11:14;16;22;24;25;29; 41:45;49;53;56;58:;63 56有理函数的积分 5-6-1最简分式的积分 设P(x,Q(x)为多项式则分式Px) 称为有理式任意有理式 都都能表示成最简分式和,所谓最简分式是: (a≠0);(2) (a≠0,n>1) Ax+ B (b2-4ac<0); ax+ bx+c Ax+B (b2-4ac<0,n>0) +bx 这些函数的不定积分总有有限形式。 例9形如∫ 的积分 x+ax+b (1)如果a2>4b,则x2+ax+b有两个相异实根p,q,这时 d x'+ax+b.x-p +Bhnlx-g+c (2)如果a2=4b,则x2+ax+b有重根P,这时 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 第五章 不定积分 (The indefinite integration ) 第十三讲 积分方法及“可积”函数类 课后作业： 阅读：第五章 5.6: pp. 143---149; 5.7:pp.151--155 预习：第六章 6.1: pp. 158---159; 6.2: pp.159--166 练习 pp.137---132: 习题 5.6: 1, 2, 3, 4, 5 中的单号题. 作业 pp.137---132: 习题 5.6: 1, 2, 3, 4, 5 中的双号题. pp.155---157: 习题 5.7: 2; 5; 7; 11; 14; 16; 22; 24; 25; 29; 35; 41; 45; 49; 53; 56; 58; 63.. 5-6 有理函数的积分 5-6-1 最简分式的积分 设 P(x),Q(x) 为多项式,则分式 ( ) ( ) Q x P x 称为有理式. 任意有理式 都都能表示成最简分式和，所谓最简分式是： (1) ( 0) + a ax b A ; (2) ( ) ( 0, 1) + a n ax b A n ; (3) ( 4 0) 2 2 − + + + b ac ax bx c Ax B ; (4) ( ) ( 4 0, 0) 2 2 − + + + b ac n ax bx c Ax B n . 这些函数的不定积分总有有限形式。 例 9. :形如 x + ax + b dx 2 的积分 (1) 如果 a 4b 2 ,则 x + ax + b 2 有两个相异实根 p,q ,这时 x + ax + b dx 2 − + − = dx x q B dx x p A = Aln x − p + Bln x − q + c (2) 如果 a 4b 2 = ,则 x + ax + b 2 有重根 p ,这时
第五章不定积分 x+ax+b(x-p)2(x-p) (3)如果a2<4b,则x2+ax+b没有实根此时 d(x+ p)x x +ax b(x+p)2+q2(x+p)2+q d(x+p)x Arctan xt p+c 例10:形如 Ax+ B dx的积分(A≠0),首先将积分改写成 x +ax+b 2B 2x+a 2Jxi+ax+b x2tax tb Jdx 其中第一个积分为 x+a dx=h(x+ax+b) x+ax+b 第二个积分 (-a)∫ x+ax+ 例12形如十4x+的积分首先将积分改写成 +Ax+B x+ax+6(a-a)x+(B-b x+ax+b x+ax+b x+ax+b (A-a)x+(B-b) b 其中第二个积分可以用可以按照前例说明的方法求解 例13求 5+4x+x2 x+2 dx=[ 5+4x+x 5+4x+x25+4x+x 1d5+4x+x)-2(x+2) 1+(x+2) In(x+4x+5)-2 arctan( x+2)+c 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 x + ax + b dx 2 − = 2 (x p) dx = ( ) c x p + − −1 (3) 如果 a 4b 2 ,则 x + ax + b 2 没有实根,此时 x + ax + b dx 2 + + + = + + = 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x p q d x p x x p q dx = c q x p x p q q d x p x + + = + + + arctan 1 ( ) ( ) 2 2 例 10: 形如 + + + dx x ax b Ax B 2 的积分( A 0 ),首先将积分改写成 + + − + + + + dx x ax b a A B x ax b A x a ] 2 2 [ 2 2 2 其中第一个积分为 ln( ) 2 2 2 dx x ax b x ax b x a = + + + + + 第二个积分 + + − x ax b dx a A B 2 ) 2 ( 例 12: 形如 + + + + dx x ax b x Ax B 2 2 的积分,首先将积分改写成 + + + + dx x ax b x Ax B 2 2 = + + − + − + + + + + dx x ax b A a x B b x ax b x ax b ] ( ) ( ) [ 2 2 2 + + − + − = + dx x ax b A a x B b ] ( ) ( ) [1 2 其中第二个积分可以用可以按照前例说明的方法求解. 例 13:求 + + dx x x x 2 5 4 解: + + dx x x x 2 5 4 dx x x x x x + + − + + + = ] 5 4 2 5 4 2 [ 2 2 + + + − + + + + = 2 2 2 1 ( 2) ( 2) 2 5 4 (5 4 ) 2 1 x d x x x d x x = ln( x + 4x + 5) − 2arctan( x + 2) + c 2 1 2
第五章不定积分 d x 例14:求∫ (x+ d(xo) +1)2x1(x20+1) 于x 10(x"(x0+1)(x0+1)2 =+ +c 10x10+1x10+1 5-6-2有理函数的积分 般有理分式P(x)的积分做法是:先用代数方法将P(x)化成最 简分式之和,再运用己有公式求之。从这里可知 有理分式函数总有有限形式的原函数,而且其原函数只可能包括以下 三类函数:有理分式函数,对数函数,反正切函数 例14:求 解1+1区+2+x3+2-x3+) Dx+e √3 通分后比较分子,得恒等式: 14(x+-x2+1)+(Bx+cx2+1)x2-x3+ +(Dx+E +xy3+ 比较的同等幂系数,得五个关于系数的线性方程,解之而得: A=C=E 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 例 14: 求 + 10 2 x(x 1) dx 解: + 10 2 x(x 1) dx = ( ) + = + 10 10 2 10 10 10 2 9 10 ( 1) 1 ( 1) x x d x x x x dx = ( ) ( ) + − + = + + − 10 10 10 10 2 10 10 10 2 10 10 ( 1) 1 ( 1) 1 10 1 ( 1) ( 1) 10 1 d x x x x d x x x x x = ( ) + − + + − 10 10 10 10 2 10 10 ( 1) 1 ( 1) 1 10 1 d x x x x x x = ( ) + − + − 10 10 10 10 2 ( 1) 1 1 1 1 10 1 d x x x x = c x x x x + + + + ) 1 1 (ln 10 1 10 10 10 10 5-6-2 有理函数的积分 一般有理分式 ( ) ( ) Q x P x 的积分做法是：先用代数方法将 ( ) ( ) Q x P x 化成最 简分式之和，再运用己有公式求之。从这里可知： 有理分式函数总有有限形式的原函数，而且其原函数只可能包括以下 三类函数：有理分式函数，对数函数，反正切函数。 例 14: 求 +1 6 x dx 解 1: ( 1)( 3 1)( 3 1) 1 1 1 6 2 2 2 + + + − + = x + x x x x x = = 1 3 1 3 1 2 2 2 − + + + + + + + + x x Dx E x x Bx C x A . 通分后比较分子，得恒等式： 1 ( − +1)+ ( + )( +1)( − 3 +1)+ 4 2 2 2 A x x Bx C x x x ( )( 1)( 3 1) 2 2 + Dx + E x + x + x + ; 比较的同等幂系数，得五个关于系数的线性方程，解之而得： 6 3 , 3 1 A = C = E = B = −D = ;
第五章不定积分 x+ 1√3x+2 2x+3+1/2 6x2+x3+162x2+x√3+1 6 3+162 --arctg x+-arct in 43x2-x√3 解2:d=1rx+1--=1rx+1-1x-d 3+于g=) =arct x+arct(x)+ 4√3"x2-x3 其中: (2-1)(-x2k_d(x+ x4-x2+1Jx2-1+x2 # 2√3|x+x-+√3 2√31x+x√3+1e +c=-In 解3: d x 1(2-2k +1 1o1(2+1)+(2-)a+1(2+1)-(x2-h wg-址 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 3 1 3 1 6 3 3 1 3 1 6 3 1 3 1 1 1 6 2 2 2 − + − + + + + + + + = + x x x x x x x x . ( ) 3 1 2 3 1 2 2 3 6 1 3 1 3 2 6 1 2 2 + + + + = + + + x x x x x x ; ( ) ( ) 3 1 2 3 1 2 2 3 6 1 3 1 3 2 6 1 2 2 − + − − − = − + − − x x x x x x ; +1 6 x dx = ( ) c x x x x arctg x arctg x + − + + + + + 3 1 3 1 ln 4 3 1 6 1 2 1 2 2 3 ; 解 2: +1 6 x dx = ( ) + − − + + = + + − − dx x x dx x x dx x x x 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 6 4 6 4 6 4 4 = ( ) ( )( ) + + − − + + − + dx x x x dx x x x x 1 1 1 2 1 1 1 2 1 6 2 2 6 2 4 2 = ( ) − + − − + + + 1 1 2 1 1 1 4 2 2 6 2 2 x x x dx x dx x x dx = = ( ) c x x x x arctg x arctg x + − + + + + + 3 1 3 1 ln 4 3 1 6 1 2 1 2 2 3 . 其中： ( ) ( ) ( ) ( ) + − + = − + − = − + − − − − − 1 3 1 1 1 2 1 1 2 2 2 4 2 2 x x d x x x x x dx x x x dx = c x x x x + + + + − − − 3 3 ln 2 3 1 1 1 = c x x x x + + + − + 3 1 3 1 ln 2 3 1 2 2 解 3: ( ) 1 2 3 1 1 3 1 1 1 4 2 2 6 2 − + − − + = + x x x x x +1 6 x dx = ( ) − + − − + 1 2 3 1 3 1 1 4 2 2 2 x x x dx x dx = = ( ) ( ) ( ) ( ) − + + − − + − + + + − − dx x x x x dx x x x x arctgx 1 1 1 3 1 1 1 1 6 1 3 1 4 2 2 2 4 2 2 2 = ( ) ( ) − + − − − + + + 1 1 2 1 1 1 6 1 3 1 4 2 2 4 2 2 x x x dx x x x dx arctgx
第五章不定积分 3 rcgx6cgx43x2-x3+1c 其中 (x2+1)(+x2)k_d(x=x2) arctglx-x)+c=arct/t2-1 <+ 1 X Log g 1 Log 1 Log x 2-72 Cos Log 1 2 x cos Log 1 x 2 x Cos 72747474 COs og 1 x 2 x Cos ArcTan x COS CsC Sin Arctan x Cos CSC Sin 7 7 7 Arctan x COS CsC Sin- 7 57其他可积成有限形式的函数类 5-7-1三角有理式的积分 由snx和cosx经有限次四则运算得到的函数,记作 R( (sin x, cosx)称为三角有理式,三角有理函数的积分 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 = c x x x x x x arctgx arctg + − + + + + − + 3 1 3 1 ln 4 3 1 1 6 1 3 1 2 2 2 其中： ( ) ( ) ( ) ( ) − + − = − + + = − + + − − − − 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 4 2 2 x x d x x x x x dx x x x dx = arc tg(x − x )+ c −1 = c x x arc tg + −1 2 ⚫ 1 x x 7 x 8 x 1 x7 x x Log x 2 7 Log 1 x 7 ⚫ 1 x x 7 x 8 x 1 x7 x x 2 7 Log 1 x Log x 2 7 Cos 7 Log 1 x 2 2 x Cos 7 2 7 Cos 3 7 Log 1 x 2 2 x Cos 3 7 2 7 Cos 5 7 Log 1 x 2 2 x Cos 5 7 4 7 ArcTan x Cos 7 Csc 7 Sin 7 4 7 ArcTan x Cos 3 7 Csc 3 7 Sin 3 7 4 7 ArcTan x Cos 5 7 Csc 5 7 Sin 5 7 5-7 其他可积成有限形式的函数类 5-7-1 三角有理式的积分 由 sin x 和cos x 经有限次四则运算得到的函数, 记作 R(sin x, cos x) 称为三角有理式, 三角有理函数的积分