华南理工大学电子与信息学院：《数字信号与处理》第三章 变换域中的离散时间信号

第三章|变换域中的离散时间信号 3、X(e)为o连生续函数,且为周期函数,周期为2z 证明 x(e/(a+2zk) ∑x小]e +2丌k)n ∑x[小 j@n-j2Thn n=-0 ∑xl]emn n=-00 数字信号处理精品课程

3 2 ( ) j X e  、 为  的连续函数，且为周期函数，周期为 ( ) ( ) 1 j k 2 X e   + 证明：   j k n ( 1 2 ) n x n e    − + =− =    j n1 j kn 2 n x n e e    − − =− =    1 j n n x n e   − =− =  ( ) 1 j X e  =

第三章|变换域中的离散时间信号 傅立叶反变换( Inverse discrete- Time fourier transform, IDTET) xIn AleJe onde 2丌 证明 do 丌 ∑ o(n-) n=-∞0 2丌 o(n-) ,o(n-) ∑x 2z(f(n-)f(m-) ∑x Sln丌(n ∑x[δ[n-]=x n=-00 丌(n n=-00 nT(n- 其中 SI 丌(n 0n≠l 数字信号处理精品课程

  ( ) 1 2 j j n x n X e e d       − =  x n  证明：     ( )   ( ) ( ) ( ) ( )   ( ) ( )       ( ) ( )   1 2 1 2 1 2 sin sin 1 0 j l j n n j n l n j n l j n l n n n x l e e d x l e d e e x l j n l j n l n l x l x l n l x n n l n l n l n l n l n l                          − − =−  − − =−  − − =− = =−   =− =−   =       =       =  −   − −   − = = − = − −  = = = −  −          其中， 傅立叶反变换（Inverse Discrete-Time FourierTransform,IDTFT）：

第三章|变换域中的离散时间信号 312收敛条件( convergence 如果xm]的DTFT在种意义上收敛,则称xm的傅立叶变换存在 致收敛( uniform convergence) 令Hk )=∑小/m,一致收敛的定义为 K lim aleJo -XxleJo=0 K. 如果∑小<,则Xk)致收敛,即再的DF存在 n=-00 ∑}-s∑ xIn< oo n=-00 n=-00 数字信号处理精品课程

⚫ 3.1.2 收敛条件（convergence) 如果x[n]的DTFT在种意义上收敛，则称x[n]的傅立叶变换存在 ( )   ( ) ( )   ( )   ( ) =          − = =      =−  =− −  =− → =− − n n j j n j K n j K j K K n K j j n K X e x n e x n x n X e x n DTFT X e X e X e x n e uniform convergence        如果 ，则 一致收敛，即 的 存在 令 ，一致收敛的定义为 、一致收敛（ ） lim 0 1

第三章|变换域中的离散时间信号 2、均方收敛(mean- sguare convergence) (绝对可加序列具有有限能量,但有限能量序列不一定绝对可加) Jo X O K do=0 K 丌 例:理想低通滤波器 10<l≤o O LP 00≤o≤ O Jocn - Jocn sInon LP <丌<0 2丌 2丌 p四能量为,但不绝对可加 ∑=2mo=-j ao n=-00 数字信号处理精品课程

( ) ( ) ( )     （   ( ) ） 能量为 ，但不绝对可加 例：理想低通滤波器 （绝对可加序列具有有限能量，但有限能量序列不一定绝对可加） 、均方收敛（ ）      − −  =− − − → − = = = = −             = = −         = − = −                                    j c LP n LP c LP c j n j n j n LP c c j LP j K j K c c c c c c h n H e d d h n n n jn e jn e h n e d H e X e X e d mean square convergence 2 1 2 1 sin 2 1 2 1 0 1 0 lim 0 2 2 2 2

第三章|变换域中的离散时间信号 非绝对可加或均方可加信号的DTFT 阶跃序列:uz] 1n≥0 0n<0 正弦序列:x=Acos(an+g) 指数序列:x小=Aan 常用DTF对 DTFT DTFT 2n6(+2mk DTFT +>dlo+2k eJoo←D1FT 2IS0-0n+2k k=-∞ DTFT a u ae Jo 数字信号处理精品课程

    ( )   n x n A x n A n n n u n DTFT    = = +      = 指数序列： 正弦序列： 阶跃序列： 、非绝对可加或均方可加信号的 0 cos 0 0 1 0 3   ( )   ( ) ( )   ( )                  j n DTFT k j n DTFT k j DTFT k DTFT DTFT e u n e k k e u n k n DTFT −  =−  =− −  =− −  ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ − + + + − ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ + ⎯ ⎯→    1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 0 0 ， 常用 对