随机-模糊线性回归模型的参数估计及应用

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2001.03.026 第26卷第3期 北京科技大学学报 Vol.26 No.3 2004年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2004 随机-模糊线性回归模型的参数估计及应用 张志刚”王鹏”李安贵”蔡美峰)张红英》 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 3)山东省莒南石泉湖水库，山东276600 摘要导出了随机-模糊线性回归模型参数的估计量，证明了参数的估计量为无偏估计，同 时推导了参数估计量数字特征和回归方程相关系数的计算公式.将该模型应用于岩石样本 抗剪强度实验数据处理中，通过与传统的随机一元线性回归对比分析，表明使用该方法得到 的力学参数更具代表性， 关键词随机-模糊线性回归模型：参数估计：数字特征 分类号0159：0212.1：TU45 随机-模糊线性模型是描述既有随机不确定 需求J=∑R(Y)的极大值， 性，也有模糊不确定性的量之间关系的一类方 程，其应用较为广泛川.为简单记，仅讨论一元线 1a,B的模糊点估计 性情形，设随机-模糊一元线性回归模型为： 定理1设J=∑R(Y),则a,B的模糊点估计为 Y=a+bx+e 其中，x为可控变量：ε是误差项，为随机一模糊 2RY,x-xXY.-T） R(Y,)x,-x)2 变量，且设E(e)=O,D(e)=d.记Y对x的回归直线 方程为Y=a+x. a=卫。-m 设有n组样本值y对应于，飞， ∑R(Y,)x yh…y 其中，卫= ,= ∑R(Y) ∑RY) …,x的n个值h,h,…y,可看成Y,Y,…,Y,的 实验值.一般线性模型中，eN0,G),且&，和e,互 证明：求J=RY)=expl-(K-a-xr1w,对 不相关，Y~N(a+x,G),Y与Y,(i+j》也互不相关. 众，B的一阶偏导数，并令 给定论域U={YY=a+Bx,i=1,2,,n,而R 为U上的一个模糊集，它联系着一个模糊概念， ex-(Y.-a-pxYojxr.-8-Axx-0 隶属度R(Y)表示Y,隶属于该模糊概念的程度. 2-三exp-(化-a-Bx.o.l2x(y-a-axo,0 问题是如何根据实验值，求出Y对x的经验回 整理得 归直线方程了=a+x,且使得R(Y)最大.R的隶属 aER(Y.)+BER(Y.),=ER(Y.)Y. (1a) 函数可一般定义为R(Y)=-(Y,-立]，其中f可 导，且1imf八u)=1,limw)=0.特别地，定义RY)= aR(Y.)+BR(Y.)i=R(Y.)x.Y. (1b) exp[-(Y.-}ol,式中，w,为权重.考虑到数据匹 R(Y)Y. 由(1a)式有a= R(Y.) 2 配，一般可取o,=常数d一d而dm,d分别 2RY,) ∑R(Y,) 是d=(Y.-(=1,2,…,n)中最大、最小值.易 RY)Y 见，Y与，越接近，R(Y)的值就越接近于1，表明 记7。=4 无= 、,则有a-卫。-低. ∑R(Y) ΣR(Y Y隶属于该模糊概念的程度就越高.于是为使 再由(1b)式有 Y,Y,,Yn的总体水平隶属于R的程度较高，则 2=二Yx,Y-三R(Yx,三R(Yx-xY-了 收稿日期2003-09-12张志刚男，41岁，副教授 ∑R(Y)-xΣRYx ∑R(Yx,-xP +国家“十五”科技攻关计划课题(No.2001BA609A-08)

第 2 6 卷 第 3 期 2 0 0 4 年 6 月 北 京 科 技 大 学 学 报 JO u r n a l o f U n i v e r si yt o f S e i e n c e a n d eT c h n o l o yg B e ij i n g 认) 1 . 2 6 N o . 3 J U n . 2 0 0 4 随机一模糊线性 回归模型 的参数估计及应用 张 志 刚 ` , 王 鹏 2 , 李安贵 ” 蔡 美峰 ” 张 红英 ” l) 北京 科技 大学 应 用科 学学 院 , 北 京 10 0 0 8 3 2 )北 京科技 大学 土 木与 环境 工 程学 院 , 北京 10 0 0 83 3 ) 山东 省营 南石 泉湖水 库 , 山 东 2 7 66 0 0 摘 要 导 出了随机一 模糊 线性 回归 模型 参数 的估 计量 , 证 明了参数 的估 计量 为无 偏估 计 , 同 时推 导了参 数估 计量 数字特 征和 回 归方程 相关 系数 的计 算公 式 . 将 该模 型应 用于 岩石 样本 抗 剪强度 实验 数据 处理 中 , 通 过与 传统 的随机 一 元 线性 回归 对 比 分析 , 表 明使 用该 方法 得到 的力学参 数 更具代 表性 . 关 键词 随机 一模糊 线性 回 归模 型 : 参数 估计 ; 数字 特征 分 类号 0 1 5 9 ; 0 2 12 . 1 ; T U 4 5 随机一 模糊 线性 模型 是 描述 既 有 随 机不 确 定 性 , 也 有模 糊 不 确定 性 的量之 间关 系 的 一类 方 程 , 其 应用 较 为广 泛川 . 为简单 记 , 仅讨 论 一元 线 性 情 形 . 设 随机 一 模 糊 一元 线性 回 归模 型 为 : Y 二 a + bx 枯 其 中 , x 为 可控 变量 ; 。 是 误差 项 , 为随 机 一 模 糊 变 量 , 且 设(E 日二 O , D (日= 护 . 记 Y对 x 的 回归直 线 方程 为 Y = a 明 x ) . 需求 J = 艺(R X ) 的极 大值 . l a, 刀的模 糊 点估 计 定理 1 设 J = 艺 (R艺 ) , 则 a 渭 的模 糊 点估 计为 { : 艺R ( X )(x `一瓦 )(艺一 又 ) R (艺) (x `一瓦) 2 = 凡 一床 。 设 有。 组 样 本 值 { x l ` 2 沙 l 少2 ` ” 尤· … , Y 对 应 于 x l , 从 , … , x 。 的 n 个 值 y ; , y Z , … , y’n , 可看 成 艺 , 其 , … , 凡 的 实验 值 一般 线性 模 型 中 , 。产刃《O , 厉) , 且 ￡` 和 局互 不相 关 , X ~ 目 N( a 刁 -xP , 耐) , X 与 耳i( 对) 也互 不 相关 . 给 定论 域 U = { X IX = a 十尽不,, i = l , 2 , … , n } , 而R 为 U 上 的一 个模 糊集 , 它联 系着 一 个 模糊 概 念 , 隶属度尽Z ) 表示 x 隶属 于 该模 糊 概念 的程 度 . 问题 是如 何根 据 实验值 , 求 出了对x 的经 验 回 归直线 方程 争一 a+xj , 且使 得(R 艺) 最 大 . R 的 隶属 函 数可 一 般 定 义 为娜艺) 一刀一 (艺一 全州 , 其 中f 可 导 , 且 h m f( u ) = 1 , h m f( u) = 0 . 特 别地 , “ ~ O “ ~ 十匡 定义 (R 艺卜 ~ ex p 卜 (艺一 玄) 2 。 月 , 式 中 , 。 为权 重 . 考虑 到数 据 匹 , , ` 。 _ ~ ~ 、 。 , 2 _ 、 _ , 配 , 一般 可 取 。 , 二 常 数 = 万 上丁- , 而dm a x , dm 二 ’ 认 ’ J 分 别 ~ 一 ` ’ ` J 纸 dm ax 一 dm l。 ” , u “ m a x ’ “ m m “ J jJ ,J 是 减一 ( x 一 戈)(z 卜 1 , 2 , … , 。 ) 中最大 、 最 小 值 . 易 见 , Z 与 X 越 接 近 , (R X ) 的值 就 越 接近 于 1 , 表 明 X 隶属 于 该 模 糊 概 念 的程 度 就 越 高 . 于 是 为使 鱿 , 姚 , … , 乙 的总体 水平 隶 属于 R 的程 度较 高 , 则 收稿 日期 2 0 03 刁9 一 12 张志 刚 男 , 41 岁 , 副教授 * 国家 “ 十五 ” 科技 攻关 计划课 题 ( N o Z O0l B A 6 09 A 一 0 8) 艺R ( X ) 艺 其 中 , 又 = 一 ,元 艺R (鱿) 艺R (艺)x 『= 1~ 艺R ( X ) 证 明 : 求 J 一 鲁少 , 一 誉xe p「一 (卜“ 一沁〕。 `对 a , 户的一阶 偏 导数 , 并令 刁J a a 一 全 e x P[ 一 ( x 一 a 一压矛。 2t] ( x 一 a 一压〕。 二 o 器 一 gex p卜`x 一 a 一沁 2。 月2x 您 一 “ 一彻 切 ,一0 整 理 得 a 艺R ( X )切艺R (艺X) = 艺R ( X )艺 户 1 、 J二 1 、 户 1~ a 艺R ( X )x 胡艺R ( 艺)对二 艺R (X )x X ( l a ) ( l b ) 艺R ( X ) X 由 ( l a ) 式 有友= 一 _ 户 1、 n 。 手尽X )x, 卢井卜一一 ~ 艺 R (鱿 ) 艺 R (艺) 记 乙 = 艺 R ( X ) Z 全天 ( x ) 艺 R (鱿x) 厂 l~ 全尺 ( x ) , 则有 a 一 又 一风 . 再 由 ( l b) 式有 艺R ( X )x X 一 又 艺R ( X )x 艺R ( X )(x , 一无 。 )(艺一 虱 ) _ 行 1 、 行 t 、 _ 厂 1~ 艺R (艺斌一无 。 艺R (X x) 艺R (鱿)x( 一无 。 ) 2 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2004. 03. 026

Vol.26 No.3 张志刚等：随机一模糊线性回归模型的参数估计及应用 327· 2a,B的数学期望 R(Y)0 …0 Y 0 R(Y2)…0 引理B=三kY, W- R(Y,)(x,) 1x 其中 k=- ,i=1,2,,n. 0 0 …R(Y) R(Y,)x-元 a 1 ZR(Y.)(x.-x.)(Y.-Y.) B日则随机-模糊一元线性回归参数向量b的 证明：= 估计量是 2R(YXx,-元} B=(XWX)XWY=AY. ER(Y.)(x.-x)Y. ∑RY)x- 其中，A=(XX)XW.进而可求得b的方差-协 -T= ∑R(Y)x,-xP ∑R(Y)x-x 方差矩阵为： (b)=[(X'WX)-X'W)]=A0()A'. ΣR(Y,)x- -Y-0r. b的估计方差-协方差矩阵为 ∑RY(x-x S(B)=(XWX)XWWX(XWX)M. 记k= R(Y)(x,) RYx- i=1,2,%,则有B=张X. R(Y)Y,-Y. 式中，M=曰 n-2 一.于是， 定理2E=B,E(a)=a. SB)=(XWX)XWWX(XWXM- 证明：E)=E(EkY,)=kE(Y,)=∑k(a+Bx,)= R(Y -(Y(Y) ER(Y) a∑k+B∑kx,=a∑ R(Y.)(x,-) -R(Y)SR(Y) 三R(YxR(Yd ∑R(Y)(x-xP ER(Y.) -一R(Y,)x, 吃-k三RXX-元 M =8 =B -ΣR(Y,)x,∑R(Y) 三R)RXK-元 R(Y)x-.) 三Rg- c(a) oa,剑 ZR(Y.)x. Ea=ET。-)=E R(Y)Y. a(,B)(B) ΣR(Y) ∑R(Y) 式中，a,B的估计方差和协方差分别为： a) R(Y) ΣR(Y)x E(B)=a. [g 三RY) ΣR(Y) 三R(Yx 2(a)= 由此可见，a,B均为a,B的无偏估计. 三RY)2RYx-xP 2= 2R(Y,x-' 3aB的方差和协方差 =1 M ΣR(Y,)x-xP 实际上，还可以建立用矩阵表示的随机-模 a(B)--R(Y)(Y)R(Y.((Y.)x 糊一元线性回归模型，从而求得众，B的数学期 望、方差和协方差.对于常数矩阵A(它的元素均 三RYx+三RYx三R(x2R) M 为常数)左乘随机向量Y而得到的随机向量W= R(Y)E(Y)R(Y) 三R(Y)2R(Y-xP AY.对这种情况，有如下基本定理. 定理：E(A)=A,E(H)=E(A)=AE(), 4 a,B标准差、变异系数及方程的 2(=o(A)=A[)]A'. 其中，0()是Y的方差一协方差矩阵，即 相关系数 oy)oy,y)…0m,y a的标准差、变异系数分别为： ()= o2,y))…o0yyd ay商，Ca-2 ayny）oymh)…dy） B的标准差、变异系数分别为： 随机-模糊一元线性回归的正规方程(1)可以 表示为矩阵方程XWXb=XWY.其中， m-v0.c喻-9

Vb l . 2 6 N o . 3 张志 刚等 : 随机 一 模 糊 线性 回 归 模型 的参 数估 计及 应用 . 32 7 · Z a ,户的数 学期 望 R ( lY ) 0 O R ( K ) 一 引理 刀= 艺弋 X , 其 中 无 2 n = R ( X ) (x ` 一瓦) Z (R Z )(x, 一 几 ) 2 {“ 1 1 { 艺 1 1 1 及 l _ _ l姚 l X 一 1 : : { ’ ` 一 } } ’ 砰 - Ll x , ) LnY J 0 0 … R (式) 艺(R 艺)(x 一 瓦)( 艺一 又 ) 证 明 : 刀- 一_ 艺R (艺)(x `一 瓦) 2 艺R (艺)(x `一 几) X 艺R ( 艺)(x `一 瓦) 上竺 . — - 一 导竺一一一 一 一 -又 二 艺R ( 艺)(x `一 元) 2 艺R ( X ) (x, 一瓦 ) 2 艺 R ( X ) x( ,一 瓦) 艺R ( Z )X( 厂瓦) , X 一 0凡 . R ( X )(x ,一 瓦) 记 无= — , i 二 l , 2 , … , 执 艺R ( 艺)X( ,一 牙 。 ) , 贝。有户 一 全凡 z ” 一 卧 。随机一 模 糊 一元 线 性 回 归参 数 向量 , 的 估计 量 是 b = X( ,环哟 一 ’ X 护环T = A .Y 其 中 , A 一 X( , 环火) -lx ’ 砰 . 进 而 可求 得名的方 差一协 方差 矩 阵 为 : 扩b( ) = 护 [X( ,环哟 一 比 ,尸划= A 护(豹月 尸. b 的估 计 方差一 协方 差 矩 阵 为 s(z 句 一 (x f 环叉) 一 1尸脚喊X( ,环劫 一 , 〕.,M 全尺 (艺 ) (z 一 全) , 式 中 , M 一 翌下万一 . . 于 是 , X 、 . 定 理 J 2 证 明 : 动 一刀 , (E 句一 “ · s(z b) = X( , 仲豹 一 ’ X ,尸砰颐X( ,环火) 一 ’」叮= 动绍(氮 助一 氛 (E 助一氛(a +xP 〕- 艺R ( X讨 一 艺R ( X )x ` !… 艺R Z ( 鱿) 艺R Z ( 艺X) , 卜 1 斤 1 a 艺无甲艺凡戈 。 R (鱿)X( i一 无 。 ) = a 艺子二一一一一一斗 卜 , 艺R (万) x(, 一 无 。 ) , 一 艺R ( X )x ` 艺R ( X ) 艺R Z (艺X) ` 艺R Z 户 l ~ 厂 1~ ( X 树 斤 】 拐 1 艺R ( X树 一 艺R (艺)x 、 R( X )(x ,一 瓦)x, 艺 R( X )x( 厂几 ) 2 一 艺 R (艺x) , 艺R (艺) M 「全* ( ; )全* (: )x( `一 、 ) 2 { ’ - 、阳 厂 1 、 污 l ~ ! 户 少 ě厅 于 、 , 人a., 八 武护切 ~ ) < 诚形 问 户 1 刀 、了. 艺子` = 一 一二一节导兰一一一一 - 一 , 节 艺(R 助 (x, 一瓦 ) , 艺(R 助 (x, 一 几 ) , (E a ) 一 (E 虱 一爪 。 行 1~ 一 耳擎吧 - 挚兰叫 - } 馨尽( x ) 蓦尽(丫) ) 月 式 中 , a汤的估计 方 差 和协 方 差分 别 为 : 艺R (又)百(X ) 艺R ( 艺) 粤尽艺)x, _ 人 止十一一一百叨〕= a . 艺 R(艺 ) 由此 可 见 , 友清均 为 。 , 刀的无偏 估 计 . 3 衣 ,户的方 差 和 协方 差 实 际上 , 还 可 以建 立用 矩 阵 表示 的随机 一 模 糊 一 元 线 性 回 归 模 型 , 从 而 求 得 a汤的 数 学 期 望 、 方 差和协 方 差 . 对 于 常数 矩 阵 A ( 它 的元素 均 为常 数 ) 左 乘 随机 向量 Y 而得 到 的随 机 向量 邢= A Y . 对 这 种情 况 , 有 如 下基 本 定 理 . 定理 「2] j 叼 ) = A 万(川 = 百叼 豹二 A (E 豹 , 扩(川 = 扩( (A 均) = 月〔扩(的〕A ` . 其 中才(豹 是 Y的方 差一协 方 差矩 阵 , 即 。二 : 2 } 。 「粉( 、 讨 1z ! 艺双( X )x ` } }艺双叹X )l 丈 汁 二一 — 一 x , } } 」 l `一 ’ 一 }革尽(万)x’ ! l 丫(反) 一 一 牛, ; 卜 ~ 习牛` 下万一纽材 {蓦尽( x )丢吞(艺)x( `一 瓦 ) ` 」 艺R , ( X ) (x 厂无 。 . ) , 扩(价 二 熹井= 一一 ~ 一一 材 {蓦尽( K )x( `一 瓦 ) ’」 武a苏) - 一 艺R ( X斌艺R , ( X ) 艺R (X )x , + ( 艺R ( X )x ; ) 2 “ 污 l ~ 尸 1~ 户 1~ 斤 1 、 艺R Z (X ) x 汁艺R ( X讨艺R Z (艺)x ,艺R ( X ) 一 行 1、 斤 l ~ 汗 1 、 卜 1 ~ 二 _ , , , 、 二 、 , , , , 、 , 么 _ , 、 , 、 I M 乙 尽Ll x) 乙 参飞I ,拼乙 参L几 )l 了万一甲 , 二丁 , 一甲了一一 , 不 · J i菩尽( x )暮尽( x )x( `一瓦 ) ’ { 4 a汤标 准 差 、 变 异 系数 及 方 程 的 相 关 系数 少(豹二 o2 伽 , ) 脚 , ,必) … 抑 】,苏) 州扒 , yl ) 少协) … 州扒 , 外) L的` , 夕1 ) 试必 , 外 ) … 护(y 。 ) J 随机一模 糊一 元线 性 回归 的正 规方 程 ( l) 可 以 表示 为 矩 阵方 程X 仰天活= X 尸环T . 其 中 , a 的标 准 差 、 变 异 系数 分 别 为 : ` 入 一 一 、 、 沉衣) 口飞a ) = 、 / 乙r ` a 夕 。 七 、 气a ) = 一不万一 . a 方的标 准 差 、 变 异 系数 分别 为 : 、 角 一 肠 i裔玉。 `认 - ~ 口 V 户 1 V u V 沪 尹, 凶处 勺 v V J 尹 众 卢

·328· 北京科技大学学报 2004年第3期 x,和Y,之间的相关系数为： 中的C,f没有直接的线性关系，因此必须先将实 立RYY.-了-元） 验数据回归成直线a,=+k,再由其回归系数求 得C,f值.针对该岩组的实验数据进行了，o值 /RY,-xP·2RYY-卫y 的随机-模糊-一元线性回归，并与通常·元线性 当R(Y)=1,即实验值不具有模糊性时，有： 回归的计算结果进行了对比， ag-底方6Nr-z1 应用随机一-模糊一元线性回归方法求得回归 2x,-元} 方程为，=71.43+5.700，相应抗剪强度方程为 =14.96+otan44.57° Y.x. M∑x ,无。= 式中，Y。= n,0(a)= 应用通常一元线性回归方法求得回归方程 x,-x} 为0=72.12+5.86.相应抗剪强度方程为t= oa,=。-xM 2(Y-, 14.90+otan45.13°.图】为试样的实验数据的随机- n-2 模糊一元线性回归与通常一元线性回归的线性 Ex-元P ∑(x-无)2 相关性对比图. 可见，随机-模糊一元线性回归模型蜕变为随机 计算结果表明，随机-模糊一元线性回归计 一元线性回归模型. 算所得的，其方差和变异系数均小于随机一 元线性回归计算结果.从图1和表2可以看出，随 5算例 机一模糊一元线性回归方法得出的回归方程与实 岩石抗剪参数是随机一模糊变量”，因此可采 验点的整体符合程度较随机一元线性回归方程 用随机一模糊一元线性回归方法计算岩石抗剪参 要高，可见随机-模糊一元线性回归方法受突出 数，表1为某片麻岩岩组室内三轴实验的结果 点的影响较小，而通常的一元线性回归受突出点 由于三轴实验的实验数据(o.,0)与方程t=C+fo 的影响较大， 表1片麻岩岩组室内三轴压缩实验结果 Table 1 Triaxial compression test results of gneiss rock group 样本号】 2 3 4567 89101112 13 14 15 16 /MPa0.000.000.005.005.0010.0010.0010.0015.0015.0020.0020.0020.0030.0030.0040.00 /MPa66.0070.0087.09101.76110.51104.26121.83125.63143.77188.20187.90191.81220.75228.23235.13319.59 表2片麻岩岩组三轴实验回归系数的数字特征表 Table 2 Numerical characteristics of regression coefficients derived by using two methods 随机一元线性回归 随机模糊-一元线性回妈 G(cp)/MPa C.(ao) ) C.(k) ag)MPa C.(Go) 品k) C() 6.73 0.09 0.37 0.06 0.9738 4.32 0.06 0.24 0.04 0.9851 6结语 300 随机一模糊线性回归方法适用于随机一模糊 变量，优于通常一元线性回归分析.通过对回归 200 系数的不确定度及方程的相关系数公式的推导， 过 对回归系数的值波动性和回归方程相关性进行 100 随机回归方法 了计算和检验，进一步证实了该方法的有效性和 …随机一模糊法 可行性. 0 0 10 20 30 40 参考文献 侧向应力/MPa 1李胡生，魏国荣.用随机一模糊线性回归方法确定 图1片麻岩岩组，回归方程对比图 岩石抗剪参数[J].同济大学学报，1993,21(3)：421 Fig.1 Comparison of o-o,regression lines of gneiss rock 2约翰·内特，城廉·沃塞曼，迈克尔H·库特纳.应用 group 线性回归模型M.张勇，王国明，赵秀珍，译，北京：

一 3 2 8 - 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 0 4 年 第 3 期 x 和 X 之 间 的相 关 系数 为 : 艺R (艺)( X 一 又 )(x ; 一 瓦) 艺尺(X )伙 `一 瓦) 2 · 艺R ( X )( X 一 又 ) , 当R 〔X ) = l , 即 实验 值不 具 有模 糊 性 时 , 有 : - 一 。 。 互x(, 一风 )( x 一 又 ) 改 = 几 一烬 。 , 卢二 — 艺(x , 一瓦) 2 式 中 , 瓦 一 鲁 艺 鲁 x * 扩(a ) 滋对 厂 1 一八 仇丫 一无 Q皿f 一 I仇、 _ M 以 a ,P )= — , U 甲 )一 — , 艺(x ; 一 牙 。 ) 2 艺(x 厂瓦) 2 艺(x 一 又 。 ) 2 全( x 一 戈) , 藤 竺沐万 可 见 , 随机一 模 糊 一元 线性 回 归模 型 蜕变 为 随机 一 元线 性 回 归模 型`, 用 . 5 算 例 岩石 抗剪 参数 是 随机一模糊 变 量! , ’ , 因此可 采 用 随机一 模糊 一 元线性 回 归方法 计算 岩石 抗剪 参 数 . 表 1 为某 片麻 岩 岩 组室 内三 轴 实验 的结果 . 由于三轴 实 验 的实验 数据俩 ` , ia3 )与 方程 : = C+j 沙 中 的 C , f 没 有直 接 的线 性 关系 , 因此 必 须 先将 实 验数 据 回归成 直 线。 , 二 氏 + 协 , 再 由其 回 归系数 求 得 C , f 值 . 针 对 该岩 组 的实 验数 据进 行 了。 , , 仍 值 的 随机一 模 糊 一 元 线 性 回归 , 并 与 通常 一 元线 性 回 归的 计算 结果 进 行 了对 比 . 应 用 随机一 模 糊一 元 线性 回归 方法 求得 回 归 方 程 为 al = 71 . 43 + 5 . 70 a3 , 相 应 抗 剪 强 度 方 程 为 r = 1 4 . 9 6 + 员 a l l 4 4 5 7 o . 应 用 通 常 一 元 线性 回 归方 法 求 得 回 归 方程 为 al = 7 2 . 12 十.5 8 6 a3 . 相 应 抗 剪 强 度 方 程 为: = 1.4 9 0+ 员a n 4 5 . 13 o . 图 1 为试 样 的实验 数据 的 随机一 模 糊 一 元线 性 回归 与通 常 一 元 线性 回归 的线 性 相 关 性对 比 图 . 计 算结 果表 明 , 随机一模 糊 一元 线 性回 归计 算 所 得 的。 1 , 仍 其 方 差 和变 异 系 数 均 小 于 随机 一 元 线性 回 归计算 结果 . 从图 1 和表 2 可 以 看 出 , 随 机一模 糊一 元线 性回 归方 法得 出 的回归 方程 与实 验 点 的整 体 符 合程 度 较 随 机一 元 线 性 回 归方 程 要 高 , 可 见 随机一模 糊 一 元 线 性 回归 方法 受突 出 点的影 响较 小 , 而通 常 的一元 线性 回 归受突 出点 的影 响较 大 . 表 1 片麻岩 岩组 室 内三 轴 压缩 实验 结果 aT b l e l 竹i a x i a l e o m P r e s s i o n t e s t r e s u l t s o f g n e i s s r o c k g r o u P 样 本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 1 5 16 J , / M P a o 刀 0 0 . 0 0 0 . 0 0 5 . 0 0 5 . 0 0 10 . 0 0 10 . 0 0 1 0 . 0 0 1 5 . 0 0 15 . 0 0 2 0 . 0 0 2 0刀 0 2 0 刀 0 3 0 . 0 0 3 0 . 0 0 4 0 . 0 0 氏 / M P a 6 6 . 0 0 7 0 . 0 0 8 7 . 0 9 10 1 . 7 6 1 1 0 . 5 1 1 0 4 . 2 6 12 1 . 8 3 12 5 . 6 3 14 3 , 7 7 1 8 8 . 2 0 1 8 7 . 9 0 1 9 1 8 1 2 2 0 一 7 5 2 2 8 . 2 3 2 3 5 . 13 3 19 . 5 9 表 2 片麻 岩岩 组三 轴 实验 回 归系 数 的数字特 征表 aT b l e 2 N u m e r i c a l e h a r a e t e r i s it e s o f re g re s s i o n e o e m e i e n t s d e r iv e d b y u s i n g tw o m e t h o d s 一一一一 ~ 一一随机一 匆引鉴性巨以半— - 一 - 一一 — - — - - — 随机一模搁卜书毛线 性 回归 一 - 一 - — 一 叔a0 )M P a vC (氏) 0 . 0 9 叙k) 0 3 7 C (k) 0 . 0 6 ; 叙a0 )彻p a 叙k) 0 月 7 3 8 C ( a0 ) 0 . 0 6 vC ( k ) 0 . 0 4 一公- - 一 随机一模糊法 n曰0 0 乙, l 月芝d\处一 只道谊撰 侧 向应 力仍 / M P a 图 1 片麻岩 岩组 al ~as 回 归方程 对 比图 F i g . l C o m P a r i s o n o f 口 ,一 一口 3 r e g r e s s i o n ha e s o f g n e i s s or e k g功u P 6 结 语 随机一 模 糊线 性 回 归方法 适 用 于 随机一模 糊 变量 , 优 于通 常 一元 线性 回归 分析 . 通过 对 回 归 系数 的不 确定度 及 方程 的相 关 系数 公式 的推 导 , 对 回 归系 数 的值 波 动 性 和 回 归方 程 相 关性 进 行 了计 算和 检验 , 进 一步 证 实 了该方 法 的有效性 和 可行 性 . 参 考 文 献 I 李 胡生 , 魏 国荣 . 用 随机一模糊 线性 回 归方法确 定 岩 石抗 剪参 数 [J] . 同济 大学学报 , 1 9 93 , 2 1 (3) : 4 21 2 约 翰 · 内特 , 威 廉 · 沃 塞曼 , 迈克 尔 · H · 库特 纳 . 应 用 线性回 归 模 型 fM } . 张勇 , 王 国明 , 赵 秀珍 , 译 . 北 京 :

Vol.26 No.3 张志刚等：随机一模糊线性回归模型的参数估计及应用 ·329· 中国统计出版社，1990 北京：科学出版社，1978 3彭长清。误差与回归M.北京：兵器工业出版社，5李安贵，张志宏，段凤英.模糊数学及其应用M.北 1991 京：冶金工业出版社，1994 4穆德AM,格雷比尔FA.统计学导论[M史定华译 Regression Parameters Estimation of Random-Fuzzy Linear Regression Model and its Application ZHANG Zhigang",WANG Peng?,LI Angui,CAI Meifeng,ZHANG Hongying 1)Applied Science School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Civil and Environmenfal Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 3)Shiquanhu Reservoir,Ju'nan 276600,China ABSTRACT The regression parameters estimation exprssions of a random-fuzzy linear regression model are de- duced.It is proved that they are an unbiased estimator.The formulae for calculating the numerical characteristics of regression parameters estimation and the correlation coefficients of the regression equation are derived.Based on the experimental data of triaxial compression tests,the calculated results are more realistic and reasonable compared with the linear regression method. KEY WORDS random-fuzzy linear regression model;parameters estimation;numerical characteristic (上接第303页) Preparation of SiCp/Al Electronic Packaging Composite Preforms PING Yanlei,JIA Chengchang,OU Xuanhui,LI Zhigang Materials Science and Engineering School,University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT SiCp and binder were mixed together and SiCp preforms were prepared by warm pressing,thermal debinding and pre-sintering.The relations of the performances such as size variation,porosity and strength of the performs with process parameters were investigated.The microstructure of the performs was observed by SEM.The results show that SiCp preforms with suitable strength and porosity for preparing SiCp/Al composites can be obta- ined by controlling effectively the process parameters such as compaction,debinding and pre-sintering. KEY WORDS SiCp/Al composite;preform;porosity;strength;linear expansion ratio

V心1 . 2 6 N o . 3 张志 刚等 : 随机 一 模 糊线 性 回 归模 型 的参数 估 计及 应用 一 3 2 9 . 4 中 国统计 出版 社 , 1 9 90 彭长清 . 误差 与 回归 [M ] . 北京 : 兵器 工 业 出版社 , 19 9 1 穆 德 A M , 格 雷 比 尔 F A . 统计 学导 论! M ] . 史 定华译 . 北 京 : 科 学 出版 社 , 19 7 8 5 李 安贵 , 张志 宏 , 段 凤 英 . 模 糊数 学及 其应 用 [M ] . 北 京 : 冶 金 工业 出版 社 , 1 9 4 R e g r e s s i o n P ar a m e t e r s E s t im a ti o n o f R an d o m 一 F uz z y L i n e a r R e g r e s s i o n M o d e l a n d i t s A P P li c a t i o n Z任刁N G hZ iga gn , ’ , 洲N G P en 梦 , IL A n gu il ’ , CA I Me 沙心 , , 2了侧 万G oH n 舒i心 , l ) A P li e d S e i e n e e S c h o o l , U n i v e r s ity o f s e i e n e e an d eT e hn o l o gy B e ij i n g , B e ij i n g l 00 0 83 , C h i n a 2) C i v i l an d E n v i r o nm e n fa l E n g i n e e r in g S e h o o l , nU i v e r s ity o f s e i e n e e an d eT c hn o l o gy B e ij in g , B e ij i n g l 0 0 0 8 3 , C h i n a 3) S h l q Ll a n h u eR s e vr o ir , utJ na 2 7 66 00 , C h ian A B S T R A C T hT e r e gr e s s i o n P arm e t e r s e s t im at i o n e x P r s s i o n s o f a r an d o m而 z z y l in e ar r e g r e s s i o n m o d e l ar e d e - d u e e d . It 1 5 P r o v e d t h at ht e y ar e an un b i a s e d e s t i m at o L hT e of rm u l a e of r e a l e u lat i n g ht e n u r o e ir e a l e h ar ac t e ir s t i c s o f re gr e s s i o n P ar am e t e r s e s t im at i o n an d ht e e o r e lat i o n e o e if e i e nt s o f t h e r e gr e s s i o n e q u at i o n ar e d e ir v e d . B a s e d o n ht e e xP e ir m e n t a l d at a o f itr ax i a l c o m P r e s s i o n t e s t s , ht e e a l e u lat e d r e s u l t s ar e m o r e r e a li s t i c an d r e a s o n ab l e e o m P ar e d w i th ht e li n e ar r e gr e s s i o n m e ht o d . K E Y W O R D S anr d o m 一允z yZ li n e ar er gr e s s i o n m o d e l: P a r a l n e t e r s e s tim a t i o n ; n um e ir e a l e h ar a e t e ir s t i e (上接第 3 0 3 页) P r e P a r a t i o n o f S IC PA/ 1 E l e e tr o n i e P a c k a g i n g C o m P o s i t e P r e fo mr s 尸Z刃(子aY n le i, I IL 咬 hC en gc ha gn, Q U Xu an hu 毛 IL hZ gal gn M at e r i a l s S e i e n e e an d E n gin e e ir n g S e h o o l , U n i v e rs ity o f s e i e n e e an d eT e hn o l o群 B e ij in g , B e ij ing l 0 0 0 8 3 , C h i n a A B S T R A C T S IC p a n d b i n d e r w e r e m i x e d t o g e ht e r an d S IC P P r e of rm s w e r e P r e par e d b y w arm p r e s s i n g , ht e mr a l d eb in d in g an d rP e 一 s int e ir n g . hT e r e l iat ons o f ht e P e r fo mr an e e s su e h a s s i z e v 如at i on , P or o s iyt an d str e n g ht o f ht e P e r fo mr s w iht P r o e e s s P ar am e t e r s w e r e i n v e s ti g at e d . hT e m i e r o s trU e trU e o f th e P e r fo mr s w a s o b s e vr e d b y S E M . hT e r e s u lt s s h o w ht at S IC P P r e fo mr s w iht s u i t a b l e s tr e n g t h an d P o r o s iyt fo r P r e P iar n g S IC PA/ 1 e o m P o s i t e s e an b e o b t a - in e d by e o ntr o l lin g e fe e it v e ly ht e rP o e e s s P ar am et e r s s u e h a s e o m P a ct i on , d e b i n di n g an d rP e 一 s int e ir n g · K E Y W O R D S S IC P /A I e o m P o s i t e : P r e fo mr : P o r o s i yt : s tr e n ght ; li n e ar e x P an s i o n r a ti o