安徽农业大学：《高级生物统计》课程教学资源（讲义）第六讲 方差分析的最优线性无偏估计法

(17A)也有唯一解,由(16A)及∑a=0得 ∑a (18A) ap=-yp2a 于是由(16A)可求得a1,a2,…,am1和。 对a2的估计由(5-8)式可知其残差平方和为 Ro=YY-BXY=2yi-(ar+a pyp.) ∑y2-i+a(X-Yn)+…+an(ym-n) (19A) ∑y2-R(u,a,) 其中R(ya1)为A因素对总平方和的贡献(即处理间平方和),由(5-9)式得a2的无偏估计 =1∑2-R以月 (20A) 三、假设检验 根据(5-11),在约束an=-(a1+…+an-)下 Vari a 0 S (21A) 即:Wa(G)=Coa2 Var(a)=c,o (22A) 因为 ap=-(0,1…31)(A.Gn,…,am=) 所以 Farn=(-1)(01…,)an(.a…p=)0…y =(01…,1G2ls-(0,…1) =o[c1+c12+…+c1p-1)+(c21+c22+…+C2p-1)+ 其中记cpp=[(c1+C12+…+c1p)+…+(cp11+cp-12+…+Cp1p=1)(23A) cp)(=1,2,…,P-1) (24A)

60 μ： N n1 n2 ………np-1 Y．． α1： n1 n1 0 ………0 Y1． α2： n2 0 n2 ………0 Y2． ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ αp-1： np-1 0 0 ………np-1 Yp-1． （17A）也有唯一解，由（16A）及∑αi=0 得 i p p p i i p i  ˆ  ˆ p ˆ p ˆ 1 1 1   =  − = − = − = （18A） i p i  p = − p   − = ˆ ˆ 1 1 1 于是由（16A）可求得 1 2 1 ˆ , ˆ , , ˆ     p− 和μ。 对 2  e 的估计由（5—8）式可知其残差平方和为： ( , ) [ ˆ ˆ ( ) ˆ ( )] ( ˆ ˆ ˆ ) ˆ 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 0 i j i i j i j p p p p i j i j P P i j y R y Y Y Y Y Y R Y Y X Y y Y y y          =  − =  − + − + + − =  −   =  − + + +    − −        （19A） 其中 ( , ) R   i 为 A 因素对总平方和的贡献（即处理间平方和），由（5—9）式得 2  e 的无偏估计 [ ( , )] 2 1 1 2 1 ij i n j p i e n p y R i  =   −   = = − (20A） 三、假设检验 根据（5—11），在约束 ˆ ( ˆ ˆ )  p = − 1 ++ p−1 下 2 1 1 1 ( ˆ ˆ ˆ ) − Var −  = s     p  e （21A） 即： 2 00 ( ˆ) Var  = C  e 2 ( ˆ ) Var  i = Cii e (i = 1,2,  , p −1) （22A） 因为 ˆ (0,1, ,1)( ˆ , ˆ , , ˆ ) 1 1 = −   p      p− 所以 2 11 1 2 1 1 11 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 ( )] [( ) ( ) (0,1, ,1) (0,1, ,1) ˆ ( 1) (0,1, ,1)[ ( ˆ, ˆ , ˆ ) ](0,1, ,1) p p e p p p p e p p e p p c c c c c c c c c c s Var Var        = + + + + = + + + + + + + + =  = −   − − − − − − − −          其中记 [( ) ( )] p p = 11 + 1 2 + + 1 p + + p−1 1 + p−1 2 + + p−1 p−1 c c c  c  c c  c （23A） ( ) ( 1,2, , 1) ci p = − ci 1 + ci 2 ++ ci p−1 i =  p − （24A）

则a+a)=(c0+cn,+20,)2=O(=12…,P)(25A) 由(21A)式 par(a±a)=(cn1+c±2c,)2(,j=12,…,p) σ2[(0,0,…,1…;1…,0)s-(0,0,…1…1…0) A因素的平方和SA可以用SA=Sr-S,计算时可用 (27A) 因此,为检验H0:a1=a2=…=aP可用 F S/p-1 (28A) a,间的多重比较,用SSR法,即检验a=,可用 2 检验是否≥σSSR a(k, df), 若是,则差异显著,若不是,则差异不显著 四、实例分析 抽测不同品种3头母猪的窝产仔数,其资料如表5—1。试检验3头母猪平均窝产仔数的差异是否显著。 表5—1不同品种的3头母猪产仔数(头窝) 1311131012141112 1079877 48 6 8 数学模型: =+a:+e j=1,2,…,n,i=1,23 其中y为第i个品种的第j窝产仔数,a为第i个品种的效应,c;~N(0,a2) N=∑n1=18X.=∑y;=198,依(4A)最小二乘正规方程如表(5-2) 表5-2最小二乘正规方程 a. aa RHM

61 则 ( ˆ ˆ ) ( 2 ) ( 1,2, , ) 2 2 0 0 0 i p n Var c c c i e + i = + i i + i e = =      （25A） 由（21A）式 [(0,0, ,1, ,1, ,0) (0,0, ,1, ,1, ,0) ] [(0, ,1, ,1, ,0) ( ˆ, , ˆ , , ˆ , ,0) ] ( ˆ ˆ ) ( 2 ) ( , 1,2, , ) 2 1 2 =  =   = +  =    −           s Var Var c c c i j p e i j i j i j i i j j i j e        （26A） A 因素的平方和 SA 可以用 SA=ST－Se，计算时可用 ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ) 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1            = − − − − − − − p p p p p A p c c c c S         （27A） 因此，为检验 H0：α1=α2=…=αP 可用 1 1 2 0 − − = R n S p F A ～ F(p－1，n－p) （28A）  i ˆ 间的多重比较，用 SSR 法，即检验  i  j ˆ = ˆ ，可用 i i j j i j i j c c 2c 2 ( ˆ ˆ ) + −  − （29A） 检验是否≥ ( , ) ˆ dfe e k  SSR ，若是，则差异显著，若不是，则差异不显著。 四、实例分析 抽测不同品种 3 头母猪的窝产仔数，其资料如表 5—1。试检验 3 头母猪平均窝产仔数的差异是否显著。 表 5—1 不同品种的 3 头母猪产仔数（头/窝） 品种 窝产仔数 Yi． ni Yi． A1 A2 A3 12 14 13 15 13 11 13 10 12 14 11 12 10 7 9 8 7 7 54 96 48 4 8 6 13.5 12 8 数学模型： yi j =  + i + ei j j = 1,2,  ,n; i = 1,2,3 其中 i j y 为第 i 个品种的第 j 窝产仔数，αi 为第 i 个品种的效应，ei j～N（ 2 0, e ） N = ni = 18 Y  =  yi j = 198 ，依（4A）最小二乘正规方程如表（5—2） 表 5—2 最小二乘正规方程  ˆ 1  ˆ 2  ˆ 3  ˆ RHM

18486198 a1440054 808096 600648 因第一行(列)为其余3行(列)的和,故需加a1+a,+a3=0后,方有唯一解。 解一,逆矩阵法 依(8A)有 Aa, a2 RHM 2198 206 6 2 1448 于是可用求解求逆紧凑法解之。即在系数矩阵S上加一列向量(XY),进行消元变换。 21066 261448 0.055556-0.1111110.1111ll1l 0.11ll119777778622222228 0.111111622222213.77777826 0.0568190.0113640.18181811.31818 A(2)=00113640.10227306363642863636 0.1818180.63636498181808.181818 0.0601850023148-001851911.1667 A)=0231480143519-00648152333 0.018519-0.0648150.1018520.8333 A0)中前3行、3列为S,第4列为(,a1a2 依(23A)、(24A)有 c13=-(c11+c12)=-(0.143519-0064815)=-0.078704 c23=-(c21+c22)=-(-0.04815+0.101852)=-0.037037 c33=-(c13+c23)=0.078704+0.037037=0.15741 u、a1、a2、a3的BLUE为 =11167,a1=2.333,a2=0.833,a3=-(a1+a2)=-3.1666 解二、简捷法 P=3,依(13A)、(14A)(15A)有 D=080 006

62 6 0 0 6 48 8 0 8 0 96 4 4 0 0 54 : 18 4 8 6 198 3 2 1     因第一行（列）为其余 3 行（列）的和，故需加  ˆ 1 + ˆ 2 + ˆ 3 = 0 后，方有唯一解。 解一 ，逆矩阵法： 依（8A）有  ˆ 1  ˆ 2  ˆ RHM 2 6 14 48 2 10 6 6 18 2 2 198 2 1    − − 于是可用求解求逆紧凑法解之。即在系数矩阵 S 上加一列向量（XY），进行消元变换。           − − − − =           − − =           − − =           − − = 0.018519 0.064815 0.101852 0.8333 0.023148 0.143519 0.064815 2.3333 0.060185 0.023148 0.018519 11.1667 0.181818 0.636364 9.818180 8.181818 0.011364 0.102273 0.636364 2.863636 0.056819 0.011364 0.181818 11.318182 0.111111 6.222222 13.777778 26 0.111111 9.777778 6.222222 28 0.055556 0.111111 0.111111 11 2 6 14 48 2 10 6 6 18 2 2 198 (3) (2) (1) (0) A A A A (3) A 中前 3 行、3 列为 −1 S ，第 4 列为 ( ˆ , ˆ , ˆ ) 1 2    。 依（23A）、（24A）有 ( ) 0.078704 0.037037 0.115741 ( ) ( 0.064815 0.101852 ) 0.037037 ( ) (0.143519 0.064815 ) 0.078704 33 13 23 23 21 22 13 11 12 = − + = + = = − + = − − + = − = − + = − − = − c c c c c c c c c μ、α1、α2、α3 的 BLUE 为  ˆ = 11.1667， ˆ 1 = 2.3333，  ˆ 2 = 0.8333，  ˆ 3 = −( ˆ 1 + ˆ 2 ) = −3.1666 解二、简捷法： P = 3 ，依（13A）、（14A）、（15A）有           = 0 0 6 0 8 0 4 0 0 D           − − = − − 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 1 K

0012-1 S-I=KD-K 180 0 0.5416 0.208333-0.16666 0.20833312916 0.16666 0.583 0.916 0.0601850.023148-0018519 0.0231480.143519-0064815 0.018519-0.0648150.101852 再依(11A)、(12A)有 (,a1,…ap)=K(1…-1) 111)(13.5)(11.16 2.333 0.8333 即:=11167,a1=2.333,3a2=0.8333,a3=-(a1+a2)=-3.1666 解三、参数代换法 由(17A)用求解求逆紧凑法作如下变换 1848198 A0=44054 0.0555560.222222044444411 A=-0.22223121217710 0.444444-177777644444488 0.071429-00714290.57142810285715 0.0714290.321429-0.5714283.214286 0.5714280.571428342857213.714287 0.166667-0.166667-0.1666678 0.16666704166670.1666675.5 0.1666670.1666670.2916674 实际上,根据a1+a2+a3=0,可在表5-2的方程组中,加一行、一列,亦能使系数矩阵可逆, 于是可在该增广矩阵上进行消元变换,其求解求逆如下 184860198 4400154 A0=8080196 6006148

63           − − − −                       − − = = − − − − 1 1 1 1 1 2 1 2 1 6 0 0 1 0 8 0 1 0 0 4 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 S KD K           − − − − = 0.16666 0.583 0.916 0.208333 1.2916 0.583 0.5416 0.208333 0.16666 9 1           − − − − = 0.018519 0.064815 0.101852 0.023148 0.143519 0.064815 0.060185 0.023148 0.018519 再依（11A）、（12A）有 ( ˆ , ˆ , , ˆ ) ( ) 1 1 1  = −      p− K Y  Yp ，           =                     − − = − −           0.8333 2.3333 11.1667 8 12 13.5 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 1 ˆ ˆ ˆ 2 1    即：  ˆ = 11.1667， ˆ 1 = 2.3333， ˆ 2 = 0.8333， ˆ 3 = −( ˆ 1 + ˆ 2 ) = −3.1666 解三、参数代换法 由（17A）用求解求逆紧凑法作如下变换:           = 8 0 8 96 4 4 0 54 18 4 8 198 (0) A           − − = − − 0.444444 1.777776 4.444448 8 0.222222 3.111112 1.777776 10 0.055556 0.222222 0.444444 11 (1) A           − − − − = 0.571428 0.571428 3.428572 13.714287 0.071429 0.321429 0.571428 3.214286 0.071429 0.071429 0.571428 10.285715 (2) A           − − − − = 0.166667 0.166667 0.291667 4 0.166667 0.416667 0.166667 5.5 0.166667 0.166667 0.166667 8 (3) A 实际上，根据  ˆ 1 + ˆ 2 + ˆ 3 = 0 ，可在表 5—2 的方程组中，加一行、一列，亦能使系数矩阵可逆， 于是可在该增广矩阵上进行消元变换，其求解求逆如下： ⎯⎯⎯ ⎯→                 = 第一主元素 0 1 1 1 0 0 6 0 0 6 1 48 8 0 8 0 1 96 4 4 0 0 1 54 18 4 8 6 0 198 (0) A

0.0555560.22222204444440.333333011 0.2222223.1111121.777776-1.333333110 0.444444-17777764444445-266666618 -0.333333-1.333333-2.66666640001-18 0 00 0.071429-0.0714290.5714290.4285710.07142910.285715 0.0714290.321429-0.571429-0.4285710.3214293.214286 A2)=-05714290571429342872-342857157491371429第三主元素, 0.4285710.42857134285723.4285721.42857213.71429 0.071429-0.3214291.5714291428572-0.321429-3.214286 0.166666-0.166666-0.1666661-0.3333338 0.16666604166660.166666-10.5833335.5 A3)=-0.1601602916-10458334第五丰元素 03.00000 0333333-0.583333-04583333.000-1.041667-9.5 0 02-0.020.040.3211.04 0.02009-0.090.680.560.18 02-0090009032044-0.18轴四主元素 0.04-0.680.328642.88 7.36 0.320.560. 2.88-0.969.12 0.0601850023148-0.018519-0.004630-0.3333331166667 0.0231480.143519-0.064815-0.0787040.33332.33333 0.018519-0.0648150.10185200370370.3333330.833333 0.004630-0.078704-0.0370370.1157410.333333-3.166667 0.3333330.333330.3333330.333333 0 0 解得:=11.1667,a1=2333,a2=0.8333,a3=-3.1667和上述完全相同 由A)中知=8,a1=5.5,a2=4,依(18A)、(16A)有 a=-5=-155+4)=-3167 a=-a=8-(-3.1667)=1167 a1=a1=an=5.5-3.1667=2333 a2=a2=an=4-3.1667=0.8333 由此可见,三种解法结果完全一致 对G2的估计G2:由(19A)得残差平方和 B=∑∑y-[y.+a(1-11)+a2(y2-Y) =2290-11.1667×198-2.3333×6-0.8333×48 2290-2265.0048=25 依(20A)

64 ⎯⎯⎯ ⎯→                 − − − − − − − − − − = （ ） 第二主元素 0 1 1 1 0 0 0.333333 1.333333 2.666666 4.000 1 18 0.444444 1.777776 4.444445 2.666666 1 8 0.222222 3.111112 1.777776 1.333333 1 10 0.055556 0.222222 0.444444 0.333333 0 11 1 A ⎯⎯⎯⎯⎯→                 − − − − − − − − − − − − − = （ ） 第三主元素 0.071429 0.321429 1.571429 1.428572 0.321429 3.214286 0.428571 0.428571 3.428572 3.428572 1.428572 13.71429 0.571429 0.571429 3.428572 3.428572 1.571429 13.71429 0.071429 0.321429 0.571429 0.428571 0.321429 3.214286 0.071429 0.071429 0.571429 0.428571 0.071429 10.285715 2 A ⎯⎯⎯⎯⎯→                 − − − − − − − − − − − − = （ ） 第五主元素 0.333333 0.583333 0.458333 3.000 1.041667 9.5 1 1 1 0 3.0000 0 0.166666 0.166666 0.291666 1 0.458333 4 0.166666 0.416666 0.166666 1 0.583333 5.5 0.166666 0.166666 0.166666 1 0.333333 8 3 A ⎯⎯⎯ ⎯→                 − − − − − − − − − − − − − = （ ） 第四主元素 0.32 0.56 0.44 2.88 0.96 9.12 0.04 0.68 0.32 8.64 2.88 27.36 0.02 0.09 0.09 0.32 0.44 0.18 0.02 0.09 0.09 0.68 0.56 0.18 0.06 0.02 0.02 0.04 0.32 11.04 5 A                 − − − − − − − − − − − − − = 0.333333 0.333333 0.333333 0.333333 0 0 0.004630 0.078704 0.037037 0.115741 0.333333 3.166667 0.018519 0.064815 0.101852 0.037037 0.333333 0.833333 0.023148 0.143519 0.064815 0.078704 0.333333 2.333333 0.060185 0.023148 0.018519 0.004630 0.333333 11.166667 （4） A 解得：  ˆ =11.1667,  ˆ 1 = 2.3333,  ˆ 2 = 0.8333,  ˆ 3 = −3.1667 和上述完全相同。 由 (3) A 中知 ˆ 8, ˆ 5.5, ˆ 4,  = 1  = 2  = 依 （18A）、（16A）有 (5.5 4) 3.1667 3 ˆ 1 ˆ 1 2 1 3 = −   = − + = − = i p i    ˆ =  ˆ − ˆ p = 8 − (−3.1667) = 11.1667  ˆ 1 =  ˆ 1  =  ˆ p = 5.5 − 3.1667 = 2.3333  ˆ 2 =  ˆ 2  =  ˆ p = 4 − 3.1667 = 0.8333 由此可见，三种解法结果完全一致。 对 2  e 的估计 2 ˆ  e ：由（19A）得残差平方和 [ ˆ ˆ ( ) ˆ ( )] 1 1 3 2 2 3 2 1 3 1 2 0      = = R =   yi j − y + Y −Y + y −Y n i j i    =2290－11.1667×198－2.3333×6－0.8333×48 =2290－2265.0048=25 依（20A）