2.3数理统计基础知识 ·29. 2.3.3显著性检验 1.关于显著性检验 在误差分析中引入数理统计的主要目的是，判断误差是否源自随机因素。这一问题可以通 过显著性检验(test of statistical significance)来解决。显著性检验属于数理统计中的“假设检验”。 关于假设检验的简单介绍参见附录2。 如果误差在统计意义上不显著(statistically insignificant),说明该误差源自随机因素，那么 坦然接受这一现实。如果误差在统计意义上显著(statistically significant),说明该误差源自非随 机因素，即确定性因素，而确定性因素是人力可为的，那么，可以进一步探究测量系统是否存 在缺陷或者相关理论是否仍需完善 显著性检验基于一个常识：有些事件的发生属于“异常”，引人注意：另外一些事件的发 生属于“正常”，司空见惯。所谓“异常”或者“正常”，是指实际结果与我们的预想不同或 者相同。一个“异常”事件的发生有两种情形：一种是“异常”事件确实发生了，尽管经验表 明，这种可能性很小：而另一种情形更有可能，那就是预想并不正确。因此，通过对所发生 事件进行“异常”或者“正常”的归属，就可以判断预想是否合理。日常生活中，我们会对“异 常”和“正常”事件的范围做出大致划分，而划分的依据是经验：通常经验越丰富，结论越 靠 以上述事实作类比，显著性检验就比较容易理解了。事件在显著性检验中用一个随机变量 来表征，称为检验统计量(test statistic))。“异常”事件的发生相当于检验统计量的取值落入小 概率区间：“正常”事件的发生相当于检验统计量的取值落入大概率区间。“预想”相当于原 假设(null hypothesis),显著性检验的原假设是：事件的发生源自随机因素。无限丰富的经验相 当于检验统计量的分布。“异常”和“正常”事件发生范围的划分相当于基于检验统计量的分 布，确定小概率区间和大概率区间。 在显著性检验中，首先根据具体检验问题，选择合适的检验统计量，然后计算检验统计量 在该问题中的取值，进行判断：如果该取值落入了小概率事件发生范围，说明事件的发生很可 能并不源自随机因素，那么拒绝原假设，从而得出结论：“统计意义上显著”；如果该取值落 入了大概率事件发生范围，说明事件的发生很可能源自随机因素，那么接受原假设，从而得出 结论：“统计意义上不显著”。 上述“大概率”和“小概率”对应于显著性检验中的两个概念，分别是“置信度”(confidence) 和“显著性水平”(significant level,二者之和为1。显著性水平以a表示， 一般设定为5%或 者1%。 然而，小概率事件还是有可能发生的，尽管可能性很小，这种情况下，拒绝了实为正确的 次试验 者事先确定。原假设当 理由绝假设（相当于文中的“预想并不正确”）】 ②在假设检验中，小概率事件发生的范围称为拒绝域（心ject,)大概率事件发生的范围称为接受域(acceptance region)。 检验统计量的削取值如果落入拒绝域则拒绝原假设，如果落入接受域则接受原假设
30. 第2章分析化学中的误差和统计学处理 原假设，“统计意义上显著”这一结论就是错误的，犯这种错误的概率等于显著性水平α。另 外，大概率事件也可能不发生，尽管这个可能性也很小，这种情况下，接受了实为错误的原假 设，“统计意义上不显著”这一结论也是错误的，犯这种错误的概率以B表示，B一般无法得 到，因为通常缺少此信息：原假设为假时检验统计量的分布。 上述问题实际上是假设检验中的第一类错误一“弃真”错误（原假设为真却拒绝了原假 设)和第二类错误一“存伪”错误（原假设为假却接受了原假设）。不可能同时减小α和B,减 小犯一类错误的概率就会增大犯另一类错误的概率。在显著性检验中，需要控制犯第一类错误 的概率，a一毁取0.05或者0.01。有兴趣的读者可可以进一步阅读附录2。 综上所述，如果结论是“统计意义上显著”，那么该结论正确的概率等于1一，也可以说 该结论的可靠性为1一α，还可以说该结论错误的概率等于α。然而，如果结论是“统计意义上 不显著”，那么该结论正确的概率一般不可知。 显著性检验的要素是显著性水平、检验统计量以及原假设成立时检验统计量的分布。 2.显著性水平 显著性水平α设置得越大，“统计意义上显著”这一结论的可靠性越低，然而好处是，提 高了另一结论“统计意义上不显著”的可靠性(B变小)。显著性水平α设置得越小，“统计意 义上显著”这一结论的可靠性越高，然而坏处是，降低了另一结论“统计意义上不显著”的可 靠性(B变大) 下面的例子有助于更好地理解上述内容。 假设某地区成年男子的身高近似服从平均值为1.72m的正态分布。现在根据这个分布来 判断“某人是否明显是高个儿”。图2.7()中，：设置得过大（大片阴影），相应的临界值为 1.75m,这种情况下，身高略超过1.75m的人就会被认为“明显是高个儿”，该结论不甚可 靠：但是，身高低于1.75m的人“不能认为是明显高个儿”，这个结论就可靠多了。图2.7b) 中，α设置得过小（阴影勉强可见），相应的临界值为1.91m,这种情况下，身高超过1.91m的 人会被认为“明显是高个儿”，该结论相当可靠；但是，对于身高略低于1.91m的人，却“不 能认为是明显高个儿”，显然不太合常理。 身高 身高 图2.7以某地区成年男子的身高分布为例，图解显著性水平a过高()和过低(b)的情形 图中阴影部分的面积等于
知识 ·31· 3.显著性检验的类型以及临界值 显著性检验有两种类型，分别是单侧检验(one-sided/one-tailed test)和双侧检验(two-sided/ two-tailed test)。对于前者，小概率事件和大概率事件的分界只有一个：对于后者，小概率事 件和大概率事件的分界有两个。在分析化学中，单侧检验适用的判新如“平均值是否显著 大于（小于）参考值”、“该组数据的精密度是否显著高于（低于）另一组数据”；双侧检验适 用的判断如“平均值是否显著异于参考值”、“两组数据的精密度是否显著不同”。 单侧检验又分为两种情形：左侧单侧检验和右侧单侧检验，分别指在检验统计量的分布曲 线上，小概率事件的发生范围位于大概率事件发生范围的左侧和右侧.仍以分析化学数据为例， “平均值是否显著小于参考值”的判断属于左侧单侧检验：“该组数据的方差是否显著大于另 ~组数据的方差”的判断属于右侧单侧检验。 显著性检验中，小概率事件和大概率事件的分界称为临界值。临界值是检验统十量的一个取值， 与检验类型有关：通过检验统计量的逆累积分布，从显著性水平计算得到，表2.1提供了程序示例 在计算机欠发达的时代，临界值通过查统计数值表得到。关于统计数值表的介绍，参见23.4。 以上内容的图解如图2.8（检验统计量具有对称分布）和图2.9（检验统计量具有不对称分布） 所示。 面积1 说明其在统计意义上不显著 面积 国，说明其 随机变量 纯义上不显若 面积 牛的发生礼 正在统义显 随机变量 图2.8检验统计量X具有对称分布（如正态分布、t分布）的单侧检验与双侧检验的图解 明影部分面积等于显著性水平：和x分别表示单侧检验（左侧和右侧）的临界值：X和。2分别表示双侧检验的两个临界
·32 第2章分析化学中的误差和统计学处理 L面积1- 说明其在统计意义上不显芳 小概(a事件的发生范（ 随机变 图2.8（续） 面积1-a 说明其在统计意义上不显 面积 围，说明其在统计意义上显 随机变星 面积1-位 说明其在统意义上不显 说明其在统计意义上显 随机变量 图2.9检验统计量X具有不对称分布（如/分布、F分布们的单侧检验与双侧检验的图解 阴影部分面积等于显著性水平：和和x分别表示单侧检羚（左侧和右侧的临界值：和分别表示双侧检验的两个界值
2.3数理统计基础知识 ·33· 面积1一 明其在统计义上不显若 面积a。 概事件的发生 在此国，说明其在统计意义证 随机变量 图2.9（续） 表2.1列出了一些常见分布的临界值的符号表示，以及如何使用附录1中的Matlab程序 进行计算。子分布和F分布的临界值符号表示稍显复杂，第一个脚标在数值上等于1'-CDF, 只要清楚CDF的定义(2.3.2第二部分)，再结合图2.8和图2.9，不难理解。 表2.1显著性检验中临界值的符号表示以及计算（显著性水平为 分布类型 检验类型 临界值的符号表示 临界值计算) 左侧单侧检验 cdfnorm(a0.1 MO,1)分布 右侧单侧检验 a cdfnorm(1-a.1) 双侧检验 -g/2,Mg/2 cdfnorm(a/2.0,1) cdinorm(I/2.0.1) 左侧单侧检验 icdfchi2(a.) 分布 右侧单侧检验 iedfchi2(1af) 双侧检验 icdfchi2(a/2. iedfchi2(/2. 左侧单侧检验 -ta:I iedft(a.f) 1分布 单侧检验右侧 icdn(a) 双侧检验 -lal2flar2/ a2a2n 左侧单侧检验 F。方 F分布 右侧单侧检验 Fa.h.Ia icdffI-af6) 双侧检验 月e2ih,2ih icdffla/2.6) icdff(1-a/2.f) )使用附录中的Maab程序。 F分布的临界值有一个重要性质：R。人5=1/R。65(注意分子自由度和分母自由度发生 了互换)。该性质可以用于从F分布数值表获取R。,(6(左侧单侧检验的临界值)，因为表中的 临界值都是。5（佑侧单侧检验的临界值）：欲得到。6，需从表中查到E。6,然后取 倒数