一类简单化学反应系统的极限环(续)

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1987.01.016 北京钢铁学院学报 第9卷，第1期 Journal of Beijing University Vol.g No.1 1987年1月 of Iron and Steel Technology Jaa,1987 一类简单化学反应系统的极限环（续） 吴檀 王淑珍 (数学第一教研室) (数学第二教研室) 摘 要 本文在文〔2)的基础上，对系绕 整-b-x+xy (1) -x (其中a>0,b>0)作了更深入的研究，从而得到当一b≤(a十b)8时，系统(1)无极 限环的结论，并指出了，当a一b>(a十b)时，系统(1)的极限环的位置及其随参数 a,b的变化情况。 关键词：化学反应系统.极限环 Limit Cycle of Simple Chemical Reaction Systems Wu Tan Wang Shuzhen Abstract This paper,on the basis of authors paper(2 )Studies further the system dx =b-x+x2y dt (1) dy =a-x2y dt and a result is abtained that if a-bs(a+b)3 holds,system 1 )has no limit cycle.It also points out the position of limit cycles of the system(1 1986一03一01收稿 105

第 卷 ， 第 期 北 京 钢 铁 学 院 学 报 。 封 年 月 尸 一类简单化学反应系统的极限环 续 吴 檀 王淑珍 数学第一教研室 数学第二教研室 摘 要 本文在文〔 〕的基础上 ， 对系统 下一 一 。 一 十 一 。 ， 弋一 一 ‘ —人 一 ， ‘ ‘ 、 、 其中 。 。 ， 作了更深入的研究 ， 从而得到当 一 “ ‘ 时 ， 系统 无 极 限环 的结论 ， 并指 出了 ， 当 。 一‘ 十 。 时 ， 系统 的极限环的位置及其 随 参 数 ， 的 变化情况 关键词 化学反应系统 极限环 。 不 万 之 丁 每 主 〔 〕 ， 一 一 一 《 ， 了 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1987．01．016

when a-b>(a+b)3 holds how it changes with the parameters a,b. Key words:chemical reaction systems;limit cycle 三次系统 dx dt =b-x+x2y (1) dy =a-xiy d (其中ā>0，b>0)是简单化学反应系统的一个模型1)。文〔2)对系统(1)作了较 为完整的定性研究，得到如下结论：当a-b>(a+b)3时，系统（1)存在唯一的极限 环，此极限环是稳定的，且在第一象限内。本文对系统(1)作了更深人地研究，进一步得 到下述结论： 定理3：当a-b≤(a+b)3时，系统(1)无极限环。 证明，如文〔2〕所述，只需证明系统(1)在第一象限内无极限环。 由文〔2〕可知，系统(1)经变换可化为Lienard方程 dx =y-F(x) dt (2) dy dt =-g(x) 其中 F(x)=&a+b)x,- (a-b)x +bx2, (a+b)x+1 a+b g(x)= a+b)2x (a+b)x+1’ 且x∈ （:ab,+∞).进面可求得 c(x)=∫， g(x)dx=(a+b)x-ln〔(a+b)x+1〕， 易如G(x)在(-a十。，0]内单调减，在[0，+∞)内单调增，当且仪当 x=0时，G(x)=0。 作ΦnNnOB变换。令 z=G（x), 以X=x:(2),x=x:(z)分别表示2=G(x)在x>0和-日b<x0上的反函数 (x2<0<x:),它们均在z≥0上有定义。记 F:(z)=F〔x:(z)〕，F2(z)=F〔x2(z)),(z≥0) 令中(z)=F:(z)-Fz(z),可以证明：当a-b≤(a+b)3时，有中(z)>0, (z>0)。 事实上，中(0)=0，又当z>0时 '(z)=F'(x1)x(z)-F'(x2)x:(z)=F（x)-F'（x2) g(x1)g(x2) 106

一 一 五 ， 三 次 系统 一 二 一 卜 一一 少健、 其 中 ， 是 简单化学反应系统 的一 个模型山 。 文 〔 〕 对 系统 作 了较 为完 整的定 性研究 ， 得到 如下结论 当 一 十 “ 时 ， 系 统 存 在 唯一的 极 限 环 ， 此 极限环 是 稳定 的 ， 且在第 一象限 内 。 本文对系统 作 了更深人地研究 ， 进 一步得 到 下述结 论 定理 当 一 ” 时 ， 系统 无极限环 。 证 明 ， 如文 〔 〕 所述 ， 只需证 明系统 在第 一象限 内无极限环 。 由文 〔 〕 可知 ， 系 统 经 变 换可化为 方程 一 其 中 十 “ 一 一 一一 ‘夕‘ ‘ 且 。 进 而可求 得 ‘ · 二 丁 易知 ，在 一卜 一 〔 〕 ， 。 〕 调 减 ， 在 ， 。 内单调 增 ， 当且仪 当 时 ， 。 作中 ” 二 “ “ 。 变换 。 令 以 ， 二 分别 表示 在 》 和 一 工 ， 《 上 的反 函 数 十 ， ， 它 们 均在 》 上 有定 义 。 记 “ 〔 〕 ， “ 〔 〕 ， 令功 二 一 ， 可 以证 明 当 一 一卜 “ 时 ， 有叻 。 事实上 ， 功 ， 又 当 时 功 产 了 ‘ 一 二 了 、 ， 气 少 一 一

=(x4-x){a-b)5+b)3+25 (a+b)3x1x2 a +b (a+b)名 + C(a+b)x1+1)〔(a+b)x2+1)}>0。 因此，有F:(z)>F2（z),(z>0)。 注意到系统(2)的积分曲线1=1：+12（见图1）也是方程 dx =y-F(x) (8) dy -g(x) 的积分曲线，分别在右半平面x>0和带形区城-。十。<x<0上对方程(3)作变换 x=x1(z),X=x2(z),得到 dz =F1(z)-y, (4) dy z=F2(z)-y, (5) d (3)的积分曲线1：与12相应于(4)和(5)的积分曲线11,1：（见图2）。因F:(z)> F2(z),(z>0),由微分不等式定理(3知，系统(2)无闭轨，从而系统(1)无闭 轨。（证毕） (a+b 图1 图2 Fig.1 Fig.2 由文〔2〕，系统(1)当a-b>(a+b)3时存在唯一的极限环。我们可以利用〔4〕 的方法进一步确定此极限环的位置及随参数a、b的变化情况。为此，我们先在a一b平面上 作出区城D: a>0,b>0,a-b>(a+b)3 易见曲线1：a-b=(a+b)3,(0≤b<a≤1)过点(0,0)和点(1,0)。引人 参数x,令b=xa,可得曲线1的参数式 (1+r)g,b=TV1-t2 a=V1-t2- (1+r)2,（0≤r≤1) 利用导数即可作出曲线1（见图3）。由此，立即可知：图3中的阴影部分即为所求区域 D。 107

一 一 一 名 〔 〕 〔 〕 因此 ， 有 ， 注意 到系统 的积分 曲线 。 见 图 也是方程 一 一 的积分 曲线 ， 分别在 右半平面 和带 形 区域 一 一共丫 上 对 方 程 作 变 换 十 ， 得到 ， 一 一 一 一 ‘ 的积分 曲线 与 相应于 和 的积分 曲线 ， ‘ 见 图 。 因 ， ， 由微分 不等式定 理 卿知 ， 系统 无 闭轨 ， 从而 系 统 无 闭 轨 。 证毕 切 工 图 。 图 。 由文 〔 〕 ， 系统 当 一 ” 时存 在唯一 的极限环 。 我 们 可 以利 用 〔 〕 的方 法进 一步 确定 此 极 限环 的位置及随参数 、 的变化情况 。 为此 ， 我 们先在 一 平 面 上 作 出区域 ， ， 一 易见 曲线 一 ” ， 《 《 过 点 ， 和 点 ， 。 引人 参数 ， 令 二 ， 可 得 曲线 的参数 式 。 侧 一 ‘ 门汤 过 一卫立兰一 下 十 丫 簇 簇 利 用 导数 即可作 出曲线 见 图 。 由此 ， 立 即可知 图 中的 阴影部分 即 为 所 求 区 域

定理4.极限环线与以2R为边、中心在奇 点(a+b,(a+b)）的正方形互相学 a 过（其中R=√2Ca-ba+b】)。 3219 a+b 当点(a,.b)在区域D内逐渐趋近曲线l时，极 (2x32)/9 限环的位置向奇点A的方向移动。 图3 证明：先将系统(1)的奇点A移到坐标 Fig.8 原点，则(1)变为 de=a-bx+(a+b)y+abx+2(a+b)xy+x2yX (x, a dt 0=-20。x-(a+b)y-a。)r-2a+b)y-xy=Y（,y)。 a dt 求 a品∫：.∫.〔xX(x,y)+yY(xy)dxdy=0 的正实根，经计算知，当a-b>(a+b)3时 R= 2〔(a-b)-(a+b)3) a+b 由〔4〕就可得到本定理的结论。 参考文献 1 Schnakenberg,J.:J,theor.Biol,81 (1979),389 〔2〕吴檀，王淑珍：一类简单化学反应系统的极限环，北京钢铁学院学报数学力学专 集(1985增刊)，59 (3 Sansone,G.,Conti,R.:Non-linear Differential Eguations,New York,1964. 〔4)秦元勋：常微分方程的区域分析理论，数学学报，2(1956)，184 108

极 限环 线 与以 为边 、 中心 在奇 的正方 形互 相 穿 护， 黔登 定理 一 仆 ， “ 冷， 岑 工 过 其 中 一 斌 〔 一 一 〕 告， 、 万 图 。 当点 ， 在区域 内逐渐趋近 曲线 时 ， 极 限环 的位置 向奇点 的方 向移动 。 证 明 先将 系统 的奇 点 移到坐标 原 点 ， 则 变为 一 “ “ 二 ， ， 一 “ 一 “ “ 一 一 二 ， 。 一 一 一 ， 、、百 一 「 刁又 ‘ 万「 。 入 ， ， “ 的正实根 ， 经计 算知 ， 当 一 “ 时 “ 二 了 〔 一 一 〕 由 〕 就 可 得到 本定 理 的结 论 。 参 考 文 献 〔 〕 ， ， ， 〔 〕 吴檀 ， 王椒珍 一 类简单化学反 应系统 的极 限环 ， 北京钢铁学 院学 报数学 力学专 集 增刊 ， 〔 〕 ， ， 一 ， ， 。 〔 〕 秦元勋 常微分方程 的区域分析理论 ， 数 学学 报 ，