r (Energy Method) 4.组合变形的变形能( Strain energy for combined loads) 截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立, 力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功 FN(x) T() M(x) dx+ dx Ji2EA(x) dx 12GI(x) JI2El(x) 5纯剪切应力状态下的比能 (Strain energy density for pure shearing state of stresses) 假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动rdx 用 11
11 x EI x M x x GI x T x x EA x F x V l l l d 2 ( ) ( ) d 2 ( ) ( ) d 2 ( ) ( ) 2 p 2 2 N ε
r (Energy Method) 因为很小,所以在变形过程中,上 下两面上的外力将不作功.只有右侧 面的外力(rdlz)对相应的位移ya dx作了功 当材料在线弹性范围内内工作时, 上述力与位移成正比因此单元体上 外力所作的功为 d dw =(tdydz(dx)=ty(dxdydz 2 比能为,d。dWdW1 dvdv dxdydz 2 12
12 dx dy dz x y z a b d (d d d ) 2 1 ( d d )( d ) 2 1 dW τ y z γ x τγ x y z τγ x y z W V W V V 2 1 d d d d d d d d ε ε
r (Energy Method) 将r=Gy代如上式得 2 G 2 2 2G J 等直圆杆扭转时应变能的计算 V= udy D dAd 1JA G 2 2 y 2 2G y 13
13 dx dy dz x y z a b d τγ 2 1 ε G γ G 2 2 2 2 ε V l A Vε εdV εdAdx G γ G 2 2 2 2 ε
r (Energy Method) ve=L dad= dad NJA2G JA 2G Tl 2G 2Gl M l 2G 将 T ML C代入上式得M G GI 用
14 p 2 2 2 p 2 p 2 ε 2 ( ) d 2 d d 2 ( ) d d 2 GI T l ρ A I T G l A x G ρ I T A x G τ V A l A l A p 2 e ε 2GI M l V p e p GI M l GI Tl ε 2 Me V
r (Energy Method) 二、变形能的普遍表达式 (General formula for strain energy FS F-广义力(包括力和力偶 B B C δ广义位移 (包括线位移和角位移) 6 C 假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由 零增致最后值 15
15 1 2 3 V Fδ 21 ε F3 B CF2 A F1