23立方根 、学生起点分析 学生已经学习了平方根的概念,掌握了求一个非负数的平方根和算术平方 根的方法,明确了平方运算与开平方的互逆关系.学生在平方根学习活动中体会 了类比的思想方法,为立方根的学习提供了一定的经验基础和学习方法.立方根 的计算有着非常广泛的应用,有关空间形体的计算经常涉及开立方,因此本节知 识是后续学习内容的基础 二、教学任务分析 《立方根》是义务教育教科书北师大版八年级(上)第二章《实数》第三 节.本节内容1个学时完成.主要是通过对立方根与平方根的类比,探索立方根 的概念、计算和简单性质.因此,除了具体的知识技能以外,关注学生的学习方 法培养,渗透数学思想方法也是教师教学过程中的关注点.为此本节课的三维教 学目标是 ①了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根;会用立方运算求一个 数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算,了解立方根的性质;区分立方根与 平方根的不同; ②经历对立方根的探究过程,在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策 略,培养逆向思维能力和分类讨论的意识.学生在经历用类比的方法学习立方根 的有关知识过程中,领会类比思想 ③立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中,培养学生联系实际、善于 观察、勇于探索和勤于思考的精神; 教学过程设计 本节课设计了七个教学环节:第一环节:创设问题情境:;第二环节:复习 引入、类比学习;第三环节:初步探究;第四环节:尝试反馈,巩固练习;第五 环节:深λ探究;第六环节:课时小结:探究与思考:第七环节:作业布置及课 外探究 第一环节:创设问题情境
2.3 立方根 一 、 学生起点分析 学生已经学习了平方根的概念，掌握了求一个非负数的平方根和算术平方 根的方法，明确了平方运算与开平方的互逆关系．学生在平方根学习活动中体会 了类比的思想方法，为立方根的学习提供了一定的经验基础和学习方法．立方根 的计算有着非常广泛的应用，有关空间形体的计算经常涉及开立方，因此本节知 识是后续学习内容的基础． 二 、 教学任务分析 《立方根》是义务教育教科书北师大版八年级（上）第二章《实数》第三 节．本节内容 1 个学时完成．主要是通过对立方根与平方根的类比，探索立方根 的概念、计算和简单性质．因此，除了具体的知识技能以外，关注学生的学习方 法培养，渗透数学思想方法也是教师教学过程中的关注点．为此本节课的三维教 学目标是： ①了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立方运算求一个 数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质；区分立方根与 平方根的不同； ②经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策 略，培养逆向思维能力和分类讨论的意识．学生在经历用类比的方法学习立方根 的有关知识过程中，领会类比思想； ③立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于 观察、勇于探索和勤于思考的精神； 三、教学过程设计 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设问题情境；第二环节：复习 引入、类比学习；第三环节：初步探究；第四环节：尝试反馈，巩固练习；第五 环节：深入探究；第六环节：课时小结；探究与思考；第七环节：作业布置及课 外探究． 第一环节：创设问题情境
内容 某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体,现在要造一个新的球形储气罐,如 果它的体积是原来的8倍,那么它的半径是原储气罐的多少倍?如果储气罐的体 积是原来的4倍呢? (球的体积公式为v=+mR3,R为球的半径) 提问:怎样求出半径R?学完本节知识后,相信你会有一个满意的答案.有 关体积的运算和面积的运算有类似之处,让我们用上节课解决问题的方法来学习 新知识 目的:通过实际情境引入,让学生感受新知学习的必要性,激发学生的求知 欲望. 效果:在思考问题的同时,学生既感受了数学的应用价值,激发了学生的学 习热情,又很快将问题归结为如何确定一个数,它的立方等于4,从而顺利引入 新课 第二环节:复习引入、类比学习 内容 提问:(1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(a≥0)的平方 (2)正数的平方根有几个?它们之间的关系是什么?负数有没有平方 根?0的平方根是什么? (3)平方和开平方运算有何关系? (4)算术平方根和平方根有何区别与联系? 强调:一个正数的平方根有两个,且互为相反数;一个负数没有平方 根;0的平方根是0 (5)为了解决前面情景中的问题,需要引入一个新的运算,你将如 何定义这个新运算 一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就 叫做a的平方根(也叫做二次方根) 2.一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就
内容： 某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如 果它的体积是原来的 8 倍，那么它的半径是原储气罐的多少倍？如果储气罐的体 积是原来的 4 倍呢？ （球的体积公式为 3 3 4 v＝ R ，R 为球的半径） 提问：怎样求出半径 R ？学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案．有 关体积的运算和面积的运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习 新知识 ． 目的：通过实际情境引入，让学生感受新知学习的必要性，激发学生的求知 欲望． 效果：在思考问题的同时，学生既感受了数学的应用价值，激发了学生的学 习热情，又很快将问题归结为如何确定一个数，它的立方等于 4，从而顺利引入 新课． 第二环节：复习引入、类比学习 内容： 提问：（1）什么叫一个数 a 的平方根？如何用符号表示数 a（a≥0）的平方 根? （2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方 根？0 的平方根是什么？ （3）平方和开平方运算有何关系？ （4）算术平方根和平方根有何区别与联系？ 强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方 根；0 的平方根是 0． （5）为了解决前面情景中的问题，需要引入一个新的运算，你将如 何定义这个新运算？ 1．一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x 2=a，那么这个数 x 就 叫做 a 的平方根（也叫做二次方根）． 2．一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x 3=a，那么这个数 x 就
叫做a的立方根( cube root,也叫做三次方根).如:2是8的立方根, 3是-27的立方根,0是0的立方根 目的:学生通过回顾上节课的学习内容,为进一步研究立方根的概念及性质 做好铺垫,同时突出平方根与立方根的对比,以利于弄清两者的区别 和联系 效果:复习引入既复习了平方根的知识,又利于学生用类比学习法学习立方 根知识. 第三环节:初步探究 内容: 1做一做:怎样求下列括号内的数?各题中已知什么数?求什么数? (1)()3=0001 (2) 27 (3)()3=0 目的:通过计算练习使学生进一步了解求一个数的立方,与求一个数的立 方根是互为逆运算感受一个数的立方根的唯一性,计算中对a的取值分别选为 正数、负数、0,这样设计,在此过程中渗透分类讨论的思想方法 2议一议: (1)正数有几个立方根? (2)0有几个立方根 (3)负数呢? 意图:提问,是为了指出平方根与立方根的对比,以利于弄清两者的区别和 联系 3在上面的基础上明晰下列内容,对知识进行梳理 (1)每个数a都只有一个立方根,记为“√a”,读作“三次根号a”.例如 7时,x是7的立方根,即v7=x;与数的平方根的表示比较,数的立方根中 根号前没有“±”符号,但根指数3不能省略 (2)正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数 (3)求一个数a的立方根的运算叫做开立方 extrction of cubic root),其中a 叫做被开方数.开立方与立方互为逆运算 效果:学生通过类比学习,初步掌握立方根的概念,能用符号语言表示
叫做 a 的立方根（cube root, 也叫做三次方根）．如：2 是 8 的立方根， －3是－27的立方根，0 是 0 的立方根． 目的：学生通过回顾上节课的学习内容，为进一步研究立方根的概念及性质 做好铺垫，同时突出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别 和联系． 效果：复习引入既复习了平方根的知识，又利于学生用类比学习法学习立方 根知识． 第三环节：初步探究 内容： 1 做一做：怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？ （1） 0.001 （ ）3＝ ； （2） 64 27 （ ）3＝－ ； （3） 0 （ ）3＝ ． 目的：通过计算练习,使学生进一步了解求一个数的立方，与求一个数的立 方根是互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性，计算中对 a 的取值分别选为 正数、负数、0，这样设计，在此过程中渗透分类讨论的思想方法． 2 议一议： （1）正数有几个立方根？ （2）0 有几个立方根 （3）负数呢？ 意图：提问，是为了指出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和 联系． 3 在上面的基础上明晰下列内容，对知识进行梳理 （1）每个数 a 都只有一个立方根，记为“ 3 a ”，读作“三次根号 a”．例如 x 3=7 时，x 是 7 的立方根，即 3 7 =x；与数的平方根的表示比较，数的立方根中 根号前没有“±”符号，但根指数 3 不能省略． （2）正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数． （3）求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方(extrction of cubic root) , 其中 a 叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算． 效果：学生通过类比学习，初步掌握立方根的概念，能用符号语言表示一
个数的立方根 第四环节:尝试反馈,巩固练习 内容: 例1求下列各数的立方根 (1)-27 (2) (3)3 (4)0.216 125 解:(1)因为(-3)=-27,所以-27的立方根是-3,即√-27=-3 (2)因为 所以的立方根是二,即 5)125 125 V1255 (3)因为()==3,所以3的立方根是,,即33 3 8 (4)因为(06)3=0216,所以0216的立方根是06,即√0216=06 (5)-5的立方根是-5 例2求下列各式的值 (1)√-8,(2)064;(3)- V125 (4)65 解:(1)V-8=(-2)=-2:(2)064=04)=04 (3) (4) 反馈练习 求下列各数的立方根 0125:-64:-364 2.通过上面的计算结果,你发现了什么规律? 目的:例1着眼于弄清立方根的概念,因此这里不仅用立方的方法求立方根 而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法,学生在熟练以后可以简 化写法.例2则巩固立方根的计算,引导学生思考立方根的性质 效果:学生通过练习掌握立方根的概念和计算,通过对计算结果的分析得 出立方根的性质,若学生不能发现规律,教师可以再给出几个例子,如
个数的立方根． 第四环节：尝试反馈，巩固练习 内容： 例 1 求下列各数的立方根： （1）－27 ； （2） 125 8 ； （3） 8 3 3 ； （4） 0.216 ； （5）－5． 解：（1）因为 3 27 （－ ）3＝－ ，所以－27 的立方根是－3 ，即 27 3 3 － ＝－ ； （2）因为 125 8 5 2 3 = ，所以 125 8 的立方根是 5 2 ，即 5 2 125 8 3 ＝ ； （3）因为 8 3 3 8 27 2 （ 3）3＝ ＝ ，所以 8 3 3 的立方根是 2 3 ，即 2 3 8 3 3 3 ＝ ； （4）因为 0.6 0.216 （ ）3＝ ，所以 0.216 的立方根是 0.6 ，即 0.216 0.6 3 ＝ ； （5）－5 的立方根是 3 －5 ． 例 2 求下列各式的值： （1） 8; 3 − （2） 0.064; 3 （3） 3 125 8 − ； （4） ( ) 3 3 9 ． 解：（1） 3 − 8 = ( 2) 2 3 3 − = − ； （2） 3 0.064 = (0.4) 0.4 3 3 = ； （3） 3 125 8 − = 5 2 5 2 3 3 = − − ； （4） ( ) 3 3 9 =9． 反馈练习 1．求下列各数的立方根： 0.125 64 64 5 ( 16) . 3 3 3 3 3 3 3 ； − ； － ； ； 2．通过上面的计算结果，你发现了什么规律？ 目的：例 1 着眼于弄清立方根的概念，因此这里不仅用立方的方法求立方根， 而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法，学生在熟练以后可以简 化写法．例 2 则巩固立方根的计算，引导学生思考立方根的性质． 效果：学生通过练习掌握立方根的概念和计算，通过对计算结果的分析得 出立方根的性质，若学生不能发现规律，教师可以再给出几个例子，如：
8=-2=-23=27=3(8)=②)=8引导学生观察被开方数、根指 数及运算结果之间的关系,从而得出立方根的性质;也可以安排学生分小组讨论, 通过交流,展示学生发现的规律;若学生的讨论不够深入,可由教师补充得出结 论 第五环节:深入探究 想一想: (1)G表示a的立方根,那么(a)等于什么?a呢? (2)√-a与-√a有何关系? 目的:明晰(G)= 说明:若学生通过上面的计算得出了立方根的性质,可以直接展示学生的成 果:若没有得出结果,可以引导学生分析,如果x3=a,那么x就是a的立方根, 即x=a所以x=Na)=an,同样,根据定义,口是的a三次方,所以a的立方 根就是a,即 a 第六环节课时小结 内容1:提问通过本节课的学习你学到了哪些知识?归纳、总结学生的回答 得出下列内容: 1.了解立方根的概念,会用三次根号表示一个数的立方根,能用立方运算求 个数的立方根 2.在学习中应注意以下5点 (1)符号√a中根指数“3”不能省略 (2)对于立方根,被开方数没有限制,正数、零、负数都有一个立方根 (3)平方根和立方根的区别:正数有两个平方根,但只有一个立方根 负数没有平方根,但却有一个立方根 (4)灵活运用公式:(vy=a,a=a,V-a (5)立方与开立方也互为逆运算.我们可以用立方运算求一个数的立方根
8 2 2 3 27 3 ( 8) 2 8. 3 3 3 − ＝3 － 3＝－ ； 3 3＝3 ＝ ； 3 ＝（）＝ 引导学生观察被开方数、根指 数及运算结果之间的关系，从而得出立方根的性质；也可以安排学生分小组讨论， 通过交流，展示学生发现的规律；若学生的讨论不够深入，可由教师补充得出结 论． 第五环节：深入探究 想一想： （1） 3 a 表示 a 的立方根，那么 ( ) 3 3 a 等于什么？ 3 3 a 呢？ （2） 3 －a 与 3 － a 有何关系？ 目的：明晰 ( ) 3 3 a =a，3 3 a =a 说明：若学生通过上面的计算得出了立方根的性质，可以直接展示学生的成 果；若没有得出结果，可以引导学生分析，如果 3 x =a,那么 x 就是 a 的立方根， 即 x= 3 a ,所以 3 x = ( ) 3 3 a =a, 同样，根据定义， 3 a 是的 a 三次方，所以 3 a 的立方 根就是 a, 即 a = a 3 3 ，3 －a = 3 － a ． 第六环节 课时小结 内容 1：提问通过本节课的学习你学到了哪些知识？归纳、总结学生的回答， 得出下列内容： 1．了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求 一个数的立方根． 2．在学习中应注意以下 5 点： （1）符号 3 a 中根指数“3”不能省略； （2）对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根； （3）平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根； 负数没有平方根，但却有一个立方根； （4）灵活运用公式：( 3 a ) 3=a, a = a 3 3 ，3 －a = 3 － a ； （5）立方与开立方也互为逆运算．我们可以用立方运算求一个数的立方根