13勾股定理的应用 第一环节:情境引入 内容: 情景1:多媒体展示: 提出问题:从二教楼到综合楼怎样走最近? B 情景2 如图:在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食 物在B处,恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从 A二二 A处爬向B处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近? 意图: 通过情景1复习公理:两点之间线段最短;情景2的创设引入新课,激发学 生探究热情 效果: 从学生熟悉的生活场景引入,提出问题,学生探究热情高涨,为下一环节奠 定了良好基础. 第二环节:合作探究 内容: 学生分为4人活动小组,合作探究蚂蚁爬行的最短路线,充分讨论后,汇总 各小组的方案,在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法,通过具体计算,总 结出最短路线.让学生发现:沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形,研究“蚂蚁怎 么走最近”就是研究两点连线最短问题,引导学生体会利用数学解决实际问题的 方法 意图: 通过学生的合作探究,找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法,将曲面最短距 离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解.在活动中体验数学建摸, 培养学生与人合作交流的能力,增强学生探究能力,操作能力,分析能力,发展 空间观念
1.3 勾股定理的应用 第一环节：情境引入 内容： 情景 1：多媒体展示： 提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？ 情景 2： 如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食 物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A 处爬向 B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 意图： 通过情景 1 复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学 生探究热情． 效果： 从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠 定了良好基础． 第二环节：合作探究 内容： 学生分为４人活动小组，合作探究 蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总 各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路 线计算方法，通过具体计算，总 结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎 么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的 方法． 意图： 通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距 离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸， 培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展 空间观念．
效果: 学生汇总了四种方案: (1) (2) (3) (4) 学生很容易算出:情形(1)中A→B的路线长为:AA+d 情形(2)中A→B的路线长为:A+md 所以情形(1)的路线比情形(2)要短 学生在情形(3)和(4)的比较中出现困难,但还是有学生提出用剪刀沿母 线AA剪开圆柱得到矩形,情形(3)A→B是折线,而情形(4)是线段,故根 据两点之间线段最短可判断(4)较短,最后通过计算比较(1)和(4)即可 如图: (1)中A→B的路线长为:AA+d B (2)中A→B的路线长为:AA+AB>AB 3)中A→B的路线长为:AO+OB>AB.A= (4)中A→B的路线长为:AB 得出结论:利用展开图中两点之间,线段最短解 决问题.在这个环节中,可让学生沿母线剪开圆柱体, 具体观察.接下来后提问:怎样计算AB? 在Rt△AAB中,利用勾股定理可得 AB2=AA2+AB2,若已知圆柱体高为12cm,底面半径为3cm,x取3,则 AB2=122+(3×3),AB=15 注意事项:本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面,目的仅 仅是让学生感知最短路径的不同存在可能.但这一拓展使学生无法去论证最短路 径究竟是哪条.因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后,把探究集中到对圆柱 侧面最短路径的探究上
效果： 学生汇总了四种方案： （1） （2） （3） （4） 学生很容易算出：情形（1）中 A→B 的路线长为： AA d '+ ， 情形（2）中 A→B 的路线长为： ' 2 d AA + 所以情形（1）的路线比情形（2）要短． 学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母 线 AA’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A→B 是折线，而情形（4）是线段，故根 据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可． 网] 如图： （1）中 A→B 的路线长为： AA d '+ ． （2）中 A→B 的路线长为： AA A B ' ' + >AB． （3）中 A→B 的路线长为：AO+OB>AB． （4）中 A→B 的路线长为：AB． 得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解 决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体， 具体观察．接下来后提问：怎样计算 AB？ 在 Rt △ AA′B 中 ， 利 用 勾 股 定 理 可 得 2 2 2 AB = AA + A'B ，若已知圆柱体高为 12cm，底面半径为 3cm，π 取 3，则 2 2 2 AB AB = + = 12 (3 3) , 15． 注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅 仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路 径究竟是哪条．因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱 侧面最短路径的探究上． A ’ A ’ A ’
方法提炼:解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型,解决 这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下: 1.审题一一分析实际问题; 2.建模一一建立相应的数学模型; 求解一一运用勾股定理计算; 4.检验—一是否符合实际问题的真实性. 第三环节:做一做 内容: 李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂 直于底边AB,但他随身只带了卷尺, (1)你能替他想办法完成任务吗? (2)李叔叔量得AD长是30厘米,AB长是40厘米,BD长 是50厘米,AD边垂直于AB边吗?为什么 (3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺,他能有办法检验AD边是否 垂直于AB边吗?BC边与AB边呢? 解答:(2)∵:AD2+AB2=302+402=2500 BD=2500 AD+AB=BD AD和AB垂直 意图 运用勾股定理逆定理来解决实际问题,让学生学会分析问题,利用允许的工 具灵活处理问题. 效果 先鼓励学生自己寻找办法,再让学生说明李叔叔的办法的合理性.当刻度尺 较短时,学生可能会在上面解决问题的基础上,想出多种办法,如利用分段相加 的方法量出AB,AD和BD的长度,或在AB,AD边上各量一段较小长度,再去 量以它们为边的三角形的第三边,从而得到结论
方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决 这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下： 1．审题——分析实际问题； 2．建模——建立相应的数学模型； 3．求解——运用勾股定理计算； 4．检验——是否符合实际问题的真实性． 第三环节：做一做 内容： 李叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 边和BC 边是否分别垂 直于底边 AB，但他随身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔量得 AD 长是 30 厘米，AB 长是 40 厘米，BD 长 是 50 厘米，AD 边垂直于 AB 边吗？为什么？ （3）小明随身只有一个长度为 20 厘米的刻度尺，他能有办法检验 AD 边是否 垂直于 AB 边吗？BC 边与 AB 边呢？ 解答：（2） 2 2 2 2 AD AB + = + = 30 40 2500 2 BD = 2500 2 2 2 + = AD AB BD ∴AD 和 AB 垂直． 意图： 运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工 具灵活处理问题． 效果： 先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺 较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加 的方法量出 AB，AD 和 BD 的长度，或在 AB，AD 边上各量一段较小长度，再去 量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．
第四环节:小试牛刀 内容 1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,某日早晨8:00甲先出发,他以6kmh 的速度向正东行走,1时后乙出发,他以5km/h的速度向正北行走.上午10 00,甲、乙两人相距多远? 解答:如图已知A是甲、乙的出发点,1000甲到达B点,乙到达C点.则: AB=2×6=12(km) AC=1×5=5(km) 在R1△ABC中 BC2=AC2+AB2=52+122=169=132. ∴BC=13.(km) 东 即甲乙两人相距13km 2.如图,台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物,它怎么走最近?并求出最 近距离 解答:∴AB2=152+202=625=252 3.有一个高为1.5m,半径是lm的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔, 从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为0.5m,问这根铁棒有多长? 解答:设伸入油桶中的长度为xm. 则最长时:x=152+2. x=2.5. ∴最长是2.5+0.5=3(m) 最短时:x=1.5 ∴最短是1.5+0.5=2(m) 答:这根铁棒的长应在2~3m之间 意图 对本节知识进行巩固练习,训练学生根据实际情形画出示意图并计算
北 东 C A B 3 2 20 B A 第四环节：小试牛刀 内容： 1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨 8：00 甲先出发，他以 6 km/h 的速度向正东行走，1 时后乙出发，他以 5 km/h 的速度向正北行走．上午 10： 00，甲、乙两人相距多远？ 解答：如图:已知 A 是甲、乙的出发点，10:00 甲到达 B 点，乙到达 C 点．则: AB=2×6=12（km） AC=1×5=5（km） 在 Rt△ABC 中: 2 2 2 2 2 2 BC AC AB = + = + = = 5 12 169 13 ． ∴BC=13（km）． 即甲乙两人相距 1 3 km． 2．如图，台阶 A 处的蚂蚁要爬到 B 处搬运食物，它怎么走最近？并求出最 近距离． 解答： 2 2 2 2 = + = = AB 15 20 625 25 . 3．有一个高为 1.5 m，半径是 1m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔， 从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为 0.5 m，问这根铁棒有多长？ 解答：设伸入油桶中的长度为 x m． 则最长时: 2 2 2 1.5 2 2.5 x x = + = ． ． ∴最长是 2.5+0.5=3（m）． 最短时: x =1.5 ． ∴最短是 1.5+0.5 =2（m）． 答:这根铁棒的长应在 2～3m 之间． 意图： 对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算．
效果: 学生能独立地画出示意图,将现实情形转化为数学模型,并求解. 第五环节:举一反三 内容 1.如图,在棱长为10cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁,现要向顶 点B处爬行,已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s,且速度保持不变,问蚂蚁能否在 20s内从A爬到B? A 解:如图,在Rt△ABC中:AB2=AC2+BC2=102+202=500 500>202 ∴不能在20s内从A爬到B 2.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题 的意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有 根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好 到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 解答:设水池的水深AC为x尺,则这根芦苇长为 AD=AB=(x+1)尺 在直角三角形ABC中,BC=5尺 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2 (x+1) 25+x2=x2+2x+1 2x=24 x=12,x+1=13
效果： 学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解． 第五环节：举一反三 内容： 1．如图，在棱长为 10 cm 的正方体的一个顶点 A 处有一只蚂蚁，现要向顶 点 B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在 20 s 内从 A 爬到 B？ 解：如图，在 Rt△ABC 中: 2 2 2 2 2 AB AC BC = + = + 10 20 =500． ∵500＞202 . ∴不能在 20 s 内从 A 爬到 B. 2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题 的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一 根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好 到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 解答：设水池的水深 AC 为 x 尺，则这根芦苇长为 AD=AB=（x+1）尺， 在直角三角形 ABC 中，BC=5 尺. 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2. 即 5 2+ x 2=（x+1）2. 25+x 2= x 2+2x+1. 2x=24. ∴ x=12，x+1=13． B A B A B C