3离散型随机变量X的分布函数的性质 (1)分布函数是分段函数,分段区间是由X的取值点划分成的 左闭右开区间; (2)函数值从0到逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是x取值区间中新增加点的对应概率值; (4)分布函数是右连续的; F(X) (5)P{X=x}=F(x-F(X0) 0.3 0 例23.2(914,设X的分布函数为F(x) 0.40<X<1 081≤x<2 求X的概率分布 12≤x 解X的取值为X01 对应概率值为P0.40.402
3.离散型随机变量X的分布函数的性质 (1)分布函数是分段函数,分段区间是由X的取值点划分成的 左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是x取值区间中新增加点的对应概率值; (4)分布函数是右连续的; (5) P{X=xi }=F(xi )-F(xi -0) 例2.3.2(914).设X的分布函数为 = x x x x F x 1 2 0.8 1 2 0.4 0 1 0 0 ( ) 求X的概率分布. 对应概率值为 P 0.4 0.4 0.2 解:X的取值为 X 0 1 2 0.3 x F(x) 1 1 0
例233设10件产品中恰好有3件次品,现在接连进行非还原 抽样每次抽一件,直至抽到正品为至求①抽取次数X的概率分布, ②X的分布函数,③PX=3.5},P[X>-2},P〔1<X<3},P{1<X≤3} 解:(1)X1234 (3)P{X=3.5}=0 P7/107307/1201/120 P{X>-2}=1-P{X≤2} =1-F(-2)=1 7/10 1<x<2 或P{X>-2}=PX=1}+ (2)F(x)=710+7/30 2<x<3 P{X=2}+PX=3}+ 7/10+7/30+7/1203<x<4 P{X=4}=1 4xP(1<x<3}=P(X=}=7/30 P{1<X≤3}=F(3)-F(1) =730+7/120
例2.3.3 设10件产品中恰好有3件次品，现在接连进行非还原 抽样,每次抽一件,直至抽到正品为至.求 ①抽取次数X的概率分布, ②X的分布函数, ③ P{ X=3.5}, P{ X>-2}, P{ 1<X<3},P{1<X≤3} 解:(1) X 1 2 3 4 P 7/10 7/30 7/120 1/120 (2)F(x)= 7/10 7/10+7/30 7/10+7/30+7/120 x<1 1≤x<2 2≤x<3 3≤x<4 4≤x 0 1 (3) P{X=3.5}=0 P{X>-2}=1-P{X≤-2} =1-F(-2)=1 或 P{X>-2}=P{X=1}+ P{X=2}+P{X=3}+ P{X=4}=1 P{1<X<3}=P{X=2} =7/30 P{1<X≤3}=F(3)-F(1) =7/30+7/120
第24节、连续型随机变量的概率分布 1.定义:对于随机变量X若存在一个非负可积函数(x),∞<x<+∞ 使对于任意实数x都有 F(x)= f(t dt 则称X为连续型随机变量,称f(x)为X的概率密度函数,简称密度 函数、密度或概率密度。简记为X~f(x) 2性质(1)f(x)20,-∞x<+∞;满足性质()(2)的函数都可 2)f(x)dx=1 以看为某个连续型随机变量 意的概率密度 例如(x)=10其他 sInr xE0,x/满足(f(x) f(x)dx=2 sin xx=-coS x 所以f(x)是一个概率密度函数
第2.4节、连续型随机变量的概率分布 ⒈定义:对于随机变量X,若存在一个非负可积函数f(x),－∞ <x <＋∞, 使对于任意实数x都有 F x f t dt x − ( ) = ( ) 则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称密度 函数、密度或概率密度。简记为X~f(x). 2.性质:(1) f(x)≥0, －∞<x<＋∞; (2) + − f (x)dx = 1 注 意 满足性质(1) (2)的函数都可 以看为某个连续型随机变量 的概率密度. 例如: = 0 其 他 sin [0, / 2] ( ) x x f x 满足(1)f(x)≥0; 1 0 / 2 ( ) sin cos 2 0 = = − = + − (2) f x dx xdx x 所以f（x）是一个概率密度函数
3、连续型随机变量的若干结论 ()F(x)=PXs对)=」(m,xeR (2)0≤F(x)≤1,-∞<X<+∞, (3)F(x是x的单调不减函数; (4)F(-∞)=IimF(x)=0,F(+o)=imF(x)=1; x→-00 x→+0 (5)F(x)是(-∞,+∞)上的连续函数 (6)PX=x}=0;由此可得 (7)P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}=F(b)-F(a) (8)f(x)=F'(x)(在f(x)连续点处) 据变上限的定积分公式d∫ d r a f(o)dt=f(x)
F x P X x f t dt x R x = = − ( ) { } ( ) , (7) P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}=F(b)-F(a). 3、连续型随机变量的若干结论 (1) (2) 0≤F(x)≤1, －∞＜x＜＋∞, (3) F(x)是x的单调不减函数; (4) (− ) = lim ( ) = 0, (+ ) = lim ( ) = 1; →− →+ F F x F F x x x (5) F(x)是(-∞,+∞)上的连续函数; (6) P{X=x}=0;由此可得 (8) f(x)= ( F(x) 在f(x)连续点处) 据变上限的定积分公式 = x a f t dt f x dx d ( ) ( )