100 MATLAB5手册 China-pub.com 下载 2x1+3x2=7 4x1+x2=9 先找出系数矩阵和右边的b: a=(任) b=(g) 解向量是×=(x,x),可以用x=Ab来求得： X 2 ■ MATLAB依据系数矩阵A的不同而相应地使用不同的方法求解线性系统。如果可能， MATLAB先分析矩阵的结构。例如，如果A是对称且正定的，则使用Cholesky分解。 如果没有找到可以替代的方法，则采用高斯消元法和部分主元法。主要是对矩阵进行LU 因式分解或LU分解。这种方法就是令A=LU,其中U是一个上三角矩阵，L是一个带有单位对 角线的下三角矩阵。 然而为了保证计算的稳定性可以使用部分主元法。也就是说，L通常是一个改变序列的下三 角矩阵，即有些行进行互换。这样，L就可能显得结构不完整，将这些排列定义为交换矩阵P。 交换矩阵P的大小为n×n,它实际上是一个单位矩阵，按照交换的顺序来交换列向量。交 换矩阵的逆等于它本身的转置。 PA =LIU LU因式分解可以用非交换下三角矩阵L表示出来： 即交换矩阵L由L=PL给出。 MATLAB中用命令可以求得U和交换或非交换下三角矩陶，后一种情况也可给出交换矩御。 命令集69 LU分解 [L,U]=1u(A) 求上三角矩阵U和交换下三角矩阵L。L是一个带有单位对角线 的下三角矩阵和交换矩阵，即P的逆矩阵的乘积，见下个命令。 [L,U,P]=1u(A) 求上三角矩阵U、有单位对角线的下三角矩阵L和交换矩阵P, 满足LU=PA。 ■例7.4 如果矩阵A=[123;456;780],输入[L,0]=1u(A),运行结果为： L= 0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000 1.0000 0 U= 7.0000 8.0000 0 0 0.8571 3.0000 0 0 4.5000
先找出系数矩阵和右边的b： 解向量是x= ( x1 x2 ) ´，可以用x = A \ b来求得： M AT L A B依据系数矩阵 A的不同而相应地使用不同的方法求解线性系统。如果可能， M AT L A B先分析矩阵的结构。例如，如果 A是对称且正定的，则使用C h o l e s k y分解。 如果没有找到可以替代的方法，则采用高斯消元法和部分主元法。主要是对矩阵进行 L U 因式分解或L U分解。这种方法就是令 A = L U，其中U是一个上三角矩阵， L是一个带有单位对 角线的下三角矩阵。 然而为了保证计算的稳定性可以使用部分主元法。也就是说，L通常是一个改变序列的下三 角矩阵，即有些行进行互换。这样，L就可能显得结构不完整，将这些排列定义为交换矩阵P。 交换矩阵P的大小为n×n，它实际上是一个单位矩阵，按照交换的顺序来交换列向量。交 换矩阵的逆等于它本身的转置。 L U因式分解可以用非交换下三角矩阵 Ll表示出来： 即交换矩阵L由L = P ´ Ll给出。 M AT L A B中用命令l u可以求得U和交换或非交换下三角矩阵L，后一种情况也可给出交换矩阵P。 命令集6 9 L U分解 [ L , U ] = l u ( A ) 求上三角矩阵 U和交换下三角矩阵 L。L是一个带有单位对角线 的下三角矩阵和交换矩阵，即 P的逆矩阵的乘积，见下个命令。 [ L , U , P ] = l u ( A ) 求上三角矩阵 U、有单位对角线的下三角矩阵 L和交换矩阵 P， 满足L U = PA。 ■ 例7 . 4 如果矩阵A = [1 2 3 ; 4 5 6 ;7 8 0]，输入[ L , U ] = l u ( A )，运行结果为： 1 0 0 M ATLAB 5 手册 下载 ■
China-bub.com 第7章线性方程系统 101 下载 这里的交换矩阵的逆为： 0 1 P-1=P 0 1 0 0 下面列出高斯消元法的详细步骤： 1 2 3 0 8 0 A= 45 6 A1= 4 5 6 A2= 0 0.4286 6 8 0 1 2 0 0.8571 3 0 7 8 0 A3= 0 0.8571 3 A4= 0 0.8571 3 0 0.4286 6 0 0 4.5 先从矩阵A开始，第1个主元的位置在(1,1)， 通过第1行和第3行互换，可以得到最大的主 元，也就是7。第1次交换后得到矩阵A1,第1次消元后得到矩阵A2。 第2个主元在(2,2)上，将第2行和第3行交换后得到矩阵A3,消元后得到矩阵A4,和矩阵 U是同一个矩阵。 这个过程进行了两次交换，第1次是第1行和第3行互换，也就是： 00 P1= 010 100 第2次进行第2、3行互换，也就是： /1 0 0 P2=00 010 P1和P2相乘，形成P: 00 1 P1*P2=P= 1 00 0 1 0 P的逆为： 0 1 0 P-1= 0 1 1 00 如果输入[L,0,P]=1u(A),运行就会得到如下的结果： L= 1.0000 0 0 0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000 U= 7.0000 8.0000 0 0 0.8571 3.0000 0 0 4.5000
这里的交换矩阵的逆为： 下面列出高斯消元法的详细步骤： 先从矩阵A开始，第1个主元的位置在(1, 1)，通过第1行和第3行互换，可以得到最大的主 元，也就是7。第1次交换后得到矩阵A 1，第1次消元后得到矩阵A 2。 第2个主元在(2, 2)上，将第2行和第3行交换后得到矩阵 A 3，消元后得到矩阵A 4，和矩阵 U是同一个矩阵。 这个过程进行了两次交换，第 1次是第1行和第3行互换，也就是： 第2次进行第2、3行互换，也就是： P 1和P 2相乘，形成P： P的逆为： 如果输入[ L , U , P ] = l u ( A )，运行就会得到如下的结果： 第7章 线性方程系统 1 0 1 下载