China-pub.coM 下载 第8章 特征值和特征向量 MATLAB中的命令计算特征值和特征向量很方便，可以得到不同的子结果和分解，这在 线性代数教学时很有用。注意，本章中的命令只能对二维矩阵操作。 8.1特征值和特征向量的计算 假设A是一个m×n的矩阵，A的特征值问题就是找到方程组的解： AX=入x 其中入是一个标量，x是一个长度为的列向量。标量入是A的特征值，x是相对应的特征向 量。对于实数矩阵A来说，特征值和特征向量可能是复数。一个n×n的矩阵有n个特征值，表 示为入，2，，入m0 MATLAB中用命令eig来确定矩阵A的特征值和特征向量。特征向量的规格化，就是每个 特征向量的欧几里得范数为1：参见7.6节。 命令eig自动完成对矩阵A的平衡化。这就要求MATLAB找出一个相似变换矩阵Q,满足 条件A。求A=QAQ的特征值比求A的特征值条件更好些。万一A有一个和机器错误大小一 样的元素，平衡化对于计算过程是没有好处的。带有参数nobalance的命令eig可用来计算 没有这个变换矩阵的特征值和特征向量。 命令集79 特征值和特征向量 eig(A) 求包含矩阵A的特征值的向量。 [X,D]=eig(A) 产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵 X,它们的列是相应的特征向量，满足AX=XD。为了得到 有更好条件特征值的矩阵要进行相似变换。 [X,D]= 不经过平衡处理求得矩阵A的特征值和特征向量，也就是 eig(A,'nobalance') 不进行平衡相似变换。 balance(A) 求平衡矩阵。 [T,B]=balance(A) 找到一个相似变换矩阵T和矩阵B,使得它们满足B=T-AT。 B是用命令balance求得的平衡矩阵。 eigs(A) 返回一个由矩阵A的部分特征值组成的向量，和命令eig 样，但是不返回全部的特征值。如果不带有参量，则计 算出最大的特征值。当计算所有特征值时，如果矩阵A的 秩不小于6，则计算出6个特征值来。 eigs(f,n) 求出矩阵A的部分特征值。在使用一个矩阵列的线性运算 符时，字符串中包含的是M文件的文件名，n指定问题的 阶次。用这种方法来求特征值比开始就用运算符来求要快
下载 第8章 特征值和特征向量 M AT L A B中的命令计算特征值和特征向量很方便，可以得到不同的子结果和分解，这在 线性代数教学时很有用。注意，本章中的命令只能对二维矩阵操作。 8.1 特征值和特征向量的计算 假设A是一个m×n的矩阵，A的特征值问题就是找到方程组的解： 其中l是一个标量，x是一个长度为n的列向量。标量l是A的特征值，x是相对应的特征向 量。对于实数矩阵 A来说，特征值和特征向量可能是复数。一个 n×n的矩阵有n个特征值，表 示为l1，l2，. . .，ln。 M AT L A B中用命令e i g来确定矩阵A的特征值和特征向量。特征向量的规格化，就是每个 特征向量的欧几里得范数为 1；参见7 . 6节。 命令e i g自动完成对矩阵 A的平衡化。这就要求 M AT L A B找出一个相似变换矩阵 Q，满足 条件 。求 的特征值比求A的特征值条件更好些。万一 A有一个和机器错误大小一 样的元素，平衡化对于计算过程是没有好处的。带有参数 n o b a l a n c e的命令e i g可用来计算 没有这个变换矩阵的特征值和特征向量。 命令集7 9 特征值和特征向量 e i g ( A ) 求包含矩阵A的特征值的向量。 [ X , D ] = e i g ( A ) 产生一个矩阵 A的特征值在对角线上的对角矩阵 D和矩阵 X，它们的列是相应的特征向量，满足 A X=X D。为了得到 有更好条件特征值的矩阵要进行相似变换。 [ X , D ] = 不经过平衡处理求得矩阵A的特征值和特征向量，也就是 e i g ( A , ’ n o b a l a n c e ’ ) 不进行平衡相似变换。 b a l a n c e ( A ) 求平衡矩阵。 [ T , B ] = b a l a n c e ( A ) 找到一个相似变换矩阵T和矩阵B，使得它们满足B=T－1AT。 B是用命令b a l a n c e求得的平衡矩阵。 e i g s ( A ) 返回一个由矩阵 A的部分特征值组成的向量，和命令 e i g 一样，但是不返回全部的特征值。如果不带有参量，则计 算出最大的特征值。当计算所有特征值时，如果矩阵 A的 秩不小于6，则计算出6个特征值来。 e i g s ( f , n ) 求出矩阵A的部分特征值。在使用一个矩阵列的线性运算 符时，字符串f中包含的是M文件的文件名， n指定问题的 阶次。用这种方法来求特征值比开始就用运算符来求要快
114 China-pub.com MATLAB5手册 下载 eigs (A,B,k,sigma) 求矩阵A的部分特征值，矩阵B的大小和A相同：如果没有 给出B=eye(size(A),那么k就是要计算的特征值的个数： 如果k没有给出，就用小于6的数或者A的秩：变量sigma是 一个实数或者复数的移位参数，或者下列文本字符串中的 一个，文本字符串指明需要的是哪种特征值： “1m'最大的特征值（缺省） “sm’最小的特征值 ‘r’最大的实数部分 ‘sr'最小的实数部分 “be’同时求得最大和最小的实数部分 condeig(A) 返回一个由矩阵A的特征值条件数组成的向量。 [v,D,s]=condeig(A)返回[V,D]=eig(A)和s=condeig(A)。 如果A是实数矩阵，MATLAB在计算中用QR因式分解：否则用QZ因式分解。 左特征向量是满足下面条件的非零行向量y: yA=hy 如果用命令eig对A'作用，也可以计算出左特征向量，因为： A'y'=iy 这里的撇号'代表矩阵的转置和共轭复数（见3.4节），入上的短杠表示共轭复数。矩阵特征值 的集合称为矩阵的谱，谱半径p(A)定义为max(abs(eig(A)))。矩阵A的特征值的乘积等于 det(A),和等于trace(A),这是矩阵A主对角线上元素的和。 如果X一个列向量为A的特征向量的矩阵，并且它的秩为，那么特征向量线性无关。如 果不是这样，则称矩阵为缺陷阵。如果XX=I,则特征向量正交，这对于对称矩阵是成立的。 ■例8.1 矩阵A定义为： 9 -3 -16 13 16 3 10 (a)运行命令[Evect,Evalue]=eig(A),得到结果为： Evect -0.7071 -0.5774 -0.5774 0.7071 0.5774 -0.5774 0.0000 0.5774 0.5774 Evalue -6.0000 0 0 0 10.0000 0 0 0 4.0000 可知特征值都是非零数，矩阵是满秩的，可以用therank=rank(Evect)来确认： therank=
e i g s ( A ,B , k , s i g m a) 求矩阵A的部分特征值，矩阵B的大小和A相同；如果没有 给出B= e y e ( s i z e ( A ) )，那么k就是要计算的特征值的个数； 如果k没有给出，就用小于6的数或者A的秩；变量s i g m a是 一个实数或者复数的移位参数，或者下列文本字符串中的 一个，文本字符串指明需要的是哪种特征值： ‘l m’最大的特征值(缺省) ‘s m’最小的特征值 ‘l r’最大的实数部分 ‘s r’最小的实数部分 ‘b e’同时求得最大和最小的实数部分 c o n d e i g ( A ) 返回一个由矩阵A的特征值条件数组成的向量。 [ V , D , s ] = c o n d e i g ( A ) 返回[ V , D ] = e i g ( A )和s = c o n d e i g ( A )。 如果A是实数矩阵，M AT L A B在计算中用Q R因式分解；否则用Q Z因式分解。 左特征向量是满足下面条件的非零行向量 y： y A =ly 如果用命令e i g对A¢作用，也可以计算出左特征向量，因为： 这里的撇号'代表矩阵的转置和共轭复数 (见3 . 4节)， 上的短杠表示共轭复数。矩阵特征值 的集合称为矩阵的谱，谱半径 ( A )定义为m a x ( a b s ( e i g ( A ) ) )。矩阵A的特征值的乘积等于 d e t ( A )，和等于t r a c e ( A )，这是矩阵A主对角线上元素的和。 如果X一个列向量为 A的特征向量的矩阵，并且它的秩为 n，那么特征向量线性无关。如 果不是这样，则称矩阵为缺陷阵。如果 X ' X=I，则特征向量正交，这对于对称矩阵是成立的。 ■ 例8 . 1 矩阵A定义为： (a) 运行命令[ E v e c t , E v a l u e ] = e i g ( A )，得到结果为： 可知特征值都是非零数，矩阵是满秩的，可以用 t h e r a n k = r a n k ( E v e c t )来确认： t h e r a n k = 3 1 1 4 M ATLAB 5 手册 下载
China-pub.com 第8章特征值和特征向量 115 下载 令M=Evect'*Evect得： M= 1.0000 0.8165 -0.0000 0.8165 1.0000 0.3333 -0.0000 0.3333 1.0000 可知特征向量没有相互正交。 (b)determinant prod(diag(Evalue)),... determinant2 det(A) 给出结果为： determinant -240.0000 determinant2 -240 可知行列式等于特征值的积。 (c)theTrace =trace(A),theTrace2 =sum(diag(Evalue)) 结果为： theTrace 8 theTrace2= 8.0000 ■ 可知矩阵的迹等于特征值的和。 如果矩阵A是实数矩阵，但是有复数特征值，那么这些特征值是以共轭复数的形式出现的。 如果[X,D]=eig(A),可以用命令cdf2rdf将矩阵D转换为一个实数块对角矩阵。在对角线 上用一个2×2实数块代替共轭复数对。 命令集80 复对角矩阵变成实对角矩阵 [Y,E]=cdf2rdf(X,D)将复对角矩0变成实对角矩阵氧，Y的列不是A的特征向量。 ■例8.2 假设矩阵A为： 01 0 A= -100 003 则运行[X,D]=eig(A)可得： X= 0.7071 0.7071 0 0+0.7071i 0-0.70711 0 0 1.0000 D= 0+1.0000i 0 0-1.00001 0 0 0 3.0000
令M = E v e c t '*E v e c t得： 可知特征向量没有相互正交。 给出结果为： 可知行列式等于特征值的积。 结果为： 可知矩阵的迹等于特征值的和。 如果矩阵A是实数矩阵，但是有复数特征值，那么这些特征值是以共轭复数的形式出现的。 如果[ X , D ] = e i g ( A )，可以用命令c d f 2 r d f将矩阵D转换为一个实数块对角矩阵。在对角线 上用一个2×2实数块代替共轭复数对。 命令集8 0 复对角矩阵变成实对角矩阵 [ Y , E ] = c d f 2 r d f ( X , D ) 将复对角矩阵D变成实对角矩阵E，Y的列不是A的特征向量。 ■ 例8 . 2 假设矩阵A为： 则运行[ X , D ] = e i g ( A )可得： 第8章 特征值和特征向量 1 1 5 下载 ■
116 China-pub.coM MATLAB5手册 下载 X和D都是复数矩阵，运行命令：[Y,E]=cdf2rdf(X,D),结果为： Y= 0.7071 0 0 00.7071 0 01.0000 E= 0 1 0 -1 0 0 0 3 所得的矩阵E正好是A矩阵。 ■ 注意特征向量是特征多项式det()I一A)=0的根，其中I是单位矩阵。用命令poly来求 特征多项式，参见11.1节。命令roots也可求得特征值，但是用命令eig求得的特征 值更准确，精度更高。 广义特征值问题就是找到方程组Ax=入Bx的重要解，其中B也是一个n×n的矩阵。入值和向 量x分别称为广义特征值和广义特征向量。 如果B是一个奇异矩阵，则用QZ算法来求解。 标准和广义特征值问题都属于矩阵多项式特征问题，都可以用命令polyeig来求它们的解。 命令集81 广义特征值和广义特征向量 eig(A,B) 返回一个含有广义特征值的向量，A和B都是方阵。 [X,D]=eig(A,B) 返回一个对角线上为广义特征值的对角矩阵D和矩阵X, X的列是相对应的特征向量，因此有AX=BXD。 [X,v]= 给出度为k的特征问题(A+A+入A+..+2A)x=0的特征值和 polyeig(A0,A1,,.·,特征向量。向量v的长度为nk,包含有特征值：nXk的矩阵 AK) X的列是特征向量。如果有A=A和A,=一I,那么这就是标 准特征值问题。 为了检查特征值的条件或者它的敏感性，可以计算出条件数cod(X)=KX-‖，矩阵X 的列是A的特征向量。条件数大表示坏条件，也就是对扰动很敏感。 为了检查特征向量的条件或者它的敏感性可以查看特征值，多个重复的特征值或者特征 值彼此相差很小就表示是坏条件问题。 ■例8.3 假设： 3.75 -0.5 -0.375 0.495 -1.37\ 0.25 2.5 0.375 -0.495 -0.63 A= 1.25 -0.5 2.875 0.495 -2.12 0.25 -0.5 -0.625 2.505 0.37 0.25 -0.5 -0.625 0.495 2.38 运行命令[XX,DD]=eig(A)结果为：
X和D都是复数矩阵，运行命令： [ Y , E ] = c d f 2 r d f ( X , D )，结果为： 所得的矩阵E正好是A矩阵。 注意 特征向量是特征多项式d e t (lI－A) = 0的根，其中I是单位矩阵。用命令p o l y来求 特征多项式，参见11 . 1节。命令r o o t s也可求得特征值，但是用命令 e i g求得的特征 值更准确，精度更高。 广义特征值问题就是找到方程组 A x=lB x的重要解，其中B也是一个n×n的矩阵。l值和向 量x分别称为广义特征值和广义特征向量。 如果B是一个奇异矩阵，则用Q Z算法来求解。 标准和广义特征值问题都属于矩阵多项式特征问题，都可以用命令p o l y e i g来求它们的解。 命令集8 1 广义特征值和广义特征向量 e i g ( A , B ) 返回一个含有广义特征值的向量， A和B都是方阵。 [ X , D ] = e i g ( A , B ) 返回一个对角线上为广义特征值的对角矩阵 D和矩阵 X， X的列是相对应的特征向量，因此有 A X=B X D。 [ X , v ] = 给出度为k的特征问题(A0+lA1+lA2+ . . . +l kAk)x = 0的特征值和 p o l y e i g ( A 0 , A 1 , . . . , 特征向量。向量v的长度为n k，包含有特征值；n×nk的矩阵 A K ) X的列是特征向量。如果有 A0=A和A1=－I，那么这就是标 准特征值问题。 为了检查特征值的条件或者它的敏感性，可以计算出条件数 c o n d (X) = | |X|| ||X－1 | |，矩阵X 的列是A的特征向量。条件数大表示坏条件，也就是对扰动很敏感。 为了检查特征向量的条件或者它的敏感性可以查看特征值，多个重复的特征值或者特征 值彼此相差很小就表示是坏条件问题。 ■ 例8 . 3 假设： 运行命令[XX, DD]=eig(A)，结果为： 1 1 6 M ATLAB 5 手册 下载 ■
China-bub.coM 第8章特征值和特征向量 117 下载 XX -0.0000 0.0000-0.44721 0.0000+0.4472i-0.4472 0.4472 0.5000 -0.0000+0.4472i -0.0000-0.4472i -0.4472-0.4472 0.5000 0.0000-0.4472i 0.0000+0.44721 -0.4472 0.4472 -0.5000 0.0000-0.44721 0.0000+0.4472i -0.4472-0.4472 -0.5000 0.0000-0.44721 0.0000+0.44721 -0.44720.4472 显然两个特征向量，列2和列3是复数。 DD 4.0000 0 0 0 0 03.0000+0.0000i 0 0 0 0 0 3.0000-0.00001 0 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 02.0100 从上可以看出特征值为2,2.01,3,3和4，可以知道这个特征值问题是一个坏条件问题。 输入badMatrix=cond(xX)可求得条件数： badMatrix 5.0156e+07 将这个数和例8.2中矩阵的特征值条件数niceMatrix=cond(X)比较： niceMatrix 1.0000 它们是不同的。 ■ 8.2上海森伯形式、QR和QZ因式分解 如果只求特征值和特征向量，推荐用上一节中提到的方法。然而，有时要求更详细了解 计算过程，可用在这一节和下一节中定义的命令来满足这样的要求。 如果矩陶的第一子对角线下元素都是零，则它是一个上海森伯但essenberg)矩阵。如果矩阵是 对称矩阵，则它的海森伯形式是对角三角阵。MATLAB可以通过相似变换将矩阵变换成这种形式。 命令集82 上海森伯形式 hess(A) 返回矩阵A的上海森伯形式。 [P,H]=hess(A)返回一个酉矩阵P和上海森伯矩阵H,使A=PHP和PP'=I。 在MATLAB中，QR算法是计算矩阵所有特征值的一种有效的数学方法，也可以用命令 e1g来求。在用这种方法时，建议将矩阵转换成相似的上海森伯形式，参见例8.4。 QR算法是基于QR因式分解的一种算法，每个m×n的矩阵A可以表示成： A=QR 其中Q是一个m×m的酉矩阵，R是一个m×的上三角矩阵。如果A是一个方阵，R也还是 这样的一个矩阵。当用命令qr时，会返回矩阵Q和R,也可参见例7.7。 命令集83 QR因式分解 [Q,R]=gr(A) 产生一个m×m的酉矩阵Q和一个m×n的上三角矩阵
显然两个特征向量，列2和列3是复数。 从上可以看出特征值为 2，2 . 0 1，3，3和4，可以知道这个特征值问题是一个坏条件问题。 输入b a d M a t r i x = c o n d ( X X )可求得条件数： 将这个数和例8 . 2中矩阵的特征值条件数n i c e M a t r i x = c o n d ( X )比较： 它们是不同的。 8.2 上海森伯形式、Q R和Q Z因式分解 如果只求特征值和特征向量，推荐用上一节中提到的方法。然而，有时要求更详细了解 计算过程，可用在这一节和下一节中定义的命令来满足这样的要求。 如果矩阵H的第一子对角线下元素都是零，则它是一个上海森伯(H e s s e n b e r g)矩阵。如果矩阵是 对称矩阵，则它的海森伯形式是对角三角阵。M AT L A B可以通过相似变换将矩阵变换成这种形式。 命令集8 2 上海森伯形式 h e s s ( A ) 返回矩阵A的上海森伯形式。 [ P , H ] = h e s s ( A ) 返回一个酉矩阵P和上海森伯矩阵H，使A=P H P ´和P P´ =I。 在M AT L A B中，Q R算法是计算矩阵所有特征值的一种有效的数学方法，也可以用命令 e i g来求。在用这种方法时，建议将矩阵转换成相似的上海森伯形式，参见例 8 . 4。 Q R算法是基于Q R因式分解的一种算法，每个 m×n的矩阵A可以表示成： A = Q R 其中Q是一个m×m的酉矩阵，R是一个m×n的上三角矩阵。如果A是一个方阵，R也还是 这样的一个矩阵。当用命令 q r时，会返回矩阵Q和R，也可参见例7 . 7。 命令集8 3 Q R因式分解 [ Q , R ] = q r ( A ) 产生一个 m×m的酉矩阵 Q和一个 m×n的上三角矩阵 第8章 特征值和特征向量 1 1 7 下载 ■