China-pub.com 下载 附录B线性代数中的定义和基本概念 这是对线性代数和矩阵代数基础的一个概要，MATLAB中也包含了用到的所有概念。 B.1向量 线性空间由可以进行加和数乘运算的向量组成。 线性空间R由列向量组成： X1 X2 2 y= : 其中，元素x和y为实数，长度为n。 在线性空间C中，元素可以为复数。 加法的定义是各元素分别相加： x1十y1 x2+2 x十y= xt十yn 数乘定义为各元素分别与数α相乘： 0x1 0x2 所有元素均为零的向量定义为零向量。 0 0 0 在线性空间的p个向量中，即x,x,…x的集合，如果至少有一个向量可以由其他向量 线性表示，则称这p个向量是线性相关的。 xp=a1X1十…+p-1xp-1 这里a为标量。 如果不能这样表示，则称这些向量线性无关。线性无关最通常的定义是：αx+α，x+… +a,x,=0成立，当且仅当a=0,==a,=0。 ■例B.1 向量
下载 附录B 线性代数中的定义和基本概念 这是对线性代数和矩阵代数基础的一个概要， M AT L A B中也包含了用到的所有概念。 B.1 向量 线性空间由可以进行加和数乘运算的向量组成。 线性空间R n由列向量组成： 其中，元素xk和yk为实数，长度为n。 在线性空间C n中，元素可以为复数。 加法的定义是各元素分别相加： 数乘定义为各元素分别与数a相乘： 所有元素均为零的向量定义为零向量。 在线性空间的p个向量中，即x1 , x2 , ……xp的集合，如果至少有一个向量可以由其他向量 线性表示，则称这p个向量是线性相关的。 这里ai为标量。 如果不能这样表示，则称这些向量线性无关。线性无关最通常的定义是： a1 x1 +a2 x2 +…… +ap xp = 0成立，当且仅当a1 =a2 =……=ap = 0。 ■ 例B . 1 向量
China-pub.com 附录B线性代数中的定义和基本概念 361 下载 =(Θ-（Θ-(） 在线性空间R中是线性无关的。 ■ 线性空间中线性无关向量的最大个数称为线性空间的维数。R和C的维数均为。注意： 在有些情况下认为C"是2维的更为方便，这样就能分成实部和虚部两部分。 线性空间的基指的是一些向量的集合，这个空间中所有的向量都能由这些向量线性表示。 基中向量的个数等于空间的维数。线性空间中有无穷多组基。 ■例B.2 在例B.1中的向量形成R和C3空间中的基。向量： 0 0 0 形成同样空间中更常用的基，有： X2 =x1e1+x2e2+x3e3 这是R空间中一个由基向量线性表示的任意向量。可用图B-1来表示说明。 图B-1向量和它的分量 ■ C中两个向量x和y的内积或点积，通常写作(x,y)或<x,y>,定义为： (x,y)= 如果严格限在R空间中，则x的复数共轭将是不必要的。可以使用下一节将要介绍的符号， (x,y)=xy。 C中向量的欧几里德范数xl,定义为： 川x3=(区，x)= ∑xP=xx i= 范数用来度量向量的大小或长度。还有许多其他范数，将在B.6节中介绍其中的一些范数。 如果(X,y)=0,则称两个向量x和y正交。 两个向量x和y之间的角度0是按下式来定义的： cos= (,y) x2yl2
在线性空间R n中是线性无关的。 线性空间中线性无关向量的最大个数称为线性空间的维数。 R n和C n的维数均为n。注意： 在有些情况下认为C n是2n维的更为方便，这样就能分成实部和虚部两部分。 线性空间的基指的是一些向量的集合，这个空间中所有的向量都能由这些向量线性表示。 基中向量的个数等于空间的维数。线性空间中有无穷多组基。 ■ 例B . 2 在例B . 1中的向量形成R 3和C 3空间中的基。向量： 形成同样空间中更常用的基，有： 这是R 3空间中一个由基向量线性表示的任意向量。可用图 B - 1来表示说明。 图B-1 向量和它的分量 Cn中两个向量x和y的内积或点积，通常写作(x, y)或<x, y>，定义为： 如果严格限在Rn空间中，则xi的复数共轭将是不必要的。可以使用下一节将要介绍的符号， (x, y) =x Hy。 Cn中向量的欧几里德范数| |x| |2定义为： 范数用来度量向量的大小或长度。还有许多其他范数，将在 B . 6节中介绍其中的一些范数。 如果(x, y) = 0，则称两个向量x和y正交。 两个向量x和y之间的角度 是按下式来定义的： 附录B 线性代数中的定义和基本概念 3 6 1 下载 ■ ■
362 MATLAB5手册 China-pub.com 下载 已经知道两个正交向量之间的夹角是π/2或90度，即两个向量是垂直的。零向量与任何向 量都正交。 如果非零向量集合x,X,,x中所有向量都正交，则它们构成正交系，其中的向量也是 线性无关的。因此，正交化比线性无关的条件更强。如果X,x,“,x形成一个正交系，并且 每个向量的欧氏范数均为1，则称为标准正交系。标准正交系中的向量有如下关系： 0j≠k (区j,X) 1 j=k ■例B.3 例B2中的向量e,e,e,构成R(和C)中的标准正交系。在标准的笛卡儿坐标系中，它们分 别代表x,y,z轴。 ■ 除了以列向量的形式定义外，还可以以行向量的形式定义上述所有概念。 V=(U1,2,·,vp) 但是，使用列向量有几个优点。 B.2矩阵介绍 矩阵是一个以行列形式排列的数字矩形数组。一个有m行n列的矩阵称为m×n矩阵。例如， 这里有一个2×3矩阵： (32)=( 11 a12a13 a22 a23 矩阵中的数字称为矩阵的元素或分量。如果矩阵命名为A,矩阵A的元素称为α，这里代 表行下标，代表列下标，即α代表行列的元素。 n×n矩阵称为方阵。 矩阵的大小由行数m和列数n给出。对于方阵来说，n有时也指矩阵的阶数。 矩阵中从左上角到右下角的对角线称为主对角线，主对角线上的元素称为对角元素，。从 右上角到左下角的对角线称为反对角线。主对角线上方和下方的对角线分别称为上对角线和 下对角线。 大小相同的两个矩阵相加定义为矩阵的各个元素分别相加。矩阵C=A+B,也就是元素c, at b 数乘的定义也是每个元素分别相乘。矩阵oaA的元素为aa。 矩阵乘法仅在左侧矩阵的列数等于右侧矩阵的行数时才有意义。矩阵C=AB是一个m×n 矩阵，这里A为mXp矩阵，B为pXn矩阵。 k=] 元素c为A中行和B中j列的内积。 即使AB有意义，但BA不一定有意义。如果A和B都是n阶方阵，那么AB和BA将都有意义， 但是通常AB≠BA。矩阵乘法是不可交换的。 n阶单位矩阵是一个n×n矩阵，其中除对角线上元素为1外，其余元素均为0，用I或I表示。 A矩阵乘单位矩阵，结果不变，因此有IA=A和AI=A
已经知道两个正交向量之间的夹角是 p/ 2或9 0度，即两个向量是垂直的。零向量与任何向 量都正交。 如果非零向量集合 x1 , x2 , …, xp中所有向量都正交，则它们构成正交系，其中的向量也是 线性无关的。因此，正交化比线性无关的条件更强。如果 x1 , x2 , …, xp形成一个正交系，并且 每个向量的欧氏范数均为1，则称为标准正交系。标准正交系中的向量有如下关系： ■ 例B . 3 例B . 2中的向量e1 , e2 , e3构成Rn (和Cn )中的标准正交系。在标准的笛卡儿坐标系中，它们分 别代表x, y, z轴。 除了以列向量的形式定义外，还可以以行向量的形式定义上述所有概念。 但是，使用列向量有几个优点。 B.2 矩阵介绍 矩阵是一个以行列形式排列的数字矩形数组。一个有 m行n列的矩阵称为m×n矩阵。例如， 这里有一个2×3矩阵： 矩阵中的数字称为矩阵的元素或分量。如果矩阵命名为 A，矩阵A的元素称为ai j，这里i代 表行下标，j代表列下标，即ai j代表i行j列的元素。 n×n矩阵称为方阵。 矩阵的大小由行数m和列数n给出。对于方阵来说，n有时也指矩阵的阶数。 矩阵中从左上角到右下角的对角线称为主对角线，主对角线上的元素称为对角元素 ai i。从 右上角到左下角的对角线称为反对角线。主对角线上方和下方的对角线分别称为上对角线和 下对角线。 大小相同的两个矩阵相加定义为矩阵的各个元素分别相加。矩阵 C=A+B，也就是元素ci j = ai j + bi j。 数乘的定义也是每个元素分别相乘。矩阵 aA的元素为aai j。 矩阵乘法仅在左侧矩阵的列数等于右侧矩阵的行数时才有意义。矩阵 C=A B是一个m×n 矩阵，这里A为m×p矩阵，B为p×n矩阵。 元素ci j为A中i行和B中j列的内积。 即使A B有意义，但B A不一定有意义。如果A和B都是n阶方阵，那么A B和B A将都有意义， 但是通常A B≠B A。矩阵乘法是不可交换的。 n阶单位矩阵是一个n×n矩阵，其中除对角线上元素为1外，其余元素均为0，用I或I n表示。 A矩阵乘单位矩阵，结果不变，因此有 I A=A和A I=A。 3 6 2 M ATLAB 5 手册 下载 ■
China-pub.com 附录B线性代数中的定义和基本概念 363 下载 列向量可看成是n×1矩阵，而行向量可看成是1×n矩阵。有时将一个标量看成1×1矩阵 也是十分有用的。 如果x是一个有n个分量的列向量，而A是一个n×n阶矩阵，那么Ax也是有n个分量的列向 量。这称为矩阵一向量乘法。 转置是将矩阵的行和列交换位置，转置运算符记做T。如果A是一个元素为a的m×n矩阵， 那么转置矩阵A是一个元素为a的n×m矩阵。转置也可以看成是这样：A的第1列作为转置矩 阵中的第1行，A的第2列作为转置矩阵中的第2行，依次类推。 矩阵的共轭是一个矩阵，其中的元素是原矩阵中复数元素的共轭。结果记做A。一个常 用的操作符是共轭转置，这将形成矩阵AT或等价的AT。该矩阵通常记做A“,A*,在 MATLAB中记做A'。 两个列向量x和y的内积常写成： (x,y)= i=l 欧氏范数可写成风，=西。注意：xy是一个标量，因为它是1×n阶矩阵和n1阶矩阵的 内积。相反，xy是一个n×n阶矩阵。 B.3矩阵概念 矩阵不只是一个数字的集合。一些重要而有用的数学概念都与矩阵有关。 矩阵A的秩，rank(A)是矩阵A中线性无关列的列数，并且总是等于矩阵A中线性无关行的 行数。如果A为m×n矩阵，则秩小于或等于min(m,n)。 方阵A的行列式，dt(A),是一个可以用不同方式定义和计算的标量。有下列结论： 1)det(A)=det(AT). 2)det(A)=det(A). 3)如果A中有两行相等，或某一行可由其他行线性表示，则dt(A)=0。对于A的列也有同 样的结论。 4)某行减去另一行与一个标量的乘积，行列式不变。对于列也有同样的结论。 5)交换任意两行，行列式变号。对于列也有同样的结论。 6)主对角线下方所有元素均为零的矩阵称为上三角矩阵，其行列式为主对角元素的乘积。 对于下三角矩阵也有同样的结论。 7)矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积。这是一个重要的乘法定理： det(AB)= det(A)det(B). 8)矩阵行列式的计算可用高斯消元法来很好地求得。 阶线性方程组可以记成如下明确的形式： a11x1+a12x2+...+aInxn=b1 a21x1+a22x2+··+a2nxn=b2 anlx1 a2nx2+...+annxn =bn 或用A=(a,,x=(,,…,x)和b=(b,bn…,b)来表示：
列向量可看成是 n×1矩阵，而行向量可看成是 1×n矩阵。有时将一个标量看成 1×1矩阵 也是十分有用的。 如果x是一个有n个分量的列向量，而 A是一个n×n阶矩阵，那么A x也是有n个分量的列向 量。这称为矩阵—向量乘法。 转置是将矩阵的行和列交换位置，转置运算符记做 T。如果A是一个元素为ai j的m×n矩阵， 那么转置矩阵AT是一个元素为aj i的n×m矩阵。转置也可以看成是这样： A的第1列作为转置矩 阵中的第1行，A的第2列作为转置矩阵中的第2行，依次类推。 矩阵的共轭是一个矩阵，其中的元素是原矩阵中复数元素的共轭。结果记做 。一个常 用的操作符是共轭转置，这将形成矩阵 或等价的 。该矩阵通常记做 AH，A*，在 M AT L A B中记做A¢。 两个列向量x和y的内积常写成： 欧氏范数可写成 。注意：x Hy是一个标量，因为它是 1×n阶矩阵和n×1阶矩阵的 内积。相反，x yH是一个n×n阶矩阵。 B.3 矩阵概念 矩阵不只是一个数字的集合。一些重要而有用的数学概念都与矩阵有关。 矩阵A的秩，r a n k(A)是矩阵A中线性无关列的列数，并且总是等于矩阵 A中线性无关行的 行数。如果A为m×n矩阵，则秩小于或等于m i n (m, n)。 方阵A的行列式，d e t ( A )，是一个可以用不同方式定义和计算的标量。有下列结论： 3) 如果A中有两行相等，或某一行可由其他行线性表示，则 d e t (A) = 0。对于A的列也有同 样的结论。 4) 某行减去另一行与一个标量的乘积，行列式不变。对于列也有同样的结论。 5) 交换任意两行，行列式变号。对于列也有同样的结论。 6) 主对角线下方所有元素均为零的矩阵称为上三角矩阵，其行列式为主对角元素的乘积。 对于下三角矩阵也有同样的结论。 7) 矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积。这是一个重要的乘法定理： d e t (A B) = d e t (A) d e t (B)。 8) 矩阵行列式的计算可用高斯消元法来很好地求得。 n阶线性方程组可以记成如下明确的形式： 或用A= (ai j )，x= (x1 , x2 , …，xn ) T和b= (b1 , b2 ,…，bn ) T来表示： x 2 = x H x 附录B 线性代数中的定义和基本概念 3 6 3 下载
364 MATLAB5手册 China-pub.com 下载 Ax=b 将向量a,a,,a看作A的列，该方程组可被写成如下的半压缩形式。 x1a1+x2a2+…+xnan=b 当且仅当det(A)≠O时方程组有唯一解。 mXn阶矩阵A的值域R(A)是A的列a,a,,a的所有线性的组合。这是一个线性空间， 并且R(A)的维数等于rank(A)。 矩阵A的零空间N(A)是所有使得Ax=0的向量集合，即齐次方程组的解。这也是一个线性 空间，并且维数等于m一rank(A)。 A的值域和零空间的定义同上。 方程系AX-I是一个矩阵方程，其中A是一个nXn矩阵，而I为n阶单位阵。使用符号x,x, …,，x和e=(1,0,…,0)',e=(0,1,…,0),…,e=(0,0,…,1)作为X和I的列，根据： X=(x1 x2 ..Xn)I=(el e2 ..en) 可以将矩阵方程写成线性方程组的集合： Axk=ek k=1,2,....n 当且仅当det(A)≠0时方程组有唯一的解。AX=I的解X被称为A的逆，记为A-, 有AA1=I和A1A=I。 逆的计算通常也使用高斯消元法。存在逆的矩阵称为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵。 方阵的特征值和特征向量可用如下的方程定义： Ax=Ix 这等价于齐次方程组： (A-1ID)x=0 对于每个矩阵A和入，向量x=0都是一个解。但是，如果dt(A一2I)≠0，则方程组还有非 零解。这些×≠0的解称为A的特征向量，相应的入，称为特征值或特征根。在复平面上A总有 个特征值入，入，，入。特征值和它相应的特征向量称为特征对。 函数p(仉)=det(A-入I)是入的n次多项式，也称为A的特征多项式。特征方程为p(久)=0。 总有这样的结论：矩阵多项式p(A)=O,这就是Cayley-Hamilton定理。 如果C为非奇异矩阵，A和B定义成B=C-AC,则称A和B为相似矩阵，A和B之间的变换 称为相似变换。相似变换不改变矩阵的特征值。 矩阵A的谱半径p(A)定义为max。 如果矩阵A、B的逆存在，则对逆、转置和共轭转置如下的式子成立： (AB)-I=B-1A-1如果所有的逆都存在 (AB)T =BTAT (AB)H BHAH 下面的等价链包含了上述的大部分定义。A为n阶方阵。 线性方程Ax=b有唯一的解 台 det(A≠0 台
A x = b 将向量a1 , a2 ,…，an看作A的列，该方程组可被写成如下的半压缩形式。 当且仅当d e t (A)≠0时方程组有唯一解。 m×n阶矩阵A的值域 (A)是A的列a1 , a2 ,…，an的所有线性的组合。这是一个线性空间， 并且 (A)的维数等于r a n k(A)。 矩阵A的零空间 (A)是所有使得A x = 0的向量集合，即齐次方程组的解。这也是一个线性 空间，并且维数等于m—r a n k(A)。 AT的值域和零空间的定义同上。 方程系A X = I是一个矩阵方程，其中 A是一个n×n矩阵，而I为n阶单位阵。使用符号 x1 , x2 , …，xn和e1 =(1, 0, …，0 ) T , e2 =(0, 1, …，0) T , …，en =(0, 0, …，1) T作为X和I的列，根据： 可以将矩阵方程写成线性方程组的集合： 当且仅当d e t (A) ¹ 0时方程组有唯一的解。A X = I的解X被称为A的逆，记为A－1 , 有A A－1=I和A－1A = I。 逆的计算通常也使用高斯消元法。存在逆的矩阵称为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵。 方阵的特征值和特征向量可用如下的方程定义： A x = l x 这等价于齐次方程组： (A－lI)x= 0 对于每个矩阵A和l，向量x = 0都是一个解。但是，如果 d e t (A－lI)≠0，则方程组还有非 零解。这些xk≠0的解称为A的特征向量，相应的 lk称为特征值或特征根。在复平面上 A总有n 个特征值l1 , l2 ,…，ln。特征值和它相应的特征向量称为特征对。 函数j(l) = d e t (A-lI )是l的n次多项式，也称为A的特征多项式。特征方程为 j(l) = 0。 总有这样的结论：矩阵多项式 (A) = 0，这就是C a y l e y - H a m i l t o n定理。 如果C为非奇异矩阵，A和B定义成B= C－1A C，则称A和B为相似矩阵，A和B之间的变换 称为相似变换。相似变换不改变矩阵的特征值。 矩阵A的谱半径r(A)定义为m a xi |li |。 如果矩阵A、B的逆存在，则对逆、转置和共轭转置如下的式子成立： 下面的等价链包含了上述的大部分定义。 A为n阶方阵。 3 6 4 M ATLAB 5 手册 下载 如果所有的逆都存在 线性方程A x=b有唯一的解 Û d e t ( A ¹ 0 Û