第四章态和力学量的表象 引大:三维空间中的一个矢量A,可在直角坐标系0XY下素示为 (Ax,Ay,Az),其中A(=xy,z)是A在三个坐标轴上的投影 同一夺矢量A也可以在另一个旋转b角(绕z轴的)直角坐 一标系OXY个表示为(A3,Ay,4x2) 可以用矩阵或线性方程组进行变换A矢量也可在球坐标系下 为(A,AA),与(Ax,Ny,Az)之间也可以作坐标变 换。一个矢量可以在不同的坐标系下表示,即有许多等价 的表示方式,可根据解決问题的方便需要来选择 终量子力学的状态和力学量的具体表达方式称为表象( reprentation 通过广义傅利叶变换,可以将(x)坐标表象的状态矢量变换为以 P,E等为变量的状态矢量,即变换到动量表象,能量表象,角动量 表象等
第四章 态和力学量的表象 引入：三维空间中的一个矢量 A ，可在直角坐标系OXYZ下表示为 （Ax，Ay，Az），其中Ai(i=x,y,z)是 A 在三个坐标轴上的投影。 同一个矢量 A 也可以在另一个旋转 角（绕Z 轴的）直角坐 标系O XYZ 下表示为（ A x, A y, A z ），二组投影分量之间 可以用矩阵或线性方程组进行变换。 A 矢量也可在球坐标系下 为（Ar，A A ），与（Ax，Ay，Az)之间也可以作坐标变 换。一个矢量可以在不同的坐标系下表示，即有许多等价 的表示方式，可根据解决问题的方便需要来选择。 量子力学的状态和力学量的具体表达方式称为表象（repreenstation) 通过广义傅利叶变换，可以将（x）坐标表象的状态矢量变换为以 P,E等为变量的状态矢量，即变换到动量表象，能量表象，角动量 表象等。 l 2
Chapter4.1态的表象 ,状态 用动量为变量的波函数描写 其中 (1) v(x,1)=c(P,0)y2(x)c px (2丌h (2丌h) c(p)=Jv(x(x,d简记:cp=(vnv) 归一化:Jv(x,)d=c(p=1
Chapter 4.1 态的表象 ( , ) x t ( , ) ( , ) ( ) , p x t c p t x dp = 一，状态 用动量为变量的波函数描写: 1, 其中 （1） 1 2 1 ( ) (2 ) i px p x e = 1 * 1 2 1 ( ) (2 ) px p x e − = * ( , ) ( ) ( , ) p c p t x x t dx = 2 2 | ( , ) | | ( , ) | 1, x t dx c p t dp = = 归一化： 简记：c(p)=( , ) p (2) (3)
c(p,1)粒子动量值在 中的几率。实际上 为同一状态V 在动量表象中的波函数。 2,具有确定动量值的p的自由粒子的态:v(xD)=v(x) g c(p, t=vp (xw, (x)eh pdx=8(P-ple if,>2) C(p 略去含时因子:c(p)=δ(P-p)p:变量P:确定值简记: c(p)=(p,p)=d(p-p) (5)或(6)是具有确定动量P的粒子的状态在动量表象中的表示。 3,具有确定坐标的粒子状态在坐标表象中的表示: xd(-x=xd(x-x ()也是坐标表象中坐标算符x的本征值方程
2 | ( , ) | c p tp p dp − + 粒子动量值在 中的几率。实际上 c p t ( , ) 为同一状态 在动量表象中的波函数。 2，具有确定动量值的 p 的自由粒子的态： ( , ) ( ) p i E t p x t x e − = (4) 则 , , , * , ( , ) ( ) ( ) ( ) p p i i E t E t p p c p t x x e dx p p e − − = = − (5) 略去含时因子： , c p p p ( ) ( ) = − p :变量 ' p ：确定值 简记： ' ' c p p p p p ( ) ( , ) ( ) = = − （5）或（6）是具有确定动量 的粒子的状态在动量表象中的表示。 ' p 3，具有确定坐标的粒子状态在坐标表象中的表示: , ' ' x x x x x x ( ) ( ) − = − (7) (6) (7)也是坐标表象中坐标算符 x 的本征值方程
,任意力学量①的表象中的状态v(x,)的表示 1,分立谱,例如无限深势阱中电子P,En,H原子中电子束缚态Enp1,谐振子 En设力学量①的算符Φ具有分立的本征值:Φ,2Φn 对应分立的本征函数:4(x)-2(x)n(x) 则可以用正交归一完全系{n(x)}将v(x,)展开为级数 (x,)=∑a()un(x)其中 ) =u,(x)y(r, t)dx 简记:n=(n2v 归一化 1=v(x,)=」∑a(02(x)1()1(x ∑an(ok()ji(x(x)=∑ai(k() ∑an()P=
二，任意力学量 的表象中的状态 ( , ) x t 的表示 1，分立谱，例如无限深势阱中电子 p E x n , ，H原子中电子束缚态 E n l 2 l z ,谐振子 E n ,设力学量 的算符 具有分立的本征值： 1 2``` ````` , n 对应分立的本征函数： 1 ``` 2 ``` ``` ( ) ( ) ( ) n u x u x u x 则可以用正交归一完全系 { ( )} u x n 将 ( , ) x t 展开为级数： * ( , ) ( ) ( ) ) ( ) ( , ) n n n n n x t a t u x a t u x x t dx = = 其中 简记： ( , ) n n a u = 归一化： 2 * * * * * * * * 2 1 | ( , ) | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) | 1 m m n n m n m n m n m n mn mn mn m mn x t dx a t u x a t u x dx a t a t u x u x dx a t a t a t = = = = = =
即若v(x)归一化,则an()也自然归一化。an是在(xO所描写的态中测量力学量 Φ所得结果为①的几率,间数列 (t),a2(t)…an()…就是v(x,1)所描写的态在Φ表象中的表示。写为 列矢量 (10) 其转置复共轭为:v=(a(1)a2(t)、an(t)…) (11) 十: dagger 归一化
即若 已归一化，则 也自然归一化。 是在 所描写的态中测量力学量 所得结果为 的几率，而数列 ( , ) x t ( ) m a t 2 | | n a ( , ) x t n 1 2 ```````` ```` ( ), ( ) ( ) n a t a t a t 就是 ( , ) x t 所描写的态在 表象中的表示。写为 列矢量： 1 2 ( ) ( ) ( ) n a t a t a t = (10) 其转置复共轭为： † * * * 1 2 ````` `````` ( ( ), ( ) ( ) ) n = a t a t a t (11) † ：dagger 归一化： † =1