§3.5厄密算符本征函数的正交性 属于动量算符不同本征值得两 个本征函数v和vp互相正交: dt=s p-p P≠ dT=o (2) 引入函数的标积: yiyan (3) 则(1),(2)两式可以简化记为
§3.5 厄密算符本征函数的正交性 一、属于动量算符不同本征值得两 个本征函数 p 和 p 互相正交： ( ) (1) p p d p p = − , 0 (2) p p d p p = 引入函数的标积： 则(1),(2)两式可以简化记为： ( 1, 2 1 2 ) d (3) = ( p p , (1) ) = − ( p p )
当p≠p(vw)=0 动量算符是厄密算符,量子力学中表示力学量 的算符都是厄密算符,它们的本征值是实数。以上正 交性(vv)=0仅是厄密算符本征函数正交性的 个特例 定理:属于厄密算符不同本征值的两个本 征函数互相正交 证 F=9(1) F=4(2) k关,则关()=4(
当 动量算符是厄密算符，量子力学中表示力学量 的算符都是厄密算符，它们的本征值是实数。以上正 交性 仅是厄密算符本征函数正交性的一 个特例 : , 0 ( ( ) 2) p p p p = ( p p , 0 ) = 二、定理：属于厄密算符不同本征值的两个本 征函数互相正交。 证： (1) (2) F F k k k l l l = = , (1) k l F l k k k k ( ) 当 = 则
又一=厄密的本征值为实数 (1)式右乘,积分: ∫()9dr==jp(3) 简记:(F,)=2(,) (2)式左乘 ∫4厂d=列dr (4) 简记:(,F的)=1(3,) 根据厄密算符的定义 ∫Fdz=∫(F以)的=4dr (5) 简记:(,F()=(F,)
又 （厄密的本征值为实数） （1）式右乘 ，积分： 简记： （2）式左乘 ： 简记： 根据厄密算符的定义 简记： k k = ( ) (3) F d d d k l k k l k k l = = l (F k l k k l , , ) = ( ) k (4) k l l k l F d d = ( k l l k l , , F ) = ( ) ( ) (5) k l k l k k l F d F d d = = ( k l k l , , F F ) = ( )
联立(4)、(5)聊: dgdr=入k ∫ kOdt (3)=(4)=(5) 简记:(,)=x(,4) (6)式移项: (41-k)(cd=0 (6) 简写 (-2)(,)=0 而4≠,必有 ∫疾9dz=0(7) 简写 (,9)=0 或表示为: ddt=Su(8)
联立（4）、（5）即： 简记： (6)式移项： 简写： 而 ，必有 简写： 或表示为： , (3)=(4)=(5) l k l k k l d d = l k l k k l ( , , ) = ( ) ( ) 0 (6) l k k ld − = ( l k k l − = )( , 0 ) l k 0 (7) k ld = ( k l , 0 ) = (8) k l kl d =
其中 kronk8符号 k 0k≠0 如果F的本征值不分立,而是构成连续谱。则本 征函数{可以归化为δ函数: ∫9dz=(2-2)(10) 例如动量算符本征函数 ∫ y,,, dt=(p-p) 2正交归一本征函数一例:无限深市阱vn(x) 能量本征函数 n sin (x+a x<a a 2 x≤a
其中kronk 符号 如果 的本征值不分立，而是构成连续谱。则本 征函数 可以归化为 函数： 例如动量算符本征函数 2.正交归一本征函数一例：无限深市阱 能量本征函数 1 k=0 (9) 0 k 0 kl = F l d ( ) (10) = − ( ) p p d p p = − n ( x) ( ) ( ) ( ) 1 sin 2 (11) 0 n x n x n x a x a a a x a = + =