2.1线性系统的时域模型 EG2图2表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。 其中k是弹簧系数,m是运动部件质量,是阻尼器的阻尼系数;外 力f(t)是系统的输入量,位移y(t)是系统的输出量。试确定系统的 微分方程 解根据牛顿运动定律,运动部件在外力作用下克服弹黉拉力 k0(0、阳尼器的阳力pQ,将产生加速度力m dt 10所以系统的运动方程为 y +-,+ky()=f(t) 图2机械阻尼器 比较表达式EG1和EG2可以发现,两个不同的物理系统 具有相同形式的运动方程,即具有相同的数学模型。 xtwang@mailxidian.edu.cn
2.1 线性系统的时域模型 xtwang@mail.xidian.edu.cn • EG2.图2表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。 其中k是弹簧系数, m是运动部件质量,μ是阻尼器的阻尼系数;外 力f(t)是系统的输入量,位移y(t)是系统的输出量。试确定系统的 微分方程。 m f(t) k y(t) 图2 机械阻尼器 解 根据牛顿运动定律, 运动部件在外力作用下克服弹簧拉力 ky(t)、阻尼器的阻力 , 将产生加速度力 dt dy(t) 2 2 ( ) dt d y t m 所以系统的运动方程为 ( ) ( ) ( ) 2 2 k y t f t dt dy t dt d y m + + = 比较表达式EG1和EG2可以发现, 两个不同的物理系统 具有相同形式的运动方程, 即具有相同的数学模型
2.1线性系统的时域模型 EG3电气系统:图3是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈电 路电压u(0和u(4分别表示输入量和输出量试确定这个电路的 微分方程式。 理想运算放大器 4(0 正反相输入端电位相同 输入端电流为零=0 (D) R 图2-4电容负反馈电路 根据基尔霍夫电流定律有L2+2=0 u, (t +o R 整理后得Rat() -l1(t) 阶系统 xtwang@mailxidian.edu.cn 历毛子种技太字 XIDIAN UNIVERSITY
△ ∞ ＋ － ui (t) C uo (t) R R 2.1 线性系统的时域模型 • EG3 电气系统：图3是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈电 路,电压ui (t)和uo (t)分别表示输入量和输出量, 试确定这个电路的 微分方程式。 xtwang@mail.xidian.edu.cn 图 2-4 电容负反馈电路 理想运算放大器 • 正反相输入端电位相同 • 输入端电流为零 根据基尔霍夫电流定律有 0 ( ) ( ) + = dt du t C R u t i o 整理后得 ( ) ( ) u t dt du t RC i o = − 一阶系统 1 i 2 i3 i 1 i = 0 2 3 i i + = 0
2.1线性系统的时城模型 在工程实际中大多数系统是非线性的。 比如弹簧的刚度与其形变有关系因此弹黉系数k实际上是其位移 的函数,而并非常数电阻、电容和电感等参数值与周围的环境(温度、 湿度、压力等及流经它们的电流有关,也并非常值;电动机本身的摩擦、 死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程。 非线性系统的分析一般比线性系统复杂。 但是当控制系统在围绕平衡点附近的小范围內动作时,通常采用泰勒 级数展开的方法可将非线性系统线性化为平衡点附近的线性系统, 从而使问题简化。 xtwang@mailxidian.edu.cn
2.1 线性系统的时域模型 xtwang@mail.xidian.edu.cn •在工程实际中,大多数系统是非线性的。 • 比如, 弹簧的刚度与其形变有关系, 因此弹簧系数k实际上是其位移 的函数, 而并非常数; 电阻、电容和电感等参数值与周围的环境(温度、 湿度、压力等)及流经它们的电流有关, 也并非常值;电动机本身的摩擦、 死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程。 • 非线性系统的分析一般比线性系统复杂。 但是当控制系统在围绕平衡点附近的小范围内动作时,通常采用泰勒 级数展开的方法,可将非线性系统线性化为平衡点附近的线性系统, 从而使问题简化
2.2线性系统的传递函数 ●221拉普拉斯变换 1.拉氏变换的定义 若将实变量t的函数f4乘上指数函数e其中s=a+ja是一个复 数),并且在[0,+0]上对积分,就可以得到一个新的函数尺s称F(s 为f(的拉氏变换并用符号L[f4)]表示。 F(s)=L[f(]=f()es"dt 拉氏变换将原来的实变量函数几转化为复变量函数S)。 将尺$称作f的象函数将f4称作尺S)的原函数。 xtwang@mailxidian.edu.cn 历毛子种技太字 XIDIAN UNIVERSITY
2.2 线性系统的传递函数 • 2.2.1 拉普拉斯变换 xtwang@mail.xidian.edu.cn 1. 若将实变量t的函数f(t)乘上指数函数e -st (其中s=σ+jω是一个复 数), 并且在［0,+∞］上对t积分, 就可以得到一个新的函数F(s),称F(s) 为f(t)的拉氏变换,并用符号L［f(t)］表示。 F s L f t f t e dt −st + ( ) = [ ( )] = ( ) 0 拉氏变换将原来的实变量函数f(t)转化为复变量函数F(s)。 将F(s)称作f(t)的象函数, 将f(t)称作F(s)的原函数
2.2线性系统的传递函数 L变换重要定理 (1)线性性质[f()±bf2(小]=aF1(±bF1S (2)微分定理Lf()-=F(s)-f(0) 3)积分定理4/0 F(s)+ S 4实位移定理[f(t-zn) 一tS F(S) (5)复位移定理 lle f(t=F(s-A) 6)初值定理imf(t)=lims·F(s) t-0 (7)终值定理imf(t)=ims·F(s) 0 xtwang@mailxidian.edu.cn
2.2 线性系统的传递函数 xtwang@mail.xidian.edu.cn （2）微分定理 L变换重要定理 （5）复位移定理 （1）线性性质 （3）积分定理 （4）实位移定理 （6）初值定理 （7）终值定理 La f (t) b f (t) aF(s) bF (s) 1 2 = 1 2 Lf (t)= sF(s)− f (0) ( ) ( ) ( ) (0) 1 1 -1 f s F s s L f t dt = + ( ) ( ) 0 L f t e F s τ s − = − Le f (t) F(s A) A t = − lim ( ) lim ( ) 0 f t s F s t s = → → lim ( ) lim ( ) 0 f t s F s t s = → →