University of Electronic Science and Technology of China 1.矩形波导的马卡悌里近似方法 956 进一步地，将3-13,3-14式代入3-8式，便可得到主要的 电场分量E所满足的波动方程， ∂2Ex 0x2 E+k(6-N2)E,=0 y1 (3-15) 导模的场分布可通过在各个区域中求解上式，并利用边界 连续条件得到。然后通过3-10,3-12,3-13及3-14便可得到 其它的场分量。3-15还可写为 E-NE:=0 2 16
University of Electronic Science and Technology of China 16 导模的场分布可通过在各个区域中求解上式，并利用边界 连续条件得到。然后通过3-10,3-12,3-13及3-14便可得到 其它的场分量。3-15还可写为 ( ) 0 2 2 2 0 2 2 2 + − = + r x x x k N E y E x E (3-15) 1. 矩形波导的马卡悌里近似方法 进一步地，将3-13,3-14式代入3-8式，便可得到主要的 电场分量Ex所满足的波动方程， [ ( , ) ] 0 2 2 2 2 0 2 2 2 + − = + x x x k n x y N E y E x E
University of Electronic Science and Technology of China ，矩形波导的马卡悌里近似方法 求解波动方程，得到波导各区域场分布解析式 考虑到导模场量在波导各个区域的特征（芯层中为振荡函 数，包层中呈指数衰减)，因此无需求解3-15式，而是直 接写出区域R1-R5的场分布函数如下，可以验证它们都是 方程3-15的解。 E =Cicos(kx+)cos(ky+e),(RI) (3-16) =C2cos(kx+px)exp-a2(y-b川，(R2)(3-17) =C3exp-,(x-alc0s(kJy+p,),(R3)(3-18) =C4cos(kx+px)expla4(y+b)川，(R4) (3-19) =Cs explas(x+a)]cos(ky+),(R5) (3-20) 17
University of Electronic Science and Technology of China 17 1. 矩形波导的马卡悌里近似方法 考虑到导模场量在波导各个区域的特征（芯层中为振荡函 数，包层中呈指数衰减），因此无需求解3-15式，而是直 接写出区域R1-R5的场分布函数如下，可以验证它们都是 方程3-15的解。 (3-16) (3-18) (3-20) (3-17) (3-19) exp[ ( )]cos( ), ( 5) cos( )exp[ ( )], ( 4) exp[ ( )]cos( ), ( 3) cos( )exp[ ( )], ( 2) cos( )cos( ), ( 1) 5 5 4 4 3 3 2 2 1 C x a k y R C k x y b R C x a k y R C k x y b R E C k x k y R y y x x y y x x x x x y y = + + = + + = − − + = + − − = + + ② 求解波动方程，得到波导各区域场分布解析式
University of Electronic Science and Technology of China 1.矩形波导的马卡悌里近似方法 1956 上式中，=1,2,3,4,5，Ex代表在R1到R5等不同区域中的场 分布，2，，4，%分别是包层区域R2,R3,R4,R5 中的场量沿垂直于分界面方向的衰减常数，这些特征参数 满足关系 k++B2=kon (3-21) k2-a2+B2=kong (3-22) -a3+k子+B2=kn (3-23) k-a+B2=kn好 (3-24) -a+ki+B2=kong (3-25) 18
University of Electronic Science and Technology of China 18 1. 矩形波导的马卡悌里近似方法 上式中，i=1,2,3,4,5，Eix代表在R1到R5等不同区域中的场 分布，2，3，4，5分别是包层区域R2， R3， R4， R5 中的场量沿垂直于分界面方向的衰减常数，这些特征参数 满足关系 2 1 2 0 2 2 2 kx + ky + = k n (3-21) (3-23) (3-25) (3-22) (3-24) 2 3 2 0 2 2 2 −3 + ky + = k n 2 2 2 0 2 2 2 2 kx − + = k n 2 4 2 0 2 2 4 2 kx − + = k n 2 5 2 0 2 2 2 −5 + ky + = k n
University of Electronic Science and Technology of China ，矩形波导的马卡悌里近似方法 根据边界条件，得到导模色散方程 a) 在y=b的边界面上有： E1x=E2x(3-26) Hi H2z (3-27) 根据3-26式，将y=b代入3-16与3-17式，得： Ci cos(kb+y)=C2 (3-28) 根据3-27式，先利用3-14,3-16及3-17式计算H1z与H2z, 然后将y=b分别代入，可得： Cik,sin(k,b+)=C2az (3-29) 利用3-29及3-28两式可得ak,b+9,)= (3-30) 国此k6+9,=arca管+a-l,(a=l23）3-31) 19
University of Electronic Science and Technology of China 19 1. 矩形波导的马卡悌里近似方法 (3-29) (3-28) a) 在y=b的边界面上有： E1x = E2 x 根据3-26式，将y=b代入3-16与3-17式，得： 1 2 C cos(ky b + y ) = C H1z = H2z (3-27) (3-26) 根据3-27式，先利用3-14，3-16及3-17式计算H1z与 H2z ， 然后将y=b分别代入，可得： 1 2 2 C ky sin(ky b + y ) = C ③ 根据边界条件，得到导模色散方程 利用3-29及3-28两式可得 y y y k k b 2 tan( ) + = (3-30) 因此 arctan( ) ( 1) , ( 1,2,3...) 2 + = + n − n = k k b y y y (3-31)
University of Electronic Science and Technology of China 1.矩形波导的马卡悌里近似方法 1956 kb+g,=aru经+(a-,a=l2.3）3-31） 注意这里整数是从1开始，而不是类似于平板波导一样从 0开始，这是因为我们遵从了马卡悌里对矩形波导的模的 定义。平板波导的最低阶模（基模)是TE,或TM。而根 据马卡悌里的定义在矩形波导里则是E或E,这里下标 分别代表模式电场矢量沿x与y-轴方向的峰值数。 20
University of Electronic Science and Technology of China 20 1. 矩形波导的马卡悌里近似方法 注意这里整数n是从1开始，而不是类似于平板波导一样从 0开始，这是因为我们遵从了马卡悌里对矩形波导的模的 定义。平板波导的最低阶模（基模）是TE0 或TM0。而根 据马卡悌里的定义在矩形波导里则是Ex 11或Ey 11，这里下标 分别代表模式电场矢量沿x-与y-轴方向的峰值数。 arctan( ) ( 1) , ( 1,2,3...) 2 + = + n − n = k k b y y y (3-31)