推论 如果幂级数∑anx”不是仅在x=0一点收敛,也 n=0 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 c的正数R存在,它具有下列性质: 当x<R时,幂级数绝对收敛; 工工工 当x>R时幂级数发散; 当x=R与x=-R时幂级数可能收敛也可能发散 上页
如果幂级数 n=0 n an x 不是仅在x = 0一点收敛,也 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 推论
定义:正数R称为幂级数的收敛半径 c幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 T GR,R),I-R, R),(R,RI, I-R, RI 王规定()幂级数只在x=0处收敛 R=0,收敛区间x=0; (2)幂级数对一切都收敛, R=+∞,收敛区间(-∞,+∞) 牛问题如何求幂级数的收敛半径? 上页
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. R = 0, [−R,R), (−R,R], [−R,R]. 规定 R = +, 收敛区间x = 0; 收敛区间(−,+). 问题 如何求幂级数的收敛半径? (−R,R), (1) 幂级数只在x = 0处收敛, (2) 幂级数对一切x 都收敛
定理2如果幂级数∑anx"的所有系数an≠0, H=0 王设mbH1=p(或 lima=p) 王()则当P≠0时R=;(2)当p=0时R=+∞; (3)当p=+时,R=0. 王证明对级数∑n“应用达朗贝尔判别法 n+1 …,x li n+1 m=lim n+ lx=plx, n→>∞0aLnX n n->0a 上页
定理 2 如果幂级数 n=0 n an x 的所有系数an 0, 设 = + → n n n a a 1 lim (或 = → n n n lim a ) (1) 则当 0时, = 1 R ; (3) 当 = +时,R = 0. (2) 当 = 0时,R = + ; 证明 对级数 应用达朗贝尔判别法 n=0 n an x n n n n n a x a x 1 1 lim + + → x a a n n n 1 lim + → = = x