第三章薛定谔方程及其应用 212=1x2-1v()x1 (3.3.1) 其共轭方程是 21-2m2+hVx)(x,) 注我们假设v(x)是实函数)积分厂x,)dx必须是有限的,于是我们得到 lm|4(x,)1=lmx)12=0,ln2x2=lmn2x2=0(3.) 所以(x)的时间微商是 2=厂“(x,)x)=厂.210以x,b+厂(x)xd 将薛定谔方程及其共轭方程代入上积分给出 d(x) ihr" a2 史(xy(x,t)dx+ φ'(x,t)V(x)ψx,t) (x,t)x°x1 φ(x,t)V(x)叭x,t)dx (x, t)x t (3.3.4) 分部积分给出 品12,∫ f J- artp(a, t)]dr [φ(x,t)x (3.3.5) 应用(33.2),第一项和第三项等于零;于是,我们有 2=21[2(x,)-了,22坐2 228412d+门“(x,02d (33.6) 最后第一项分项分部积分给出 2-2块[“(x,Dx,:+p(x,2g) 刀J厂“(x,)2:2da=1(的 (3.3.7) (b)考虑(p)的时间微商 I, Ld φ(x,)2x, dx(3.3.8) 因为ψ(x,t)具有光滑导数在第二项可以交换对时间和空间的求导次序应用薛定谔方程,(338)变 为 42=-5广型:2d+广vy(,)2 p(x,t)V(x)(x1)]dz(33.9) 第一项分部积分给出
26 量子力学 (=到:1山d-厘[(Bx22y,-门2e2d 应用(3.3,2),我们得到 2 再次分部积分,给出 把m (x12 p'(x, t) dx=[ yo(x,t)as ed 回到(3.3.9),最后我们有 2 I V()y(x, t)pc 3r -o '(r,d)dx p(r,t)dx dv(x) ∫.9(x;)v(x)252ax=(-#y (3.3.13) 34考虑函数ψ(r,t)描述的粒子,计算时间偏导数n2,这里g(,)是概率密度,证 明连续性方程,12+v·J(r,t)=0是正确的,这里J(r,)是概率流等于LRe 矿:应用薛定谔方程 i=-可训(r,t)+v(r,t)(r,t) 假设v(x)是实函数薛定调方程的共轭方程是 h2D-y(r,)+vr;)"(r,) 根据p(r,t)的定义,p(r,t)=ψ'(r,t)yr,t),所以 p(r, t) (r,t)+y'{r,t) 应用(34,1)及其共轭我们得到 2n2=[2;(r,)]-r)-vr)s(,), (r,t[: 9(r,D] 【yp(r,t)V(r,t)-叭(r,t)四邹'(r,t) (3.43) 我们使 J(,)=2“(v)-=2;“(,2)r,-w,v(,)】(34 利用定理v·(UA)=(vU)·A+U(V·A),有 )·(4)+φ(四-(Vy)·(v) 2“一妒” 于是有
第三章薛定谔方程及其应用 ,+v·J(r,t)=0 (34.6) 3.5考虑波函数 (x,t)=[aearlk+ Be r/]- 2m 求出该波函数相应的概率流 解概率流定义为 (3.5.2) φ的复共轭是ψ(x,t)=(A'em+B'em')en;于是直接计算得到 B'e")(#4c--B A·e+1B'em)Aem+Be) =pL(A12-A' A/+AB. ipar/A-1 B 12) (-1A12-A'Be2+AB'e+|B12)] =E(A2-1B2) (3.5.3) 注意该波函数以(x,t)表示沿相反方向运动的两股粒子流的叠加每股粒子流在大小上是常量和 时间无关的,e 项意味着粒子的能量是p212m,概率流的振幅是A和B 36证明对一维平方可积波包,有 j(r)d (3.6.1) 这里j(x)是概率流 证新:考虑积分」1x:)=dx,该积分是有定义的,于是我们有ln|(x,t)2=0,所以 j(r)dr ψ axpx,t)ao(x,t) 分部积分给出 (x,t) a(I, c2 c y(x,t)中(x,t) 3x,t) y(z,t)这 (36.3) 因为我们有 φ(x,t)1 (364) 37质量为m的粒子约束在一维势V(x)中设在某些区域V(x)是常数v(x)=V.在这 些区域,求(a)E>V,(b)E<V和(c)E=V三种情况下粒子的定态波函数,这里E是 粒子的能量 (a)定态波函数是方程 A234(z)+ v(r)=E(r) (37.1) 的解对于E>V我们用定义h2k2/2m=E一V引入正的常数k,于是有 a中 +k2中(x)-0 (3.7.2)
量子力学 方程的解可以写成 中(x)=Ae*+Ae (373) 的形式,这里的A是A'是任意复常数 (b)我们用定义h2p212m=V-E引人正的常数P,于是可以将(3.71)写为 a2卓(x) p2纠(x)=0 (3.7.4) (3.74)的一般解是∮x)=Be+B'e",这里B和B是任意复常数 (c)当E=V,我们虮x)=0于是(x)是x的线性函数∮(x)=Cx+C,这里C和C是复常数 38质量为m的粒子被限制在宽为a的一维无穷深势阱中 号≤x≤2 求出哈密顿量的本征态(即定态波函数)和相应的本征能量 解对x>a12和x<a/2势为无夯大所以在阱外不可能找到粒子这意味着 在区间-a2≤x≤a/2势为常数,V(x)=0因而我们可以用问题37的结果我们区分开关于能 量E的三种可能性如同在问题37中(a)一样,当E>0我们定义正常数k,h2k2/2m=E;于是我们 有x)=Ae*+A'e“,加上连续性条件,得到 IAe"2+A'e如=0,ⅡAeh2+Ae=0 (38.3) (3831)乘以得到A'=-Ae,将A'代入(38.3Ⅱ)得到 (38.4) (38.4)乘以eb2并除以A[A≠0,否则ψ(x)=0],我们得到 e=0.使用关系式e= cosa t sina,我们有-2in(k)=0最后的关系式仅当k=n时成立,这里m是整数另外,因为k 须是正数,n也必须是正数我们看到粒子可能的正值能量是 E、2A2 () xAn (38.5) 相应本征函数是 e n t Ae- (n=1,2,…) (3.8.6) 其中C是归一化常数由积分式 =n[x(-号 (387) 给出设y=2-1,则=ga,(38.7变为 号 号(3.8.8) 所以,C=√2/a,最后 现在考虑E<0的情况如同问题37(b),我们引入正的常数p,2p212m=-E定态波函数应当是 y(x)=B+B'e,施加边界条件,我们得到
第三章薛定谔方程及其应用 I Beo:+B'ea/2=0, I Be l2+Be 2=0 (38.10) (38.10I)乘以e得到B'=-Be",于是Bem2-Be"em=0,乘以m并除以B,我们得到 1-e=0,因而2a=0,因为P必须是正数不存在相应于负能量的态 最后我们考虑E=0的情况根据题37(c)我们有态函数y(x)=Cx+C,施加边界条件得到 C号+C=0, 解此方程组,得到C=C=0,于是,结论是:不存在能量E=0的态 9参看问题3.8在t=0,粒子处于两个基态波函数线性组合描述的态 (3.9.1) (a)求出含时波函数(x,t)并计算x与p2作为时间函数的平均值 (b)验证 Ehrenfest定理md2=(P 解:(a)考虑问题3.1的(c),定态含时波函数形为 (3.9.2) 随后,应用叠加原理给出 p(x,t)=∞1(x,t)+陋(x,t) V2-(2-)(2m)]+12(2-)-()] (3.9.3) 计算积分 中(x,t)x(x,t)dx a"(x,t)+日`(x,t)x(x,t)+陣2(x,t)]dr …214(,d+门21.(x)中+2[时()(xx] (39.4) 分别计算每一个积分 1≡x|向(x,t)2d 设y=正一,则=红,代人上式于是有 4,f(2y 1)sin?(r ldy=2a/, yin?(xy)dy+al sin'(ry )dy (3.9.6 积分结果给出 ;=2a -5+=0(3.97) 重复上述步骤,可以证明 l2 y2(x,t)2 2(a-1)l 注惠这个结果也可以用不同的力法得到函数()=s(2(-1)是x的偶函数 f(-x)=sin2n( a-1)-[s(+)]=[(2(a+是)+2x) (39.9)