量子力学 a(r, t) =-V认(r,t)+V(r)(r,t) 做分离变数y(r,t)=中(r)x(t),我们有x(t)=Ae"(A和a均为常数),这里ψ(r)必 须满足方程 多(r)+V(r)中(r)=hap(r) 这里和a是状态的能量E(参看例题3.1)这就是定态的薛定谔方程,这里形为 p(r,t)=5( ∮(r)e 的波函数称为薛定谔方程的定态解,因为在这种情况下,概率密度不依赖于时间[参看问题3.1 (b)].设在时间t=0,我们有 (r,0)=∑中(r) (3.9 这里中(r)是定态解ψ(r,t)=∮(r)e-的空间部分在这种情况,根据叠加原理,y(r,0)时 间演变由 ψ(r,t)=∑( 来描述对于自由粒子,我们有v(r,t)=0,形为 w(r,t) 的解满足薛定谔方程这里A是常数,k和a满足关系式=22m,这种形式的解称为平面 波注意因为这个ψ(r,t)不是平方可积的,它们不可能严格地代表一个粒子.但在另一方面 平面波的叠加可以产生一个表达式,它是平方可积的因而能描述粒于的动力学性质形为 r.t g(k)ekir-wtehrd'k (3.12) 的波函数称为波包我们经常研究一维波包 (3.13) 34波函数的标量积算符 对于每一对波函数我们用如下的定义将一个复数与它们联系起来 (中,4)=中(r)y(r)d (3.14) 这里(φ,)是g(r)和ψ(r)的标量积参看第二章) 一个算符A作用到波函数卢(r)产生另一个波函数y(r)如果这种对应是线性的,即对 任意复数a1和a2,都有 A[a11(r)+a2y2(r)]=a1A1(r)+a2A中2(r) (3.15) 那么算符A就称为线性算符有两组算符是非常重要的: (a)空间算符X、Y和z,定义为 Xp(x,y, 2, t)= xb(r,y, z, t) (r,y,e, t)= yp(x, y, 3,t) (3.16)
第二章薛定谔方程及其应, (b)动量算符p,,和p2,定义为 pp(x,y,2,)=方 arp(,y,z,t) p中(x,y,z,t)= T, y, 2, t) P( 算符A在态ψ(r)的平均值定义为 (A)=y(r)[Ay(r)Jdr (3.18) 均方差定义为 △A=√〈A2)-〈A 这里A2是算符A·A 考虑称为粒子哈密顿量的算符,它被定义为 H=-A+V(r, 2=P+ v(r,t (3.20) 这里p2是算符p2+p2+P2的缩写应用该算符公式薛定谔方程写成 i =地ψp(r,t) 如果势能是时间无关的定态解必须满足方程 (r)=E(r) 这里E是实数,称为态的能量.方程(3.22)是算符H的本征值方程,算符H作用于本征函数 中(r)产生同样的函数乘以相应的本征值E.因而,容许的能量就是算符H的本征值 35概率密度和概率流 考虑一个用归一化波函数ψ(r,t)描述的粒子概率密度定义为 P(r,t)=ly(r, t)I2 在时刻t在位于r的无限小体积元dr内找到粒子的概率dP(r,t)等于 (r, t)=p(r, t)d'r (3.24) p(r,t)对整个空间的积分在所有时间都保持常数注意,这并不意味着在任何点r处概 率密度p(r,t)一定是时间无关的更何况局部的概率守恒还可以用连续性方程的形式表示 +V·J(r,t)=0 这里J(r,t)是概率流,定义为 J(r,1)≈b[4V-(“)=Re“(v 考虑空间被势阱,或势垒隔开的两个区域,这两个区域的势为常数,参看图3-1 我们定义透射和反射系数如下:假设粒子(或粒子流)从区域Ⅰ穿过势阱(成势垒)到达区 域Ⅱ.在一般情况,定态波函数将包括三个部分在区域I,态由概率流为J1的入射波和概率
22 子力学 Ⅱ 图31(a)势阱;(b)势垒 流为J的反射流组成在区域Ⅱ有概率流为Jr的透射波 反射系数定义为 R 3.27) 透射系数定义为 例题解答 3.1考虑一个粒子受不含时势V(r)的束缚.(a)设粒子的态用形为ψ(r,t)=(r)x(t)的 波函数描述证明x(t)=Ae(A是常数),而弧r)必须满足方程 2mVp(r)+v()∮(r)=e() (3.1.1) 这里m是粒子质量.(b)证明(a)中薛定谔方程的解导致时间无关的概率密度 证:(a)我们将ψ(r,1)=纠()x()代人薛定方程 (,)+c2-x(2[-2vg)+x(V()(n) (3.1.2) 在波函数不为零的区域(3.12)两边同除以r)x(t),得到 in dx(t) ()dr!-2m (r)+v(r) (3.1.3) 方程(313)的左边只是时间t的函数和r无关另一方面方程的右边仅是r的函数因而(3.19)的 两边既不依于r又不依赖于:因而只能是常数为方便令其等于韧,所以 xIt)a d[iny(o), 于是 lnx(t)=-iodt=-iawt+C-x(r)=Ae" (3.1.5) 这里A是常数将x(t)=Ae“代人(3,13)中(r)必须满足方程 2m 8(r)+ v(r)9(r)= haP(r) (3.1.6) (b)对于形为(r,t)=中r)e“的波函数概率密度由下式定义
第三章薛定谔方程及其应用 p(r,t)=|y(r,t)|2=[纠(r)e-][(r)e-]°=r)e“∮'(r)e"=lr)|2(3.1.7) 我们看到概率密度不依赖于时间,这就是我们这类解为“定态”的原因 32考虑两粒子一维系统两粒子质量为m1和m2,東缚两粒子的势仅依赖于两粒子之间的 距离x1-x2,哈密顿量为 +V(x1-x2) (3.2.1 (a)用新变数x和X写出薛定谔方程,这里 x=x1-x2(相对距离),X=“m,+m,2(质心坐标)(322) (b)用分离变数法求质心和粒子相对距离变化所满足的方程解释你的结果 以x和x2为自变量,双粒子的波函数所满足的薛定谔方程为 2x:212=球(4,1()=-Dx:2D Dx:2:)v(x1-x)x,x,:) 为了变换到自变量z和X,我们必须用新变量表示微商a2x2和a21(x2我们有 (3.2.4) 于是,对任意函数f(x1,x2),我们得到 (x, x)ax a m1+m2 f(x1,x)=0(xX)江+9(x:8)=-x,x)+m9(32.6) ax2 dx a 或 十 aXaX 对x1和x2的二阶导数,有 B2= x 2 对于x1和x2两者波函数必须是光滑的,于是我们可以交换微商次序并得到 (32.9) 对x2,我们有 2 aXax (3.2.I0) 将(32.9)和(3.2,10)代入(32.3),我们得到 3(x,,t)A2 X, t)
量子力 a- 2m2Lazf (m: +m2/ax- m,+m2 xrs(r,,t)+ v(x)p(x,X, t) 签(m+m)一 +v(x)(r, X, t) p(x, X, t) (3.2.11) (b)因为哈密顿量是时间无关的,令x,X,t)=中(x,X)x(t)(我们分离时间变数和空间变数,参看 问题31)定态部分卓(x,X)满足的方程是邗(x,X)=E。中(x,X),这里Ew是总能量代人 (3.2.11)我们得到 2(mn+m)x)+v(+()-2号(m1m)一=Emxx) (3.2.12) 做分离变数xX)=(x)以(X),(3.212)变为 2)(x E(r) mi my ax +v(x) 2mn+m232+Em(3213) 方程(313)的左边仅依赖于x,另一方面,方程的右边仅是X的函数因而方程的两边既不依赖x也 不依赖X因而两者只能等于一个常数我们得到 (3.2.14) 仔细审查就得到结论,(3.2.14)正是质量为m1+m2的自由粒子的定态波函数所满足的方程,即 (32.15) 注意相应于双粒子质心的波函数如同质量为m1+m2熊量为Ea的单个自由粒子波函数这一结果 完全和经典情况相似回到(3213),两粒子相对位置的方程是 A"(m1 m2 E(x 21 mm, - 2r2+ V(z)5(T)=Emmd-Eam (3.216) 方程(3216规定了质量为(m:+m2)/m1m2受势v(x)束缚并具有总能量E-E的粒子的定 态波函数因而两粒子的相对位置其行为如同有效质量为"12,能量为E-E,被有效势能 V(x)束缚的单个粒子这一结果也和经典情况相似 3.3考虑一个质量为m的粒子被限制在有限的一维势阱v(x)内;参看图32证明 )032=2和64g2-(-4y),这里x和分别是粒子坐标和动蘆的平均值 而(-ay)是作用在粒子上的力的平均值这一结果可以推广成另一类算符,并称为 配 ehrenfest定理 图32 证假设适用于粒子的波函数为中(x,t)则醉定谔方程是