量子力学 一方面,(x)=x是x的奇函数,因而x[(-1)]是x的奇函数,它从-2到a2积分 为零现在考虑(3.9.4)的最后一项 I=|w(x,)(x,t)dx=2广 C-(2)-121(2-1)](2)ur (3.9.10) 有dy=dr/a再令a=3m2/2ma2,我们得到 1, =ae"(2y 1)sin(y)sin(2ry)dy (2y+1)5[axs(xy)-∞x(3xy)ldy(3.9.11) 最后,回到(3.9.4),我们得到 Be)=[Re(a'A)cos( aut)+ Re(iaA)sin(ax)] (3.9.12) 考虑动量平均值 432x,) ≈四[a(x,)+P'归(x,t)[(x+B2(x,t) (39.13) 分别计算(39.13)四项的每一项 4a=2可m-1)]-以(-)]dx(391 r(2-)是z的偶函数w(2-)是函数,于是它们的乘积是奇函数,因而两者的 积在区间x=-a/2和x=a2的积分为零还有 中(x,t) c2(-1)]-2-(2-) 2(a-)]是z的有函数,w2(a-号)是奇函数,它们的乘积是奇函数,因面,在区间 x=-a2和x=a2的积分为零我们有 4(x,)( 好(2-2)(2-1)-d (39,16) 定义 dy=亚积分I变为 sin(my)oo(2ny dy=cos(y)_oos(3my) (3.917) 最后 =m(a)=2=12(2-1)(2-)] 918) 使用上面同样的定义我们得到 r=2“s(2ny)ox)dy=2e e-os(zy)_cos(3y) e"(3.9.19) 将该结果代入(3.9.13)最后得到
第三章薛定谔方程及其应用 (39.20) (b)在(a)中,我们得到 (x1)2=92-(2)+(2) (3,9.21) 因而,我们有 「-apep( 仔细辨认,最后一个表达式和〈p2)的结果完全相同所以,对这种特殊情况 Ehrenfest定理是成立 的 310参看问题3.8,现在假设势阱位于区间x=0和x=a 0,0≤x≤a V(x)= 其它 求本征态和相应的本征能量 解我们将势阱平移,=x-a12,于是就变得与问题38完全相同 V(云) 0,-2≤≤2 (3.10.2) 其他 应用问题38的解可能的能量是 x n'n' (3.10.3) 这里n是正整数,相应的本征态是 4(a)=√2-n(2- 或者使用原来的坐标,我们有 3.11考虑阶跃势(图33) >0 v(x) (3.11.1) <0 能量E>V的粒子流从x=-∞向右运动.(a)写出每个区域的定态解;(b)表述这样的 事实,即没有反向粒子流从x=∞向左运动;(c)应用衔接条件,用人射波振幅表示反射和
量子力学 透射波振幅注意势是有界的可以证明波函数的导数对所有的x连续 解:(a)参考问题3.7的(a),我们定义 (E (3.11.2) 区域∫(x<0)和区域Ⅱ(x>0)的一般解是 9(x)=A1e1+Ae, r(x)=A2e*2+A2e 2 (3.11.3) b)形为e的波函数代表从x=-∞向右运动的粒子,而e代表从x=∞向左运动的粒子中:(x)是 两个波的迭加第一项是从左向右运动的人射粒子的波函数其振幅为A1;第二项的振幅为A,代表从 右向左运动的反射粒子因为,我们认为粒子从x 右运动,在区域Ⅱ不可能找到从x=∞向左 运动的粒子流因而我们令A'2=0,这样中(x)代表透射粒子流其振幅为A2 c)首先我们使用x)在x=0连续的条件,中1(0)=中(0).代人3.11.3给出 A1+A1=A2 第二步,2在x=0点也应当连续;我们有 d卓:(x) az=1A1ex-ik1A1e“1 2x2=A, (3.11.5) 使用“(0)=1,我们有 诀1(A1-A':)=诀2A2 (3.11.6) 代人A2,给出A1+A1=(A1-A1)k1k2 Arˉk(+k2 (3.1.7 最后,将(3.11.7)代人(3.114)得到A k1+k2)=A2,因而 Az 312参考问题3.11,(a)计算区域I和区域I的概率流,并解释每项(b)求出反射和透 射系数 解 (a)对于定态∮(x)概率流是时间无关的并等于 J(r) φ(x) a∮(x) (x)2(x) (3.12.1) 对区域I,应用(311.3),我们有 J1(x) Aie1 )(ik1Au -(A“+A1=")(一Ae”十诀A1s)]=故(|A1|2-|A:|2) (3.12.2) 同样对于区域Ⅱ我们有 Jn(x)=2m:[A:c(读)-4e()*]=1A2P(3,123) 在区域I,概率流是两项之和,1A1|2/m相应于从左向右的人射粒子流,而一攸A111m相应 于反射粒子流(从右向左运动注意在区域Ⅱ概率流代表透射波 (b)应用反射系数的定义(见理论摘要,参考方程327),它等于
第三章醉定浮方程及其应用 A121 (3.124) 代入(3.11.7),我们得到 k2) 1-1 透射系数是 1A221/m 代人(3.11.8),得到 kz/ 2k 4k1k2 k1(k,+k2)(1十k2)2 (3.12.7 3,13考虑质量为m的自由粒子,其波函数在t=0时为 y(x,0)= e-4(- di (3.13.1) 计算含时波包ψ(x,t)和概率密度|y(x,t)2.定性地描述t<0,t=0和t>0时的概 率密度你可以使用如下的恒等式:对于任何复数a和β,如果-m14<arg(a)<r4则 2(y+g2x√r 解t=0时的波包是系数为2:-2(+弹“的平面波e的叠加;这是中心位于k=k的 高斯曲线平面波的时间演化具有形式ehH=eeM我们令a(k)=秋212m,于是应 用迭加原理波包中x,0)的含时式为 我们的月的是将积分化成(3.13.2)的形式,因而,重新整理指数项 (-0)+k-0(=-(号+)+(号+izk 2k+i 2(a k (313.4) 代入(3.13.4)并使用(313.2)得到 k0+ (3.13.5) (3.13.5)的共轭复数是 a'k (x,)=m (3.13.6)
子力学 a'k t)|2 2ikt/m a‘始 a‘始 1+4ht 2a tm)2 在任何时刻t概率密度都是中心在x=(秘m)t的高斯曲线即波包以速度v=Mo!m运动) x,t)12的值在t=0最大随t→∞趋于零波包的宽度在t=0最小,当t→∞时趋于∞,参看 图 314考虑矩形势垒(图3-5) <0 0<x<l 衔楼条件(求透射和反射系数简述透射系数是垒宽l的函数,并讨论狮象 (a)设入射粒子能量E>V,从x=-∞入射,求定态波函数,利用在x=0和x 解 a)类似问题37的(a),我们定义 k (3.14.2) 因而,三个区域I(x<0),Ⅱ(0<x<l)和Ⅲ(x>1)的定态波函数是