第二章数学预备知识 2.5设V是C(即n重复数a=(a 的集合,这里a1是复数证明 b 是V的一个标积 证軒我们从检查标积所必须满足的四个条件誉手 a,b)=∑ab a,b=(b,a (2.5.1) a,+a,)6 (a,b)=∑(a)b1=a∑ah,=a(a,b (2.5.3) 最后 (2.5.4) 只要一个a1不等于零则(a,a)大于零 26如果A和B是算符,证明(a)(A)=A;(b)(AB)=BtA;(c)A+At,i(A-At),和 AA是厄米算符 证(a)对V中的任意u和v,有 Z, v) A')’,a) 于是我们得到A=(A) b)对V中的任意u和v,有 (v, (AB)u)=(ABc, u)=(Bu, A'u)=(u, BAu> (2.6.1) 所以BAt=(AB) (c)我们写出 (A+A')t=A'+(A')'=A+A=A+ (2.6.2) 这里,我们应用共轭的和是和的共轭这一事实,(A+B)=A'+B’,该事实容易验证我们再应用(a) 的结果 [i(A-A)]=i(A-A)=-i(At-A)=i(A-A) (2.6.3) 这里我们还使用了这样一个事实复数的共轭与将其共轭作为算符是完全相同的即z=最后,根 据(b)有 (AA)=(A)'A'=AA (2.6.4) 27证明厄米算符的本征值是实数 证翻设入是T的本征值且T=T,对v中的任意v有 D)=v, vy (2.7.1) 因为(v,v)是正实数(v≠0),于是有λ=,这样是实数因为这些本征值可以代表物理量,所以厄米 算符本征值是实数就非常重要 28证明厄米算符属于不同本征值的本征向量是正交的 证设Tv=ATu=m,这里x≠p,有
16 量子力学 (2.8.1) 于是 (A-)(v,x)=(-)(v,)=0 (2.8.2) (因为T是厄米算符p=p),但A-p≠0,因此(v,a)=0即v和u正交 29证明厄米反厄米和么正算符是正规算符 证:如果T=r’于是TT=TT=T2同样,如果T=-T,于是T=rT=-T,如果 T是么正算符,那么对V中的任意u,v都有(T,Tu)=(W,v)应用共轭算符的定义,并取=v,我 们得到 (u, u)=(Tu, Tu)=(u, rtu) 所以,对v中的任意u,都有 (292) 因为I-TT是厄米算符随之有I-TT’=0(试证明之)这就完全证明了T是正规算符 2.10令V是非零平方可积单变量连续复函数的空间,对任意一对函数,定义 证明:对该定义,v是标积空间 证我们必须核查如下的条件: (f, g)= f(x)g(xdx= g()rdx=Tg,f (2.10.2) (f+f,g)=【(x)+f(x)】(zdx=厂(x)k(x)d+f(x)g(z)dx Kaf, g)=af(x)(r)dx= a| f(x)g()dr= a(f,g) f,=1f(x)2 因为∫是连续的且在一个邻城内f≠0,其积分也不为零因而《f,≠0 211证明(a)对v上的任意v,如果(v,n)=〈v,w)则u=t (b)如果T和S是V中的两个线性算符,并对V中的任意n、v都满足〈Tk,v)= 〈Su,v),那么T=S 诞矿(a)条件(v,a》=(v,v)意味着对v中的任意v都有(v,a-v)=0,特别地,如果 我们得到 w)=0 (2.11.1) 因而 0,即 (b)根据(a),对v中的任意v、4条件〈Tv,)=《Su,w)都意味着Tu=Su即T=S 12令A和B是厄米矩阵证明:当且仅当AB=BA时,A和B可以同时对角化(即,对同 矩阵U) 证即:设UAU=D1,UBU=D2这里D和D2是对角矩阵所以U(AB)U=LAU1 UBU=D,D2=D2D,=UBU-IUAU-I=U( (2.12.1) 在上式两边右乘U左乘U1,我们得到AB=BA 反向的证明留给读者,这一结果在量子力学中是非常重要的 2.13证明么正算符本征值的模为1 证设T是么正算符,令v≠0是属于本征值λ的本征矢量,于是
第二章数学预备知识 〈v,v)=〈Tv,Tu)=(Ax,Av)=从(v,v (2.13.1) 所以 A=|A|2=1 (2.13.2) 214设f是可积函数,(a)如果λ≠0是实数,且g(x)=f(Ax+y),证明 G(k)=1 (2.14.1) 这里F和G分别是函数f和g的傅里叶变换.(b)证明如果xf也是可积函数那么 F(k)是可微函数,且 Flf(x)= F[-ixf(x) (2.14.2) 证(a)按定义 「s(x)*dx-厂x+y*d=厂x+9)m1x+y) 几)d=1F( (b)考虑表达式 F(k+ h)-F(k f(r)e 取极限lm ix我们得到 FU/(x)]=o-ixf(x)e*dr=F[-ixf(r) (2.14.5) 215证明(F6x-x0)=FM+:b)Fa)=2 证(a)根据定义 Fx=x)去厂.8x一x)4女=82)…“时=F2)物 FE8G)-xa)l“dx=a)0-=l()(25-2) 补充习题 2.16证明:复数的三角不等式即|x1+21≤|x1|+|z2 2.17证明:矢量(1,1,0),(0,0,2)和(,)在复数域上线性相关 2.18求出矩阵A= 的本征值和本征向量(提示如果λ是本征值对某些v≠0有Av=A,或(A 队)=0,这意味着行列式(A-AI)|=0解此方程求A,然后代入并求v,) 答案 2.19证明:矩阵 (2.19.1)
18 量子力学 是么正矩阵如果w=是该平面上的矢量,a→Ta的几何解释是什么? 2.20证勇:序列 零,)…如2如,…,上exkm,声c2ka,“{是正交规一化的 221考虑幂次小于或等于n的多项式空间,我们可以将每个多项式 p(x)=a0+a1x+…+ax°作为C的向量(ao,a1,…,an) 事实上,它是p(x)对于基,x,…,x的表示算符对这些基的表示矩阵是什么? 010 002 符案 000 222求出e“2的傅里叶变换 谷案F(t) 223(a)求函数f(x)=xx,(0≤x≤2x)的傅里叶级数 b)用(的结果明} 答案(a)x52=∑
第三章薛定谔方猩及其砬用 3.1单粒子波函数 在量子力学中,单个粒子是用波函数ψ(r,t)来描述的,它包含在时刻t该粒子空间状态 的有关信息波函数是三个直角坐标x,y,z和时间t的复函数波函数的解释如下:在时刻t 粒子出现在位于点r处的体积微元dr= dxdydz内的概率dP(r,)是 (r,t)=C|中(r,t)|2d 这里C是归一化常数,在时刻t,在空间各处找到粒子的总概率是1,因而 dP(r, t)=1 (3.2) 根据(31)和(32)我们结论如下 a)波函数y(r,t)必须是平方可积的,即 iy(r,t)12d'r 有定义 (b)归化常数由关系式 3(r,t)|2 给出,当C=1时,我们说波函数被归一化了波函数y(r,t)必须在空间各处有定义和连 续 3.2薛定谗方程 考虑质量为m的粒子受势v(r,t)的束缚波函数随时间的变化遵从薛定谔方程 2mV认(r,t)+v(r,t)中(r,t) (3.5) 这里ⅴ是拉拉斯算符x+2+2,注意薛定澚方程的两条重要性质 (a)薛定谔方程是ψ的线性齐次方程因此,叠加原理成立即,如果ψ1(r,t),ψ2(r,t),…, ψ(r,t)是藓定谔方程的解那么 的(r,t) 也是方程的解 b)薛定谔方程是时间的一阶方程,所以,时刻to的状态决定其后所有时间的状态 33不含时势中的粒子 粒子受不含时势的束缚,其波函数满足薛定澚方程: 这个说法并不确切,实际上波函数可以在可列个点上没有定义—译者注