量子力学 于是 z=r(oosa+ising)=re 2.2C上的矢量空间 C上的一个矢量空间是元素v的一个集合,它在其元素(称为矢量)的加法(+)下是封闭 的,并且对C上的a、B和V上的va满足如下的条件 1.V中含有一个独特的元素,记为0,它满足 v+0=0+ (2.7) 0称为零矢量 2.av也在v中 3.a( 4.(a+P)v=a+ 5.(a·B)v=a(P) 6.0·v=0,a·0=0,1·v=v 个重要的例子C:考虑形为(x1,z2,…,zn)的元素这里x是复数我们定义这类元素的相 加为 zn)+(1,2,…,wn)=(z1+1,z2+t2,+…,zn+wn)(2.8) 定义标量乘法为 ,z )=(2a,2z (2.9) 可以证明,这些元素的集合具有复域C上矢量空间的所有性质,这一重要的矢量空间记为 些有用的定义:V中的矢量a1,…,n的集合覆盖如果V上的元素可以写成u的线 性组合,即 =a11+a2l2+…+anln 这里a1、a2、…、n是复数如果a1u1+a2l2+…+a,un=0意味着a1=a2=…=a,=0就 称矢量u1、a2…、ln是线性无关的如果a1、…、un是线性无关的并且覆盖V,它们被称为 V的基数n称之为v的维数假设W是矢量空间v中的一个矢量集合如果:(1)对于W 中的每个v、,v+w仍在W中,(2)对W中的每个w和每个标量a,am仍在W中,W就称 V的一个子空间 23线性算符和矩阵 线性算符:令V是复数C上的矢量空间,映射T:V→V是V上的一个算符,如果对C 上任意的a、月和V上任意的、v,它都满足如下的条件 T(av+ Bu)=ar(v)+ Br(u) (2.11) 对V上的任意u,如果T和S是线性算符它们的和线性算符T+S定义为 (T+S)(u)=T(u)+S(u) 同样,对V上的任意v,我们用 (TS)(v)=T[S(v)] (2.1 定义两个线性算符的乘积现在,我们只限于讨论有限维的矢量空间因此,定义了加法和乘法 运算的线性算符的集合就是复域上的一个代数 假定e1、2…、是V的基令T是V上的线性算符T作用于e、…、c,我们得到
第二章数学预备知识 T(e1)=ane1+…+a1ne, T(en)=ane1+…+anen 这里a是复数现在我们定义对基e的算符T的矩阵表示 注意线性算符的矩阵表示依赖于基的选择对于无限维矩阵,可以像对有限维矩阵一样进行 求和与相乘运算,虽然当涉及到无限维求和时,要注意收敛问题在量子力学中线性算符是非 常重要的,在下一章我们即将看到,它们代表诸如能量、动量等物理量 内积:V上的内积(u,v)是从V×V到复数域的一种运算.(即把V上的每一对矢量映 射为一个复数)对上的a、v、和C上的a,内积满足如下的条件: (i)(a,v〉=(v,l (i)(u,a)>0,如果a≠0 定义了内积的矢量空间积为内积空间 我们可以用内积来表述一些有用的定义矢量v的模是 (2.17) 如果v‖=1,那么就说v是单位矢量也说被归一化了 两个矢量u和v是正交的,如果 组矢量1}是正交的,如果任意一对两个不同的元素是正交的,即(1,4)=0,当i≠j特 别,一组元素是正交的,且每一个元素都是单位矢量,可合并写为 (2.19) 这里,o是 Kronecker6函数,当i≠j时为0,i=j时为1量子力学中经常使用的一个重要结 果是 Cauchy-Schwarta不等式,对所有矢量u和v都有 x,v)≤‖al·lv‖ 算符和标积假设T是V上的线性算符,且V是标积空间,可以证明有一个特别的线性算符, 记为T',对v上任意的u、v,它满足 这个算符称为T的共轭算符如A=(a)是一个复数矩阵,A被定义为At=(an)即,它由 a交换哑指标并取复共轭构成如果A代表个算符T那么A代表算符T,在这两种情况 下使用同样的符号t如果T=T’,那么T被称为厄米算符或自共轭算符如果T=-T’,那 么T称为反厄米算符如果T保持标积不变,即对V上的任何v、v,都有(Tx,Tv)=(a
量子力学 ),那么T称为么正算符如果TT=TT那么T被称为正规算符 2.4本征矢量和本征值 令T是V上的线性算符如果对V上的某些v,有Tv=Av,则复数A就称为T的一个本 征值(也称为特征值)矢量v称为T的属于λ的本征矢量对于矩阵有同样的定义注意,如 果V的基由T的本征矢量构成那么和这组基相应的T就表示为一个对角矩阵,对角矩阵不 仅仅容易运箅,也反映出物理系统的重要特征量,诸如能量量子等等 特征多项式:假设给定线性算符T,它在某组基下表示成矩阵A.T的特征多项式定义为 △(t)=det(λI-A) (2.22) 这里λ是参数(标量)而I是单位矩阵T的特征方程定义为 a(t)=0 这些表达式和基的选择无关 下述结果提供寻找矩阵或算符本征值的方法:当且仅当:标量A是特征多项式的根时,即 △(λ)=0,那么λ就是算符T的一个本征值 如果A是厄米矩阵或单位矩阵那么就存在一个么正矩阵U,使UAU-成为对角矩阵 本定理将不予证明)还须注意的是:如果A和B是厄米矩阵那么它们同时对角化的充分必 要条件为:它们为对易矩阵即AB=BA(参看例题2.13)这些概念具有重要的物理意义将 在第四章予以详细讨论 25傅里叶级数和傅里叶变换 傅里叶级数:考虑区间0<x<l上的函数f(x)如果 1f(x)12 (2.24) 是有定义的(即收敛),那么函数f(x)就称为平方可积的可以证明所有这种函数的集合是 个无限维的矢量空间记为L2(0,)可以对L2(0,1)定义内积 g L2(0,1)中的任意函数f(x)都可以展开为傅里叶级数 f(x)=∑f (2.26) 根据这一关系我们可以将函数≈1“作为无穷维空间L2(0,)的“基”该空间的任意函 数(矢量)都可以展开成基矢量的线性组合可以证明c,}构成一组正交单位基即(e,)= 6,展开式中的系数f称为傅里叶系数,用关系式 f f(t)". 'dt (2.27) 求出,因为en是周期函数,其周期为l,因而不难证明上面给出的傅里叶展开对周期为l的周 期函数∫(x)也成立 傅里叶变换:现在考虑定义在区间(-∞,∞)上的函数f(x),它不一定是周期函数我们 可以想像∫(x)是一个近似的周期函数,其周期趋向∞数kn越来越密直到e“2变为连续函 数e,凭此直观分析有下述结果:
第二章数学预备知识 f(r)=1 F(k)ed (2.28) 这里F(k)由 F(k)=2.f(x)e"dx (2.29) 给出.F(k)和f(x)互相被称为傅里叶变换 Parseval-Planeherel公式表明函数f(x)及其傅里 叶变换F(k)的模相等 F(k)idk (2.30) 26狄拉克δ函数 在第2.3节我们使用了 Kronecker8函数,只要整数n和m相等,它的值都是1,否则等于 0.这里用一个连续函数模仿 Kronecker8函数这就是狄拉克8函数定义该函数6(x)为 E x<号 8(x)= (2.31) 0,当x1>5 考虑任意函数f(x,在x=0有定义在区间[一号,它的变化可以忽略如果c足够小,于 是我们有 8.(x)f(x)dx x f(o)8, (x)dx=f(0) 我们用→0的极限 a(x)f(x)dx 8(x)f(x)dx=f(0) (2.33) 来定义8函数更一般地可以写出 &(x-xo)f(r)dx f(ro) (2.34) 容易验证8(x-y)=0当x≠y时,以及8x-y)dx=1.虽然我们使用δ函数的语言,但 在通常意义上它不是函数;它实际上是一个更复杂的东西,称之为分布(在x=y点没有定 义)这就是说我们仅考虑它出现在积分号内的情况 f(x)8(x-y)dy (2.35) 因为这是一个线性算符,它将函数映射成数,8函数才被当成函数8函数经常被用来描述位于 三维欧氏空间ro=(x0,y,z0)点的粒子,定义8(r-ro)为 6(r-r0)=8(x-x0)8(y-y)8(z-x0) 8函数在整个空间的积分为1,表示粒子的存在另一方面当r≠r0时,8函数为零 容易证明,有关δ函数的下述结果成立 1.(-x)=(x)
量子力学 3.x8(x-x0)=x08(x-x0) 4.「8(x-y)8(y-z)dy 6函数和傅里叶变换:8函数的变换是 8(k 因而傅里叶逆变换给出 8(x-y) 例题解答 2.1复数z=a+b的共轭是a-bi,记为z,证明: (a)=|z|2;(b)x+z是实数;(c)z1+x2=z1+z2;(d)z1z2=z1z2;(e)|z1x2l= 谦:(a)=(a+b)·(a-bi)=a2+b2=|zli (b)z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a它是实的 (e)x1+z2=(a1+b+(a2+b2=(a1+b)+(b1+b2)i (a1+a2)-(b1+b2)i=(a1-b1i)+(a2-b2i)=z1+z 1x2=(a1+b1i(a2+b2)=(a1a2-b1b2)+(a1b1+a2b1 aa2-b1b2(a1b2+a2b1)i=(a1-b1i)(a2-b2i)=z122 (e)|x1x2|2=x12x12=z1z2212=x1E1z2=x1|2|x2|2 22计算 (1=) 解,方法a: )-[8+=[+y-(2)=P=21 方法 2(co945°-sin45°) os90°+isin90°=i (2.2.2) 2.3证明两个线性算符的和与积均是线性算符 证:即假设T和S是线性算符,于是有 (T+ S)(u+ av)=T(u+ av)+S(u+ av)=T(u)+ar(v)+ S(u)+as(v) (T+S)(u)+a(T+S)(v)(2.3.1 (T·s)(u+av)≡T[s(w+a)]=Tts(u)+aS(v) T[S(u)]+aT[s(v)]=(T·S)(u)+a(T·S)(v) (2.3.2) 24设是一元函数空间证明微商是线性算符. 还 我们定义v到V的映射为 (f)=f(x) 应用微积分基础知识我们有 (f+g)=[f+ag]=f(x)+ag(x)=d()+aa(g)